CHUYÊN đề KHẢO sát hàm số

Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số C: y=ax 3 +bx 2 +cx+d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập th

Phần I: Khảo sát hàm số

I Lý thuyết:

Các bớc khảo sát hàm số:

1 Tập xác định

2 Xét sự biến thiên của hàm số:

a, Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số Tìm các đờng tiệm cận (nếu có)

b, Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng

3 Vẽ đồ thị hàm số:

- Vẽ các đờng tiệm cận của đồ thị (nếu có)

- Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị

- Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị

II Bài tập:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của các hàm số sau:

* Hàm bậc ba: * Hàm bậc bốn:

1 y=x3 - 3x2 - 9x – 5 ; 1 y=- x4 + 2x2 + 3

2 y=- x3 + 3x2 - 4x + 2 ; 2 y= x4 - 2x2 - 3

3 y=- x3 + 3x2 ; 3 y=- x4 + 2x2 + 2

4 y=1/3x3 - x2 + 2/3 ; 4 y= x4 - x2 + 1

5 y=1/3x3 - x2 - x + 1/3 ; 5 y=- x4 + 3x2 - 2

6 y=- x3 + 3x2 + 1 ; 6 y= x4 + 2x2 + 1

* Hàm bậc nhất trên bậc nhất:

1

1

1 2 +

−

+

−

=

x

x

y ; 2

2 3

2 +

−

=

x

x y

3

1

1 +

−

=

x

x

y ; 4

1

3

−

+

=

x

x y

5

2

1 2

−

−

−

=

x

x

y ; 6

2

1

−

+

=

x

x y

* Hàm bậc hai trên bậc nhất:

1

1

1

2

−

− +

−

=

x

x x

y ; 2

1

1 3

2

+

−

−

−

=

x

x x y

3

1 2

4 3

2

+

+

−

=

x

x x

y ; 4

1

2

2

−

−

−

=

x

x x y

5

1

1

2 2

−

+

−

=

x

x x

y ; 6

2

4

2

+

+ +

=

x

x x y

Phần II: Các bài toán phụ khảo sát hàm số.

Dạng I: Cực trị của hàm số

I Lý thuyết:

Chủ đề 1: Cực trị của hàm bậc 3 và các bài toán liên quan

a, Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:

Tổng quát: Cho hàm số bậc ba

y=ax3 + bx2 + cx + d Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

D=R

y’=3ax2+2bx+c; y’=0 ⇔ 3ax2+2bx+c=0 (1)

+, Hàm số không có cực trị ⇔∆’≤ 0

+, Hàm số có cực trị ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔







>

∆

≠

0 '

0

a

+, Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K

⇔ (1) có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức viet và thỏa mãn điều kiện K

+, Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt trong khoảng I

+, Hàm số đạt cực tiểu tại x0⇔







>

=

0 ) ( ''

0 ) ( '

0

0

x y

x y

+, Hàm số đạt cực đại tại x0 ⇔







<

=

0 ) ( ''

0 ) ( '

0

0

x y

x y

b, Đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số:

Chia y cho y’ ta đợc : y=y’.g(x)+h(x)

⇒ y=h(x) chính là phơng trình đờng thẳng đi qua các điểm cực trị

Chủ đề 2: Cực trị của hàm số bậc bốn và các bài toán liên quan

a, Tìm điều kiện để hàm số có cực trị:

Tổng quát: Cho hàm số y=ax4+bx2+c

D=R

y’=4ax3+2bx=2x(2ax2+b)

y’=0 ⇔ 2x(2ax2+b)=0 (1) ⇔ 





= +

=

(*) 0 2

0

2 b ax x

+, Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc có ba điểm cực trị):

⇔ phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 +, Hàm số chỉ có một cực trị

⇔ (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

+, Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt và a>0

+, Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt và a<0

+, Hàm số đạt cực tiểu tại x0⇔







>

= 0 ) ( ''

0 ) ( '

0

0

x y

x y

+, Hàm số đạt cực đại tại x0 ⇔







<

= 0 ) ( ''

0 ) ( '

0

0

x y

x y

b, Đờng cong đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số:

Chia y cho y’ ta đợc : y=y’.g(x)+h(x)

⇒ y=h(x) chính là phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị

II Các ví dụ và bài tập:

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số: y=

3

1mx3-(m-1)x2+3(m-2)x+

3

1 Tìm m để:

a, Hàm số có cực trị.

b, Hàm số có cực đại , cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn: x1+2x2=1

c, Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng

d, Hàm số đạt cực đại, cực tiểu và xCĐ<xCT

e, Hàm số đạt cực đại tại x=0

f, Hàm số đạt cực tiểu tại x=o

Ví dụ 2: Cho hàm số: y=1/3x3- mx2- x + m + 1 Chứng minh rằng: với mọi m hàm

số đã cho luôn có cực đại và cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

Ví dụ 3: Cho hàm số: y=x3-3x2+m2x+m Xác định m để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đờng thẳng x-2y=5

Ví dụ 4: Cho hàm số: y=x4+(m+1)x2+1

a, Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

b, Xác định phơng trình đờng cong đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Ví dụ 5: Xác định m để hàm số: y=x4- 2mx2+2m+m4 có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác đều

* Bài tập:

Câu 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số: y=x3 - x2 - 94x + 95 Đáp số: y=

9

761 9

566x+ Câu 2: Tìm m để hàm số y=x3 - 3mx2+3(m2-1)x + m đạt cực tiểu tại x=2

Câu 3 Tìm m để các hàm số sau có cực trị:

a, y=x3 - mx2 + 1

b, y=(m+2)x3+3x2+mx-5

Câu 4: Tìm các giá trị của m để đồ thị các hàm số sau có cực đại và cực tiểu Từ đó lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

a, y=x3 - 3(m+1)x2+2(m2+7m+2)x – 2m(m+2)

b, y=3x3+3(m-3)x2+11-3m

c, y=x3+mx2+7x+3

d, y=x3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)

e, y=2x3-3(3m+1)x2+12(m2+m)x+1

Câu 5: Cho hàm số y=kx4+(k-1)x2+1-2k Xác định giá trị của k để hàm số chỉ có một điểm cực trị (k≥1 và k≤0)

Câu 6: Tìm m để hàm số: y=x4+(m-1)x2+1- m chỉ có một điểm cực trị

Dạng 2: Các phép biến đổi đồ thị - Đồ thị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối

I Lý thuyết:

1 Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y= f(x) :

Ta có:







<

−

≥

=

=

0 ) ( ), (

0 ) ( ), ( ) (

x f khi x f

x f khi x f x f y

Do đó đồ thị y=f(x)gồm:

- Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y=f(x)

- Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của y=f(x) qua trục hoành

2 Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số y=f( x  ):

Ta có:







<

−

≥

=

=

0 ), (

0 ), ( ) (

x khi x f

x khi x f x f y

và y=f(x) là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là 0y

Do đó đồ thị y=f(x) gồm:

- Phần bên phải 0y của đồ thị y=f(x)

- Đối xứng phần đồ thị trên qua 0y

3 Từ đồ thị hàm số y=f(x) suy ra đồ thị hàm số  y  =f(x):

Phần đồ thị y =f(x) gồm:

- Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y=f(x)

- Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành đợc nửa đồ thị còn lại

II Bài tập:

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x4-2x2-1 Từ đó suy ra đồ thị hàm số

y=x4-2x2-1

Câu 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=x3+ x-1 Từ đó suy ra đồ thị hàm số

1

3

−

+

= x x

Câu 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 1

2

x y x

−

= +

3 2 1

x y

x

− +

=

− Từ đó suy ra đồ thị hàm

2

x

y

x

−

=

+ .

Câu 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=x3- 3x2-6 Biện luận theo a số nghiệm của phơng trình: x3 − 3x2 − 6 =a

Câu 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=1/6 x3+ 3/2 x2+ 5/2 x Từ đó suy ra đồ thị

2

5 2

3 6

1 3 + 2 +

Câu 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y=- 4x3 + 3 x Từ đó suy ra đồ thị hàm số

) 4

3

( x2

x

Câu 7: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 3 2

1

x y x

− +

=

− Từ đó suy ra đths

3 2 1

x y

x

− +

=

− .

Dạng 3: Tơng giao của hai đồ thị

1 Số giao điểm của hai đồ thị:

Tổng quát: Tìm giao điểm của hai đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x)

B

ớc 1: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm

f(x)=g(x) (1) B

ớc 2: Biện luận (1)

Câu 1: Cho hàm số: y=x3+3x2+1 Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d): y=2x+5 với đồ thị hàm số

Chú ý: Điều kiện cần và đủ để hàm số y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt là: Hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT<0







<

>

∆

0 ) ( ).

(

0

2 1

'

x y x y

y

Câu 2: Cho hàm số: y=mx3+3x2+1 Tìm m để đồ thị cắt trục 0x tại ba điểm phân biệt

2 Sự tiếp xúc của hai đồ thị:

Để hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau thì:

⇔ Hệ sau có nghiệm

⇔







=

=

) ( ' ) ( '

) ( ) (

x g x f

x g x f

Khi đó nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm

Câu 3: Cho hàm số y=(x-1)(x2+mx+m) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Xác định toạ độ tiếp điểm trong mỗi trờng hợp tìm đợc

Câu 4: Cho hàm số: y=(x+1)2(x-1)2 Xác định a để đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol (P): y=ax2-3

3 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số (C): y=ax 3 +bx 2 +cx+d cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng.

Ph

ơng pháp: Dùng viét

B

ớc 1: Lập phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

ax3+bx2+cx+d=0 (1) B

ớc 2: Điều kiện cần

+, Giả sử phơng trình có 3 nghiệm x1,x2,x3 (x1<x2<x3) Khi đó:



















−

=

= + +

−

= + +

a

d x

x x

a

c x x x x x x

a

b x

x x

3 2 1

1 3 3 2 2 1

3 2 1

+, Để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành một cấp số cộng thì : x1+x3=2x2⇔2x2=- b/a ⇔ x2=- b/3a

+, Với x2=- b/3a thay vào (1) suy ra tham số m

B

ớc 3: Điều kiện đủ

Với tham số m vừa tìm đợc thử lại vào (1)

Câu 5: Tìm m để hàm số: y=x3-3x2-9x+m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng (m=11)

4 Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (c): y=ax 4 +bx +c cắt trục hoành 2

tại 4 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng.

B

ớc 1: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

với 0x ax4+bx2+c=0 (1)

B

ớc 2: Đặt t=x2, t≥0 ⇒ (1) có dạng : at2+bt+c=0 (2)

B

ớc 3: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phơng trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt dơng: 0<t1<t2



















>

>

−

>

∆

0 0

0 '

a c a

b và khi đó có 4 nghiệm của (1) là: − t2, − t1, t1, t2

B

ớc 4: Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng:









= +

−

−

= +

−

1 2

1

1 1

2

2

2

t t

t

t t

t

1 2 1

2 3 t t 9t

⇔ B

ớc 5: Theo định lý viét ta có:













=

−

= +

a

c t t

a

b t

t

2 1 2 1

ớc 6: Thay (4) vào (1) ta đợc













=

−

= +

a

c t t

a

b t t

1 1

1 1

9

9

a

c a

b

9 10

2

=











 −

⇔

Kết hợp (6) và (3) để nhận điều kiện của tham số

Câu 6: Cho hàm số y=x4-2(m+1)x2+2m+1 Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng (m=4, m=- 4/9) Câu 7: Cho hàm số: y=x3+mx2-9x-9m (Cm)

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=3

b, Tìm m để (Cm) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt

Câu 8: Cho hàm số: y=x3-3x+1 Tìm m để đờng thẳng y=m(x-1)-1 tiếp xúc với đồ thị hàm số

Câu 9: Xác định m để đồ thị: y=x3-2x2-(m-1)x-1 tiếp xúc với trục hoành

Câu 10: Cho hàm số: y=(x+1)2(x-1)2 Tìm b để (P): y=2x2+b tiếp xúc với đồ thị hàm số

Câu 11: Cho hàm số: y=x4-2mx2+m đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4

điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Câu 12: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y=x3+m(x2-1) cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

Dạng 4: Điểm cố định của đồ thị

1 Bài toán 1:

Cho họ (Cm) có phơng trình: y=f(x,m) với m thuộc R Tìm điểm cố định của

họ (Cm)

Giả sử M(x0,y0) là điểm cố định của họ (Cm)

Khi đó: y0=f(x0,m), ∀ m

⇔ Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0

⇔ Suy ra (x0,y0)

2 Bài toán 2:

Cho họ (Cm) có phơng trình: y=f(x,m) với m thuộc R Tìm điểm mà họ (Cm) không đi qua với mọi giá trị của m

Giả sử M(x0,y0) là điểm mà họ (Cm) không thể đi qua

Khi đó phơng trình y0=f(x0,m) (1) vô nghiệm với ∀ m

⇔ Nhóm theo bậc của m rồi tìm điều kiện để (1) vô nghiệm

⇔ Suy ra (x0,y0)

Câu 1: Cho hàm số y=x4-(m+1)x+m Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m

Câu 2: Cho hàm số: 2

x y x

+

= +

2

x y x

+

= + (H)

Chứng minh rằng đờng thẳng y=mx+m-1 luôn đi qua một điểm cố định của

đờng cong (H) khi m biến thiên

Câu 3: Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số luôn đi qua

y=x3-(m+4)x2+4x+m

Câu 4: Tìm các điểm cố định mà họ đồ thị hàm số không đi qua:

y=(x-2)(x2-2mx+m2-1)

Câu 5: Tìm các điểm cố định của các họ đồ thị sau:

a, y=mx2+(m-1)x-2m+1 (m thuộc R)

b, y=x3-(m+1)x2+2(m2+4m+1)x-4m(m+1)

c,

m

x

mx

y

+

+

= 1, m≠ 1.±

Câu 6: Chứng minh rằng đồ thị các hàm số sau luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi

a, y=x4+mx2-(m+1)

b, y=-x4+2mx2-2m+1

Câu 7: Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số luôn đi qua

a, y=x4+mx2-(m+5)

b, y=x3-3mx+2m

Câu 8: Cho họ (Cm) :

m x

m m x m y

−

+

−

−

−

= ( 2) ( 2 2 4) Tìm những điểm trên mặt phẳng toạ độ mà đồ thị hàm số không thể đi qua với bất kỳ giá trị nào của m

Dạng 5: Tiếp tuyến của đồ thị.

Chủ đề 1: Viết phơng trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với

một đờng thẳng cho trớc Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0,y0) có dạng: y-y(x0)=k(x-x0), trong đó: k=y’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M Xét các trờng hợp sau:

- Biết x0 ⇒ y0⇒ k=y’(x0)

- Biết y0 thay vào phơng trình ban đầu tìm x0 rồi tìm k

- Biết k=y’(x0) suy ra x0 rồi suy ra y0

Hai đờng thẳng song song với nhau có hệ số góc bằng nhau

Hai đờng thẳng vuông góc với nhau có hệ số góc nhân với nhau bằng (-1)

Câu 1: Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số: 2 3 3

x

+ tiếp

xúc với nhau Xác định tiếp điểm của hai đờng cong trên và viết phơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó

Câu 2: Cho hàm số: 1

2

x y x

+

=

−

a, Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm A của đồ thị với trục tung

b, Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại A

Câu 3: Cho hàm số: y=x3-3x2+2 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến này vuông góc với đờng thẳng: 3x-5y-4=0

Chủ đề 2: Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết một điểm thuộc

tiếp tuyến

1 Viết ph ơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua A(x A ,y B )

Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x=x0 Khi đó phơng trình tiếp tuyến có dạng: (d): y-y(x0)=y’(x0)(x-x0) (1)

Điểm A(xA,yB) thuộc d ⇔ yA-y0=y’(x0)(xA-x0) (2)

Từ phơng trình (2) ta suy ra đợc x0 Thay vào (1) ta đợc phơng trình tiếp tuyến Cách 2: Phơng trình đờng thẳng d đi qua A có dạng: y=k(x-xA)+yA

Tham số k đợc suy ra từ điều kiện d tiếp xúc với đồ thị

Câu 4: Cho hàm số: y=x3-3x2+2 Viết phơng trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ

điểm A(23/9,-2) (ĐS: y=-2; y=9x-25; y=-5/3x+61/27)

Câu 5: Cho hàm số: y=2x3+3(m-3)x2+11-3m (Cm)

a, Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị C2, biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=12x+2006

b, Lập phơng trình tiếp tuyến của đồ thị C2, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng 32x-21y=0

Câu 6: Cho hàm số: y=x3-3x Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ điểm (-1;0) đến đồ thị hàm số

2 Cho hàm số: y=f(x) (C) Tìm điểm A thoả mãn tính chất I để từ đó kẻ đ ợc k tiếp tuyến tới đồ thị (C)

B ớc 1: Giả sử A(x0,y0)

B ớc 2: Phơng trình đờng thẳng đi qua A(x0,y0) với hệ số góc k có dạng:

(d): y=k(x-xA)+yA

B ớc 3: Đờng thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:







=

+

−

= ) 2 ( ) ( '

) 1 ( ) (

) (

k x f

y x x k x

B ớc 4: Thay (2) vào (1) suy ra f(x)=f’(x)(x-xA)+yA (3)

B ớc 5: Khi đó số nghiệm phân biệt của (3) là số tiếp tuyến kẻ đợc từ A tới đồ thị (C) Do đó để từ A kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị (C) ⇔ Phơng trình (3) có k nghiệm phân biệt ⇒ Điểm A

Câu 7: Cho hàm số: y=-x3+3x+2 (C) Tìm những điểm trên trục hoành từ đó kẻ đợc

3 tiếp tuyến tới đồ thị

2 Góc giữa hai tiếp tuyến:

B ớc 1: Gọi k1,k2 theo thứ tự là hệ số góc của các tiếp tuyến d1 và d2

B ớc 2: α là góc giữa hai tiếp tuyến trên thì:

2 1

2 1

1

tan

k k

k k

+

−

= α Nếu d1⊥d2 thì k1.k2=-1 Câu 8: Cho hàm số:

3

1

−

+

=

x

x

a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b, Tìm toạ độ các giao điểm của các đờng tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đờng thẳng: y=x+2010

Câu 9: cho hàm số: 3 2

2

3

x x

y= + Viết phơng trình tiếp tuyến của hàm số, biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y=2x

Câu 10: Cho hàm số: y=2x3+3(m-3)x2+11-3m (Cm)

a, Lập phơng trình các đờng thẳng đi qua A(19/12;4) và tiếp xúc với C2

b, Tìm trên đờng thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến đến C2

c, Tìm trên đờng thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến đến

C2

d, Tìm trên đờng thẳng y=4 những điểm sao cho từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến C2

Câu 11: Cho hàm số: y=x3-3x (C) và đờng thẳng d: y=mx+1

Hãy xác định m để d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau

Câu 12: Cho hàm số: y=x3-3x Tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ

đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đồ thị hàm số

Dạng 6: Khoảng cách

Sử dụng các kết quả sau:

1 Khoảng cách giữa hai điểm A(xA,yA) và B(xB,yB) đợc cho bởi:

AB= ( ) ( )2

2 1

2 2

2 Khoảng cách từ điểm M(xM,yM) đến đờng thẳng ∆: ax+by+c=0 đợc cho bởi: d(M;∆)= 0 2 0 2

b a

c by ax

+

+ +

3 Khoảng cách ngắn nhất đợc xác định bằng việc sử dụng bất đẳng thức (côsi, bunhiacôpski,…) hoặc sử dụng đạo hàm

Bài tập:

Câu 1: Cho hàm số:

1

1 2 +

+

=

x

x

y Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất

Câu 2: Cho hàm số:

1

1

− +

=

x x

y (C) Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài AB ngắn nhất

Câu 3: Cho hàm số:

1

2 2

2

+

+ +

=

x

x x

y Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ

điểm đó đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ điểm đó đến trục tung

Câu 4: Cho hàm số:

2

5 4

2

+

+ +

=

x

x x

y Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đờng thẳng 3x+y+6=0

Ch

ơng I: ứng dụng của đạo hàm để khảo sát

và vẽ đồ thị của hàm số

Phần I: Tính đơn điệu của hàm số

I Khảo sát tính đơn điệu của hàm số:

1 Ph ơng pháp:

+, B ớc 1: Tìm tập xác định

+, B ớc 2: Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm và áp dụng định lý sau:

Nếu f x'( ) 0,> ∀ ∈x I thì hàm số đồng biến trên khoảng I.

Nếu f x'( ) 0,< ∀ ∈x I thì hàm số nghịch biến trên khoảng I

Nếu f x'( ) 0,= ∀ ∈x I thì hàm số không đổi trên khoảng I

Chú ý:

- Khoảng I trong định lý có thể thay bằng một đoạn hoặc nửa khoảng và khi

đó phải bổ sung hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó

- Có thể mở rộng định lý f x'( ) 0≥ với mọi x thuộc I (hoặc f x'( ) 0≤ với mọi x thuộc I) và f x'( ) 0= chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Khảo sát tính đơn điệu (chiều biến thiên) của các hàm số sau:

a y x= + x − ; b y, = − +x4 2x2 −2

2

,

x

c y

x

−

=

+ ;

2

,

2

d y

x

=

+

Ví dụ 2: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:

2

a y = − x ; b y, = 3 x x2( −1)

2

c y = x+ x + ; d y, = − +4x x2 +1

Ví dụ 3: Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:

a y = x+ x trên [0;2π ] ; b y, =cos 2x−2x+3 trên Ă

1

2

c y = x+ x trên [ ]0,π ;d, cosx + sinx trên 0,

2

π

3 Bài tập:

Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:

2

2

3

II Xác định tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên miền D:

1 Ph ơng pháp:

+, Bớc 1: Tính đạo hàm f x'( )

+, Bớc 2: áp dụng định lý

Nếu hàm số đồng biến trên I thì f x'( ) 0≥ với mọi x thuộc I

Nếu hàm số nghịch biến trên I thì f x'( ) 0≤ với mọi x thuộc I

2 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số: y =(m−2)x3 −mx+2

Tìm m để hàm số đồng biến trên Ă