KIẾN THỨC CẦN NHỚI... không có quá hai nghiệm thuộc D.. giả sử phương trình có nghiêm α.. Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác.. Một số bài toán đặc biệt là các bài logarrit ta th
Trang 1KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I Hàm số mũ
• y=a x ; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
x −∞ 0
+∞
x −∞ 0
+∞
1
−∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
y=3 x
f(x)=(1/3)^x -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -3 -1 1 2
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x
y
x
y=
3
II Hàm số lgarit
≠
<
>
1 0
0
a
x
; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
x 0 0
1
−∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3)
f(x)=3^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3
x y
y=x
y=3 x
y=log3x
f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15 -13 -11 -9 -8 -6 -4 -2 1 3
x y
x
y 3
x y
3
log
= y=x
III Các công thức
1 Công thức lũy thừa :
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
m
n
a a
a = − ;( n
a
1
=a−m ; a0=1; a−1=a1 );
Trang 2(a n)m =a nm ; (ab) n =a n b n; m n
n
b
a b
a =
m
a
2 Công thức logarit : loga b=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
loga (x1x2)=loga x1+loga x2 ; loga 2
1
x
x
= loga x1−loga x2;
x
aloga x = ; loga xα=αloga x;
x
log
α
α = ;(loga a x =x); loga x= a x
b
b
log
log
;(loga b= a
b
log
1 )
b x =xlog
b a
IV Phương trình và bất phương trình mũ− logarit
1 Phương trình mũ−logarit
a Phương trình mũ :
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x)
+ 0<a≠1: a f(x) =b ⇔ ( )=
>
b x
f
b
a
log
0
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2± 3), (7± 4 3),… Nếu trong một phương trình có
chứa {a 2x ;b 2x ;axbx} ta có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x
Phương pháp logarit hóa: af(x) =b g(x)⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c≠1
b P hương trình logarit :
Đưa về cùng cơ số:
=
≠
<
x g
a x f
a 1
0
( ) ( )
=
>
>
≠
<
x g x f
x g x
f
a
0 0
1 0
Đặt ẩn phụ
2 Bất phương trình mũ−logarit
a Bất phương trình mũ :
af(x) >a g(x) ⇔( − ) ( ) ( )[ − ]>
>
0 1
0
x g x f a
a
; af(x)≥a g(x) ⇔( − ) ( ) ( )[ − ]≥
>
0 1
0
x g x f a
a
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x);
* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)<g(x);
b Bất phương trình logarit :
>
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,
0
1 0
x g x f a
x g x f
a
; loga f(x)≥loga g(x)⇔ ( ) ( )
≥
−
−
>
>
≠
<
0 1
0 ,
0
1 0
x g x f a
x g x f
a
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: log a f(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( )
( )
>
>
0
x g
x g x f
;
Trang 3+ Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( )
( )
>
<
0
x f
x g x f
*
* *
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG
TRÌNH−HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 +x − 4.2x2 −x − 2 2x + = ⇔ 4 0 (2x2 −x − 1 2) ( 2x − 4) = 0
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta
phải phân tích thành tích:(2x2 −x − 1 2) ( 2x − 4)= 0 Đây là phương trình tích đã biết cách giải
2 log x = log logx 2x+ − 1 1
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
log x 2 log 2x 1 1 log x 0
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ
được thì ta biến đổi thành tích
II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x + 2(x− 2)3x + 2x− = 5 0 Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có:
( )
log x+ + 1 x− 5 log x+ − 1 2x+ = 6 0 Đặt t = log3(x+1), ta
có: t2 + −(x 5)t− 2x+ = ⇒ = 6 0 t 2,t= − 3 x⇒ x = 8 và x = 2.
III Phương pháp hàm số
Các tính chất:
( )
( )
f u = f v ⇔ =u v
phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Trang 4Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ∃c∈( )a;b : ( ) ( ) ( )
a b
a F b F c F
−
−
=
' Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a)
= 0 thì ∃ ∈c ( )a b F c; : '( ) = ⇔ 0 F x'( )= 0 có nghiệm thuộc (a;b).
không có quá hai nghiệm thuộc D
Ví dụ 1: Giải phương trình: x+ 2.3 log 2x = 3
Hướng dẫn: x+ 2.3 log 2x = ⇔ 3 2.3 log 2x = − 3 x, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch
biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1.
giả sử phương trình có nghiêm α Khi đó: 6 α − 5 α = 3 α − 2 α
Xét hàm số f( ) ( )t = t+ 1 α −tα, với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý
lagrange tồn tại c∈( )2;5 sao cho: f c'( ) = ⇔ 0 α(c+ 1)α−1 −cα−1= ⇔ = 0 α 0, α = 1, thử lại ta
thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình:− 2x2 −x + 2x− 1 = − (x 1) 2 Viết lại phương trình dưới dạng
2
2x− + − =x 1 2x −x +x −x, xét hàm số f( )t = 2t +t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy
phương trình được viết dưới dạng: f x( − = 1) f x( 2 −x) ⇔ − =x 1 x2 − ⇔ =x x 1
Ta cần chứng minh không còn nghiệm nào khác
Xét hàm số f x( ) = 3x + 2x − 3x− ⇒ 2 f'' ( )x = 3 ln 3 2 ln 2 0x 2 + x 2 > ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm
2
2007
1 2007
1
x
y
y e
y x e
x
có đúng hai nghiệm thỏa mãn x
> 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số ( ) 2 2007
1
f x e
x
Nếu x < −1 thì f( )x <e− 1 − 2007 < 0suy ra hệ phương trình vô nghiệm
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng
minh
HD: BĐT
( )
1
ln 2
2
x
x
f x
x
= với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a≥b> 0ta có f(a) ≤ f( )b
(Đpcm)
IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Trang 5Ví dụ: Giải phương trình log7x= log (3 x+ 2) Đặt t = log7x⇒ =x 7tKhi đó phương trình trở thành: 3
+ ÷
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
5 6
log (x − 2x− 2) = 2 log x − 2x− 3
Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log 6(t+ = 1) log 5t
log x+ 3 x = log x Đặt t= log 6x, phương trình
2
t
t + t = t ⇔ t + =
÷
3 Dạng 3: alogb(x c+) =x ( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình 4 log 7(x+3) =x Đặt t= log 7(x+ ⇒ 3) 7t = +x 3, phương trình
( )t+ 1 =t
log3
2
Ví dụ 3: Giải phương trình 4 log 3(x+1) −(x− 1 2) log 3(x+1) − =x 0
4 Dạng 4: ax b log ( )
s
s + =c dx+e + αx+ β , vớid =ac+ α ,e bc= + β
Ph
ương pháp: Đặt ay b+ = log (s dx e+ )rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: s ax b+ +acx s= ay b+ +acy Xét f t( ) =s at b+ +act
7
7x− = 6log (6x− + 5) 1 Đặt y− = 1 log 6 7( x− 5) Khi đó chuyển thành
1 7
y
−
nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
x
2x− 1 2 + −x 2 = 2x− 2−x 2
2x 1, 2 x 1 , 0
u= − + v= − + u v>
Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:
8 1 18
u v u v
u v u v
+ =
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.( 2 + 3) (x + 2 − 3)x − = 4 0
b ( 2 − 3) (x + 2 + 3)x = 4
c.( 7 4 3 + )x − 3 2( − 3)x + = 2 0
d (3 + 5)x + 16 3( − 5)x = 2x+ 3
e ( 2 1 − ) (x + 2 1 + )x − 2 2 0 = (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1
Trang 6f 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0 (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
i.3.16x + 2.8x = 5.32x
2.4x + 6x = 9x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a 43 2 1283
x y
+
− −
=
x y
x y
+
5
x y
+ =
2 2
3x xy y 81
− +
=
4
1
25
y x
y
x y
+ =
(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
g
1
4 2
2 2
x
x
y
+
(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4)
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
a (m− 2 2) x +m.2−x + =m 0 b m.3x +m.3−x = 8
a Giải phương trình khi m=2.
Bài 5: Cho bất phương trình 4x−1 −m 2( x + > 1) 0 a Giải bất phương trình khi m=16
9
b Định m để bất phương trình thỏa∀ ∈x R
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a log 5x= log 5(x+ 6)− log 5(x+ 2) b log 5x+ log 25x= log 0,2 3
c logx(2x2 − 5x+ 4) = 2 d.lg( 2 2 3) lg 3 0
1
x
x
+
−
log x+ − 1 6 log x+ + = 1 2 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.
1
4.2 3
x
Bài 7: Giải bất phương trình:
3
Trang 7b log 0,7 log 6 2 0
4
x x x
log 4x + 144 − 4 log 2 1 log 2 < + x− + 1 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.
d
2
1
2
3 2
x
) (
2 2;1 2; 2 2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−