khảo sát dao động điều hòa bằng lý thuyết cơ lượng tử tiểu luận

LỜI MỞ ĐẦU Cơ học lượng tử là một môn học ra đời muộn nhưng nó lại có những đóng góp lớn cho ngành Vật lí nói riêng cũng như nền khoa học – kĩ thuật nói chung.. Cơ học lượng tử là môn l

LỜI MỞ ĐẦU

 Cơ học lượng tử là một môn học ra đời muộn nhưng nó lại có những đóng góp lớn cho ngành Vật lí nói riêng cũng như nền khoa học – kĩ thuật nói chung. Đây là môn học làm cầu nói cho thế giới vi mô và thế giới vĩ mô. Nó đã giúp chúng ta giải thích được nhiều vấn đề mà trước đây cơ học cổ điển chưa giải quyết được. Cơ học lượng tử là môn 

lý  thuyết  cơ  học,  nghiên  cứu  sự  chuyển  dộng  các  đại  lượng  Vật  lí  liên  quan  đến  các chuyển động như năng lượng và xung lượng, các vật thể nhỏ bé, ở đó lưỡng tính sóng hạt được thể hiện rõ. Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, 

đó chính là điểm vượt trội của cơ học lượng tử so với cơ học cổ điển. 

Dao  động  điều  hòa  là  một  dạng  chuyển  động  rất  quan  trọng  trong  vật  lý  nói chung và vật lý chất rắn nói riêng. Đó là dao động của các ion hoặc nguyên tử quanh vị trí cân bằng trong mạng tinh thể , dao động của các nguyên tử trong phân tử , Bài toán dao động điều hòa lượng tử được ứng dụng nhiều trong vật lý lí thuyết như lí thuyết bức xạ cân bằng , lí thuyết phổ , lý thuyết nhiệt dung của vật rắn,  

Xuất phát từ nhận thức và suy nghĩ đó, và mong muốn góp phần làm phong phú hơn nữa các tài liệu môn cơ học lượng tử để các bạn sinh viên chuyên nghành Vật lý 

và mọi người quan tâm xem đây như một tài liệu tham khảo đó là lí do để em chọn đề 

tài “DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA”.  

 Do trình độ và thời gian hạn chế, đề tài chắc chắn có các sai sót .Vì vậy ,em rất mong  được  sự  góp  ý  của  các  thầy  cô,các  bạn  sinh  viên  để  sửa  chữa,  bổ  sung  ,  hoàn chỉnh đề tài. 

PHẦN 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT 

1.1 Giới thiệu  

   Trong đề tài này , chúng ta sẽ nghiên cứu về chuyển động của hạt dưới thế năng dao động điều hòa : 

          1 2

2

V x  kx        ( k =hằng số)      (5.1) 

     Phương trình vi phân tổng quát cho thế năng dao động điều hòa có thể được giải bằng cách dùng một phương pháp thường xuyên được sử dụng để giải các bài toán trong cơ học lượng tử.Nhiều vấn đề trong vật lí có thể coi là một giao động tử điều hòa với một số điều kiện thích hợp.Ví dụ trong cơ học cổ điển việc mở rộng thế năng quanh một điểm cân bằng , chúng ta có thế năng điều hòa : 





     n=0,1,2,3,        (5.6) 

       Đa thức Hermite Hn   là một đa thức bậc n mà đối xứng khi n chẵn và không đối xứng khi n lẽ .Đa thức Hermite là nghiệm của phương trình vi phân : 

H

n n

t dt

             (5.12) 1.3 Dao động tử hai chiều và ba chiều  

Ở đây ta sẽ đi một bước xa hơn,ta sẽ tìm  phổ trị riêng và các hàm riêng mà chỉ dùng toán tử đơn lẽ ,các toán tử nâng  và toán tử hạ ,a và a được định nghĩa : †

tử điều hòa . Chú ý rằng toán tử Hamiltonian của dao động điều hòa được viết là: 

1

†.21 †2



  

                     (5.1.7) 

        2

2

02

d d

d d

2 0

( 1)

n

n n

 tại nhiệt độ  T=0. Gía trị này được xác nhận nhờ hệ thức bất định : 

tử  điều hòa .Tính xác suất tìm hạt trong miền cấm cổ điển ? So sánh kết quả với xác suất tìm hạt ở bậc có năng lượng cao hơn? 

Bài giải : 

Đối với dao động tử điều hòa cổ điển :x A ncost, p mA nsint        (5.2.1) 

Do vậy năng lượng là : 

2 22

Sử dụng đa thức hermite đã biết : 

H i

 



 nên : 

2 2

Sự suy biến của mỗi trạng thái E n n( x, y)được tính như sau : 

(n+1) là một số nguyên ,cho rằng tất cả các giá trị chạy từ 0  . Chúng ta nhìn thấy 

ở hình 5.1 rằng (n+1)= hằng số xác định một đường trong không gian n n x, y. Chúng ta nhìn thấy sự suy biến của trạng thái n là n+1. 

        ,  ( ) ( 1/2)

0

i n t

p t C n n p e n

1,

a) Liên quan đến điều kiện ban đầu ở bài 5 ,tính  x t, ? 

b) Cho rằng tại t=0 hạt ở trạng thái dừng    0  1 

12

     trong đó n x  là hàm số riêng của dao động tử điều hòa 1 chiều . Tính trị trung bình của x tại t>0? 

Do đó , Hnx

 là không đối xứng 

1 2 1 1exp

n n n

       (5.7.23) 

Ta thấy rằng a a n† n n  , do đó2 nchọn = n  ta được  a n  n n1  

n

k n m

n x k

n k n m

m n i

như dự đoán x và p được biểu diễn bởi ma trận Hermite.  

Bài 9 . Khảo sát  1 hạt có điên tích +e chuyển động trong một trường thế giao động điều hòa đẳng hướng 3 chiều : 

  1 2 2

2

V r  m r        (5.9.1) 

Trong điện trường E=E x0 2.Tìm các trạng thái riêng và năng lượng riêng của hạt ? Bài làm 

Toán tử Hamilton của hệ là :

2 0

y y

z z

y

n n

z

n n

n n

eE E

n m

Bài làm  

Dùng những toán tử a và a†,có thể tìm ra rằng : 



       2  

2 12

         

40

Do đó ,  ( )V r m =V0. Tương tự : 

2/3 0 0

1/3 0

3 22

m

V k

       (5.11.6)  

 Bài 12. Tìm những năng lượng riêng và hàm số riêng của mọt hạt chuyển động dưới thế năng 

 

2 2

2

m x

x x



       (*)  

Do điều kiện giới nội của hàm sóng nên ta chỉ chọn số hạng e 2/2. Khi  có giá trị bất kì nghiệm của (12.1.2) có dạng: 

   

        (12.1.5) Lấy đạo hàm bậc nhất rồi bậc hai của  f     , ta được: 

 

1 0

2 0

,

k k k

k k k

 

2 2

2

m x

x x

cho các nghiệm có dạng 2n1 x  

Vì vậy , năng lượng của bài toán không đối xứng cho các giá trị năng lượng lẻ ,nghĩa là: 

Qua  bài  tiểu  luận  này,  em  có  thể  tiếp  cận  với  việc  tham  khảo  nhiều  tài  liệu  khác nhau đặc biệt là tài liệu nước ngoài mang tính chuyên sâu của môn CƠ LƯỢNG TỬ, 

từ đó tìm hiểu sâu hơn về lí thuyết của phần DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA và cách giải các bài toán liên quan. 

Nó  giúp  em  hiểu  được  và  nắm  rõ  về  việc  giải  những  bài  tập  và  lí  thuyết  có  liên quan, mặt khác qua đó nắm vững một cách tổng quát các dạng toán của DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA . 

Do thời gian dịch và nghiên cứu có hạn đồng thời trình độ bản thân còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót, mong các bạn và quý thầy cô giúp đỡ. Xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS.LÊ ĐÌNH đã giúp đỡ tận tình để em có thể hoàn thành bài tiểu luận  này. 

PHẦN C: TÀI LIỆU THAM KHẢO       

1. Schaums Outline of Quantum Mechanics 

2. Lê Đình (chủ biên) – Trần Công Phong, Bài giảng Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Huế, 2010. 

 3. Vũ Văn Hùng, Bài tập Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000. 

4.  Nguyễn  Hữu  Mình,  Đỗ  Đình  Thanh,  Lê  Trọng  Tường,  Tạ  Duy  Lợi,  Bài  tập Vật lí lý thuyết (tập 2), Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996. 

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 1

PHẦN A: NỘI DUNG    

Phần 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT   2 

1.1 Giới thiệu   3 

1.2 Đa thức Hermite   3 

1.3 Dao động tử hai chiều và ba chiều   3 

1.4 Phương pháp toán tử cho một dao động tử điều hòa    4 

Phần 2: CÁC BÀI TẬP VÀ LỜI GIẢI   5

PHẦN B: KẾT LUẬN 26

PHẦN C: TÀI LIỆU THAM KHẢO 27