chuyên đề khảo sát hàm số

chuyên đề khảo sát hàm số đầy đủ và chi tiết

Trang 1

Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com

CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I LÝ THUYẾT:

1 Định nghĩa: cho hàm y=f(x) xác định trên (a; b)

- Hàm y=f(x) tăng( đồng biến) trong (a; b)  x x1, 2( ; ) :a b x1 x2  f x( )1  f x( )2

- Hàm y=f(x) giảm( nghịch biến) trong (a; b)

- Hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến được gọi là hàm số đơn điệu

2 Định lý: cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a, b)

- f(x) đồng biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm)

- f(x) nghịch biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm)

0

( , ) : ( ) 0 ( ).

x  a b f x   f x

4 Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của hàm số:

- Tìm TXĐ D

- Tính y' Giải phương trình y'=0 (để tìm điểm tới hạn)

- Lập bảng biến thiên:

+ xét dấu y', suy ra tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

5 Chú ý:

- Đa thức bậc 3 chỉ đổi dấu ở nghiệm đơn và nghiệm bội 3 Tại nghiệm bội 2 không đổi dấu

- Dấu của vùng cuối cùng luôn cùng dấu với hệ số cao nhất

II BÀI TẬP:

1 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

2

3 2

3

x x

x



2 Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

2

3

x



Dạng 1: Bài toán đồng biến, nghịch biến đối với hàm có chứa tham

số

1.- f(x) đồng biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b

- f(x) nghịch biến trên (a,b)  f x'( ) 0,  x ( , ).a b

2 Xét f x( ) ax 2bx c (a0)

Trang 2

0 ( ) 0,

0 0 ( ) 0,

0

a





      







      



+ Để hàm số f(x) không đổi dấu trên toàn R là   0

3 Thông thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của tam thức với các số 

1 2

0

2 0

2

4 ( ) 0, ( ) 0, ( ( ) ê )

( ) 0

5 0 : ( ) 0, ( , )

( ) 0

o

S

f



 





 



   



 





 



   



 



      







Bài 1: Cho hàm 1 3 2

3

y m x mx  m x Tìm m để hàm số (1) đồng biến

trên tập xác định của nó

HD: (1) đồng biến trên R y' 0,    x m 2

Bài 2: Tìm m sao cho hàm số y x2 2mx m 2

x m



 đồng biến trên từng khoảng xác định

2

m

 



 



Bài 3: định m để hàm số y mx 2(m6)x3 nghịch biến trên (1,)

Bài 4: tìm m để hàm số y2x33(2m1)x26 (m m1)x1 (C m)đồng biến trên (2,)

Hd: m 1

Bài 5: tìm m để hàm số y x 42mx2 3m1 đồng biến trên (1, 2)

Vậy m 1

Trang 3

Bài 6: tìm m để hàm số 1 3 2

3

y x  x mx đồng biến trên , (,1)

Hd:

2

  

            

Vậy m 3

Bài 2: CỰC ĐẠI- CỰC TIỂU

I LÝ THUYẾT:

1 Lân cận của x o :

2 Cực đại, cực tiểu:

Định lý 1:

'( ) 0, ( , )

.

'( ) 0, ( , )

o

o o

   





'( ) 0, ( , )

.

'( ) 0, ( , )

o

o o

   





c Các điểm cực đại, cực tiểu gọi là cực trị

Định lý Ferma: nếu hàm số y=f(x) coa đạo hàm tại x o và đạt cực trị tại x o thì

Mọi điểm cực trị đều là điểm tới hạn

Quy tắc:

- Tìm TXĐ D

- Tính y' giải phương trình y'=0 tìm điểm tới hạn

- Lập bảng biến thiên

Định lý 2:

'( ) 0

f x



 là điểm cực tiểu của f(x)

'( ) 0

f x



 là điểm cực đại của f(x)

Quy tắc:

- Tìm TXĐ D

- Tính y' giải pt y'=0 để tìm điểm tới hạn x i

- Tính y'' và thế x i vào y'' từ đó áp dụng định lý 2

II BÀI TẬP:

Bài 1: tìm cực trị của hàm số:

Trang 4

2

1

x



 

Bài 2: xác định m để y x 33mx2(m21)x2 đạt cực đại tại x=2

Chú ý: nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu tam thức bậc 2 thì ta lập luận : hàm số

có cực trị khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 3: (A-2005) Cho hàm số y mx 1

x

  Tìm m để hàm số có cực trị và tìm tọa độ các điểm cực trị

Bài 4: tìm m để y f x( )x32x2mx1 có cực trị

Bài 5: cho hàm số 1 3 2 2

3

y x mx  m  m x Với giá trị nào của m thì hàm đạt cực tiểu tại x=1

Chú ý: nếu f x'( ) 00  thì x0chưa hẳn là cực trị Lúc này x0là cực trị thì đạo hàm cấp 1 phải đổi dấu hoặc f x''( ) 00 

Bài 6: tìm m để hàm số y f x( ) x2 mx 1

x m

 đạt cực đại tại x=2

1

f x

  



 , lập bảng biến thiên: m=-3

Chú ý: khi làm việc với tam thức bậc 2 có chứa m, nên lập  Nếu  là bình phương của một biểu thức thì tam thức có nghiệm đẹp Hãy lấy nghiệm và làm việc theo nghiệm

Bài 7: tìm m để ( ) 2 2

1

x

 có 2 cực trị

Bài 8: (B-2002) tìm m để hàm số y mx 49(m29)x210có 3 cực trị

m

 



  



Bài 9: tìm m để đồ thị hàm số y  x3 (2m1)x2(m23m2)x4 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung

Hd: 1<m<2

Bài 10: xác định m để đồ thị hàm số 1 3 2

3

y x mx  m x có cực đại, cực tiểu nằm cùng phía đối với trục tung

Hd:

1

2

m













Trang 5

Nhận xét: cho hàm số ( ) ( )

( )

u x

f x

v x

 đạt cực trị tại x othì giá trị cực trị tại đó là

'( )

( )

'( )

o o

o

u x

f x

v x

Bài 11: tìm m để đồ thị hàm số 1 3 2

1 3

m

không có cực trị

Đs: m 0

Bài 12: tìm m để hàm số 4 2 3 2

1

m

a Chỉ có 1 cực trị

b Có 3 cực trị

c Có cực đại

d Có cực tiểu, không có cực đại

Chú ý: - hàm bậc 3 hoặc đổi dấu 1 lần, hoặc đổi dấu 3 lần

- Hàm bậc 3 đổi dấu 3 lần khi có 3 nghiệm phân biệt

Bài 13: cho hàm số y x 3mx22 Tìm m để hàm số có CĐ, CT, đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị nằm 2 phía đối với trục Ox

Dạng 2: viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu( cực trị)

I Hàm bậc 3:

Xét y f x( )ax3bx2cx d

2

B1: điều kiện để có cực trị là y'=0 có 2 nghiệm phân biệt

B2: chia đa thức y cho y' kết quả có dạng:

y x yx

B3: giả sử có 2 nghiệm x CD,x CT thì:

,

B4: kết luận: đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: y x 

Nhận xét: nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tọa độ các điểm cực trị là:

: x : x

Ví dụ 1: cho hàm số y x 33mx29x3m5 Định m để hàm số có cực trị Viết

phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị ấy

Hd: y2(3m x2) 6m5

Ví dụ 2: cho hàm số f x( )x3mx2

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

a Đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox

Trang 6

b Đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với M(1, 1) nằm trên một đường thẳng

Hd: chia y cho y'

a f x f x( ) ( ) 01 2    m 3( sử dụng viet)

Ví dụ 3: (B-2007)Tìm m để hàm số y f x( )  x3 3x23(m21)x3m21có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị cách đều gốc tọa độ

Hd: tìm tọa độ cực trị, sử dụng công thức OA=OB Đs: 1

2

m 

Ví dụ 4: định m để đồ thi hàm số y2x33(m1)x26(m2)x1 có 2 cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y=x

Hd: m=2 hoặc m=4

II Hàm hữu tỷ:

Xét hàm số ( ) ( )

( )

u x

v x

B1: điều kiện để có cực trị y'=0 có hai nghiệm phân biệt

B2: giá trị cực trị là ( ) '( )

'( )

o o

o

u x

f x

v x



B3: đường thẳng qua hai điểm cực trị là '( )

'( )

u x y

v x



Ví dụ : cho hàm số y x2 (m 1)x m 1

x m





a C/m rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

b Định m để giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

III Hàm trùng phương:

Xét hàm số yax4 bx2c

1 Hàm số có 1 cực trị a b  0

2 Hàm số có 3 cực trị a b  0

Ví dụ: cho hàm số y x 4  2mx2  2m m 4 Định m để hàm số có cực trị và đồng thời các điểm cực trị lập thành một tam giác đều

Hd: nêu tọa độ cực trị A(0, 2m m 4), (B  m m, 4m22 ), (m C m m, 4m22 )m

Hàm số là hàm chẵn, nên B, C đối xứng qua trục tung, tức AB=AC

Tam giác ABC đều khi và chỉ khi AB=BC

Bài toán tìm quỹ tích các điểm cực trị ( tìm tập hợp điểm)

B1: tìm tọa độ điểm cực trị : ( ) (1)

( , ) (2)

x g m M





 



B2: khử m Rút m từ (1) rồi thê vào (2), ta được phương trình quỹ tích y=F(x)

Trang 7

B3: giới hạn quỹ tích, dựa vào điều kiện của tham số m, suy ra điều kiện x, y

Ví dụ 1: cho (C m) :y x 33mx21 Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị hàm số

Hd: xét m<0, m>=0

Ví dụ 2: cho hàm số (C m) :y2x33(2m1)x26 (m m1)x1.tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của hàm số

Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT

I LÝ THUYẾT:

1 Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

( ) ,

ax ( )

: ( )

D

  



 ( ) , ( )

: ( )

D

m minf x

  





2 Cần phân biệt các cặp khái niệm:

- Giá trị lớn nhất và giá trị cực đại

- Giá trị bế nhất và giá trị cực tiểu

3 Tìm GTLL, GTNN:

a Trên khoảng (a, b)( sử dụng bảng biến thiên): lập bảng xét dấu của y' và y CDlà GTLL nếu cực đại là duy nhất, y CT là GTNN nếu cực tiểu là duy nhất

b Trên đoạn [a, b]( áp dụng đối với hàm số phức tạp, lượng giác): giải phương trình y'=0 có nghiệm x x1, , [ , ].2  a b Tính f x( ), ( ), , ( ), ( )1 f x2 f a f b Số lớn nhất

là GTLL, số nhỏ nhất là GTNN

II BÀI TẬP:

Tìm GTLL, GTNN của:

Bài 1: y f x( )x42x23 trên [-3, 4]

Bài 2: y f x( ) 2 os2c x4sinx trên [0, ]

2



3

y f x  x x trên [0, ]

Bài 4: ( ) sin2

2

x

y f x   x trên [ , ]

2 2

 

Bài 5: (D-03)

2

1 ( )

1

x



 trên [-1, 2]

Bài 6: (B-03) y f x( ) x 4x2

Bài 7: ysin20 x c os20x

Trang 8

Hd: đặt tsin , 02x  t 1

Bài 8: cho x>0,y>0 thỏa điều kiện x+y=1 Tìm GTLN, GTNN của

P

Bài 9: ( ) sin46 os46



sin os ,0

4

Bài 10: cho x>0, y>0 thỏa x+y=1 Tìm GTNN của P xy 1

xy

Bài 4: TIỆM CẬN

Cho hàm số y=f(x)

1 Tiệm cận đứng:

Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp sau lim , lim , lim , lim

x a    x a    x a    x a    thì x=a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 Chú ý: xét ( )

( )

u x y

v x

 , nếu a là nghiệm của mẫu thì x=a là tiệm cận đứng của đồ thị

Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:

2

( ) ( ) ( ) .

3 Tiệm cận ngang: đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng y=b làm tiệm cận ngang

khi xảy ra một trong hai trường hợp sau: lim ( ) , lim ( )

4 Chú ý: đồ thì hàm số hữu tỷ có đường tiệm cận ngang khi bậc tử bậc mẫu

Ví dụ: tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

2

( ) .

Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Các bước giải bài toán: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x)

1 Tìm tập xác định D ( tính chẵn, lẻ nếu có)

2 Chiều biến thiên:

- Tìm các giới hạn ở vô tận

- Tìm các đường tiệm cận( nếu có)

- Tính đạo hàm y' Tìm các điểm tới hạn Xét dấu y' để tìm khoảng tăng, giảm và tìm cực trị( nếu có) của hàm số

- Lập bảng biến thiên

3 Vẽ đồ thị:

Trang 9

- Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị:

+ Các điểm cực trị

+ Giao điểm của đồ thị với trục Oy, Ox

- Vẽ đường tiệm cận

- Vẽ đồ thị

I Hàm bậc ba y f x( ) ax 3bx2cx d a ( 0):

Khảo sát tổng quát:

- D

- Tiệm cận- giới hạn:

lim ( )

x

a

f x

a







lim ( )

x

a

f x

a







- y' 3 ax22bx c

- '' 6 2 0

3

b

a



Điểm uốn của đồ thị là điểm ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm của đồ thị Khi đĩ tiếp tuyến đâm xuyên qua đồ thị Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối

xứng

- Bảng biến thiên: cĩ 6 trường hợp

- Đồ thị: cĩ 6 dạng

Các dạng đồ thị:

*a>0:

1 y'=0 cĩ 2 nghiệm phân biệt:

14 12 10 8 6 4 2

2.y'=0 cĩ nghiệm kép:

12 10 8 6 4 2

-2 -4

3 y'=0 vơ nghiệm:

Trang 10

12 10 8 6 4 2

-2 -4

Ví dụ 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

3 2

*a<0

4.y'=0 có 2 nghiệm phân biệt:

6 4 2

-2 -4 -6 -8

5 y'=0 có nghiệm kép:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

6.y'=0 vô nghiệm:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

3 2

1

3

3 2

II Hàm trùng phương y f x( ) ax 4bx2c (a0):

- D

- Đồ thị nhận trục trung làm trục đối xứng( vì hàm chẵn)

- Các dạng đồ thị:

a>0 a<0

y'=0 có 3

nghiệm

phân

biệt

0

ab

 

8 6 4 2 -2 -4 -6 -8

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	365,13 KB