tài liệu ôn thi đại học môn toán mới nhất khảo sát hàm số

Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.. Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba trùng phương có 2 cực

Chủ đề 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Nội dung 1: Tính đơn điệu của hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định lý 1: Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)0 với mọi xK

b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)0 với mọi xK

 [ f(x) đồng biến trên K]  [f '(x)0 với mọi xK]

 [ f(x) nghịch biến trên K]  [f '(x)0 với mọi xK]

 [f '(x)0 với mọi xK]  [ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x  với mọi x0 Kthì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x  với mọi x0 Kthì hàm số f (x) nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x  với mọi x0 Kthì hàm số f (x) không đổi trên K

 [f '(x)0 với mọi xK]  [ f(x) đồng biến trên K]

 [f '(x)0 với mọi xK]  [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số yf (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x 0 với mọi xKvà f ' x  chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K 0

thì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x  với mọi x0 Kvà f ' x  chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K 0

thì hàm số f (x) nghịch biến trên K

4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba yf x ax3bx2cxd a 0, ta có f ' x 3ax22bx ca) Hàm số yf x ax3bx2cxd a 0 đồng biến trên   f ' x 3ax22bx c 0 x  

yf x ax bx cxd a0 nghịch biến trên     2

f ' x 3ax 2bx c 0 x   NHẮC LẠI

Định lý: Cho tam thức bậc hai 2

B Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình y ' 0 có hữu hạn

nghiệm, nếu phương trình y ' 0 có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng

♣ y ' 0 x   

2 2

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3 m0.

Ví dụ 2 Cho hàm số yx33mx23(m21)x2m Tìm 3 m để hàm số nghịch biến trên khoảng  1;2

x x

mx y

x m Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

mx y

x m Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x '( )0 0

2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc 1

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng a b chứa điểm ;  x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và

x b Khi đó 0; 

a) Nếu f x '( ) 0 với mọi xa x; 0 và f x '( ) 0 với mọi x x ; b0 

thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f x '( ) 0 với mọi xa x; 0 và f x '( ) 0 với mọi x x ; b0 

thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b chứa điểm ;  x , 0 f '(x0) và f có đạo hàm cấp hai khác 0không tại điểm x0 Khi đó

a) Nếu f ''( )x 0 0 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f ''(x 0) 0 thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

B Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị)

♣ Hàm số có ba điểm cực trị  y ' 0 có ba nghiệm phân biệt

 (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

3

m m m m

a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x0  y x'( )0 0  Giá trị của tham số m

b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y' thử lại Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc

♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

 y ' 0 có hai nghiệm dương phân biệt

03

m P

m S

42

12

m m

Vì x1 và x2 là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có: 1 2 2

2

m x m m x

Ví dụ 4 Cho hàm số yx33mx1 (1), với m là tham số thực Cho điểm A(2;3) Tìm m để đồ thị hàm

số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

Ví dụ 5 Cho hàm số yx42mx22mm4 (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có

ba điểm cực trị A B C, , đồng thời các điểm A B C, , tạo thành một tam giác vuông

♣ Với x 0  y2mm4

2

ym m  m Tọa độ các điểm cực trị A B C, , là

Bài 7: Cho hàm số  y x33x23(m21)x3m21 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số yf x  xác định trên tập hợp D

 Số M được gọi là GTLN của hàm số yf x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN a) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức

(hay phương pháp dùng định nghĩa)

Dấu "=" xảy ra khi ab

b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình

(hay phương pháp miền giá trị)

Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng yf x 

 Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :

+ Trường hợp 2: Với y 1 thì (2) có nghiệm   0

 1 2yy cos x 1 sin xycosxsinx 1 2y (2) (dạng a cos xb sin x ) c

c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích)

 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:

Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn a; b thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó 

 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số yf x  trên miền D, ta lập

BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả

 Phương pháp riêng:

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần

lập bảng biến thiên của nó Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn a b và có đạo h;  àm trên

khoảng a b;  , có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f x '( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc

a b; thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn a b như sau:; 

 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn a b ; 

 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn a b; 

ii ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2 sin2xcosx1





 trên đoạn 1; 2 7)

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1) ys in2xx trên đoạn ;

2

ln x

y trên đoạn 1; e3

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

1) yx2lnx trên đoạn  1;e 2)

2

11

x y x





 trên đoạn 1; 2

3) y x2 3 xlnx trên đoạn 1; 2 4) yx2ln(1 2x) trên đoạn 2;0

Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

y x  x xx 9) y x24x21 x23x10 (Khối D-2010)

Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

Bài toán tổng quát

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x)(C ) : y g(x)

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 )

O

)(C1

)(C2

)(C1

)(C2

)(C1

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

Chú ý 2 :

* Nghiệm x 0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

B Phương pháp giải toán

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị 1

132

x x

♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt  (1) có hai nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1



2

2(2 1) 4 0 (2)

♦  C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  (1) có ba nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

m m m

Ví dụ 3 Cho hàm số yx4(3m4)x2m2 có đồ thị là  C m Tìm m đồ thị  C m cắt trục hoành tại bốn

điểm phân biệt

♦  C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt  (1) có bốn nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm dương phân biệt



2 2

50

43

m m

m m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

450

m m

 Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị

 Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số 1

2

mx y x

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác  2   2

3 8 0

8 2 6 1 0

m m

Theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2

3212

♦  C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  (1) có ba nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

 9 4( 2) 0

m m

m m

Ví dụ 3 Cho hàm số yx4(3m4)x2m2 có đồ thị là  C m Tìm m để đồ thị  C m cắt trục hoành tại

bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Bài giải

x  m x m  (1) Đặt tx2 t 0, phương trình (1) trở thành:

t2(3m4)tm20 (2)

♦ (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt  (1) có bốn nghiệm phân biệt

 (2) có hai nghiệm dương phân biệt



2 2

50

43

m m

m m

m t

m m

Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C): 1 3 2

3

y x  và đường thẳng x (d) : y 3x 5

3

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):

1

12

x 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  3x m cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

x 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  x m cắt đồ thị

hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB  26

Đáp số: m  2 m  8

Bài 12*: Cho hàm số  



x 3y

x 1 có đồ thị là (C) Chứng minh rằng đường thẳng y 2x m  luôn cắt (C) tại

hai điểm phân biệt A B, Xác định m sao cho độ dài đoạn AB là nhỏ nhất

Đáp số: m 4

Bài 14*: Cho hàm số 2 3

1

x y x





 có đồ thị là (H) Tìm m để đường thẳng d x: 3ym0 cắt (H) tại hai

điểm M, N sao cho tam giác AMN vuông tại điểm (1; 0) A

Bài 15*: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng d y: xm cắt (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc toạ độ )

Bài 17*: Cho hàm số yx33x2 có đồ thị là (C) Tìm viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua điểm

A(2; 0) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2 3 ( với O là gốc

toạ độ )

Bài 18*: Cho hàm số  



x y x

Nội dung 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán

Trong đó : x0 : hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0)

k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0)

Ví dụ: Cho hàm số 2 3

1

x y

1

y x





♣ Phương trình tiếp tuyến tại A là y 3 y'(0)(x    0) y x 3

♣ Phương trình tiếp tuyến tại B là y 1 y'(2)(x2)    y x 1

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y  x 3 và y  x 1.

2 Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y( ;0 0) ( ) C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f x'( 0) , từ đó suy ra k y0  f x( )0 =?

Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y 0 = k ( x - x 0 ) ta sẽ được pttt cần tìm

Ví dụ: Cho hàm số 2 1

2

x y x

2

y x

x x

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước

Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:

Định lý 1: Nếu đường thẳng (  ) có phương trình dạng : y = ax + b thì hệ số góc của (  ) là:

♦ Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  9

♦ Gọi M x y( ;0 0) ( ) C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k   9 y x'( )0 9

 3x026x0  9 0

 0

0

13

x x

a

k1/

O

b ax

Cho hàm số yx33x23x có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng ( ) : y3x

Đáp số: y3x4

Ví dụ 2: Cho hàm số 2

2

x y x





 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng ( ) : y  x 2

Bài giải

♦ Ta có:

4'

2

y x



♦ Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) nên hệ số góc của tiếp tuyến là k  1

♦ Gọi M x y( ;0 0) ( ) C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k   1 y x'( 0) 1

A A A

)(:)

Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) tại điểm M0(x0;y0)( )C

( ) :d y f x'( )(0 xx0) f x( 0) (*)

Bước 2: Định x0 để (d) đi qua điểm A(xA;yA) Ta có:

(d) đi qua điểm A(xA;yA)  y A  f x'( )(0 x Ax0) f x( )0 (1)

Bước 3: Giải pt (1) tìm x0 Thay x0 tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm

Ví dụ 1: Cho hàm số yx33x22 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến đi qua điểm A2; 2 

x x

♦ Gọi M x y 0; 0   C với 0

0 0

22

x y x

x x

 tại điểm trên đồ thị có hoành độ x  3

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3x 2

y

x 1





 tại điểm trên đồ thị có tung độ y 2

Bài 4: Cho hàm số y 2x33x2 (1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại 1điểm trên (C) có hoành x0, biết rằng y ''(x ) 00 

Bài 5: Cho hàm số yx48x212 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), khi biết tung độ tiếp điểm là

12

Bài 6: Cho hàm số y x36x29x3 (C) Gọi A là điểm thuộc  C có hoành độ là 4 , viết phương

trình tiếp tuyến của  C tại điểm A Tiếp tuyến nầy cắt  C tại điểm B ( B khác A ), tìm tọa độ điểm B

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x33x biết tiếp tuyến có hệ số góc k  9

Bài 8: Cho hàm số yx33x2, có đồ thị là ( )C Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )C sao cho tiếp tuyến của

( )C tại M có hệ số góc bằng 9

Bài 9: Cho đường cong (C): 1 3 2

3

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y3x1

Bài 10: Cho đường cong (C): 1 3 1 2 4

Bài 11: Cho đường cong (C):  



2x 3y

2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc

 



 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M, biết

khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng :y2x1 bằng 3

5

Bài 19*: Cho hàm số 2 1

1

x y x



 có đồ thị là (C) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận tại hai điểm A và B thỏa mãn AB  17

Bài 20*: Cho hàm số  



11

x y

x có đồ thị  C

Tìm các giá trị mđể đường thẳng  d :y2xm cắt đồ thị  C tại A và B sao cho tiếp tuyến của  C

tại A và B song song với nhau

Nội dung 6: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cơ sở của phương pháp

Xét phương trình f(x) = g(x) (1)

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C1):y = f(x) và (C2):y = g(x)

Bài toán: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng : f(x) = m (*) Phương pháp:

Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

Bước 2: Vẽ (C) và (  ) lên cùng một hệ trục tọa độ

Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (  ) và (C)

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

)

;0

)(C2