ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 15 NĂM 2014

Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị C của hàm số.. Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm S trờn mặt phẳng ABCD trựng với trọng tõm tam giỏc BCD.. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng ABCD một gúc 45

ễN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 15 NĂM 2014 Thời gian làm bài 150 phỳt

Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x





 cú đồ thị là (C)

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tỡm cỏc giỏ trị m để đường thẳng y  3xm cắt (C) tại A và B sao cho trọng tõm của tam giỏc OAB thuộc đường thẳng x 2y  2 0 (O là gốc tọa độ)

Cõu II (2,0 điểm)

1 Giải bất phửụng trỡnh 3 2

2 Giải phửụng trỡnh cos cos 3 1 2 sin 2

4

Câu III (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn

2

2

0

1 3 sin 2x 2 cos xdx





Câu IV (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật,

AB  a AD  a Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm S trờn mặt phẳng (ABCD) trựng với trọng tõm tam giỏc BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một gúc 450 Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD và khoảng cỏch giữa hai đường thẳng

AC và SD theo a

Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là cỏc số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

1

PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần

B)

A Theo chương trỡnh chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3xy  5 0, d2: 3xy  1 0 và điểm (1; 2)

I  Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao

cho AB 2 2

2 Trong khụng gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) và mặt phẳng (P) cú phương trỡnh x 3y z 2  0 Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Gọi  là giao tuyến của (P) và (Q) Tỡm điểm M thuộc  sao cho đoạn thẳng OM nhỏ nhất

Cõu VII.a (1,0 điểm) Tỡm số phức z thỏa món (1 3 )  i z là số thực và z 2 5i 1

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3xy  5 0, d2: x 3y  5 0 và điểm (1; 2)

I  Gọi A là giao điểm của d1 và d2 Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua I và

cắt d1, d2 lần lượt tại B và C sao cho 12 12

AB  AC đạt giỏ trị nhỏ nhất

2 Trong khơng gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) và C(2;2;1) và mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình    

2







ĐÁP ÁN ƠN TỐN ĐẠI HỌC ĐỀ 15 NĂM 2014

1

x y x





 TXĐ : \ 1  ' 3 2 0, 1

x



 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (  ;1) và (1;  )

  TCĐ : x 1 lim 2 1 2

1

x

x x





 

 TCN : y 2 Lập BBT

Đồ thị

Pt hồnh độ giao điểm: 2 1 3

1

x

x



  

 Với đk x 1

2

PT2x 1 (x1)( 3 x m )3x (1m x) m 1 0 (1)

D cắt (C) tại A và B  Pt (1) cĩ 2 nghiệm khác 1

2

11

1

m

m



 



Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của (1) Khi đĩ A x( ; 31  x1m B x), ( ; 32  x2m)

Gọi G là trọng tâm tam giác OAB 2 1 ; 1

m m

 

6

5

4

3

2

1

-1

-2

1 1 11

5

m  

Điều kiện : x  1 Đặt 1 2 0

1

y





 



Bpt trở thành 3 2 2

x  x  y y

TH 1 y 0 x  1 Thỏa mãn BPT TH 2 y 0  x  1 Chia hai vế cho 3

y ta được

Đặt t x

y

 và giải BPT ta được t 1

2

0

1 0

x x

x

y

  







       



   





1

2

x x

x x











Kết hợp x  1 ta được 1 1 5

2

   Vậy tập nghiệm của BPT là S = 1;1 5

2



4

 2 cos 2x cos x 1 sin 2x cos 2x     cos 2x(2 cos x 1) 1 2 sin x cos x   

(cos x sin x)(2 cos x 1) (cos x sin x)2  2    2

 







2

4

Vậy pt có nghiệm là x  k



2

2

0

1 3 sin 2x 2 cos xdx





sin 3 cos 0 tan 3

3



2

  

  nên

3



0

3



0

3



 3  2

0

3



         

theo a

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD Theo GT SH  (ABCD)

SA tạo với đáy góc 450 suy ra 0

SAH  SH AH  a Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD thì

3

V  S SH  a a a a Gọi M là trung điểm của SB Mặt phẳng (ACM) chứa

AC và // SD Do đó d SD AC( ; ) d SD ACM( ; ( )) d D ACM( ; ( )) Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình

vẽ Khi đó

2 4 2 (0; 0; 0), ( ; 0; 0), (0; 2 2 ; 0), ; ; 2 , ( ; 2 2 ; 0)

5 2 2

5 2 2



(2 2 ; ; 2 )

 

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm A và có vtpt (2 2; 1; 2)

8 1 2 11

 

Câu 5: Chứng minh

1

(y zxz) ( y y x z z z) (y x z y)(  z z)

2

2

   Tương tự, cộng lại ta được

M

H O

B

D

C

A

S

VT (1) 2 2 2 1

Chứng minh được 2

(xyz) 3(xyyzzx) Suy ra VT (1)    2 1 1 Đẳng thức xảy ra

x yz

Ad A a  a Bd B b  b IA  (a  1; 3a 3)  0;  IB (b  1; 3b 1)

IB k IA





Nếu a  1 b  1 AB 4 (không TM) Nếu

1

1

b

a





AB b a  a b   t  t  t b a 2

2

5

t

t

 





  



t   b a  b a   xy 

AB 3; 3 3; ( 1; 1; 1)

2 2 2



Pt (Q) là 3 0

2

xy z  Đường thẳng  đi qua điểm

7 1

; 0;

4 4

I 

  và có vtcp u  (2; 1; 1)  

Pt tham số của  là 7 2 , , 1

x   t y t z t

2

; ;

Giả sử zxyi, khi đó (1 3 )  i z (1 3 )(  i a bi ) a 3b (b 3 )a i

(1 3 )  i z là số thực b 3a 0 b 3a





   



Vậy 2 6 , 7 21

5 5

AB  AC đạt giá trị nhỏ nhất d1 d d2, 1d2  AA( 2;1) Gọi H là hình chiếu của A trên BC

ABC vuông tại A nên 12 12 1 2

AB  AC  AH 12 12

AB  AC nhỏ nhất 1 2

AH

 nhỏ nhất

AH

 lớn nhất H I Khi đó  qua I và có vtpt n   AI    ( 1; 1)

Pt  là xy  1 0

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Chứng minh được MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2

MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất M là hình chiếu của G trên (P)

Tìm được tọa độ 4 2

1; ;

3 3

Tìm được

22 61 17

; ;

2







Đk Giải hệ phương trình 1 1 0 0 1



(1)2 logx(1x) y2 2 log y 1x 6 2 2 log1xy22 log2y1x6

Đặt tlog1x(y2) ta được 2 2

2 2t 6 2t 4t 2 0 t 1

t

y  x Thế vào (2) ta được 1   1   1

x

x

  

 



Vậy x  2 6,y   1 6