ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014

Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC... IV 1 điểm Trong tam giỏc vuụng SAB cú 2.

ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014 Thời gian làm bài 180 phút

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x4 – 5x2 + 4

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M

Câu II: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: 2 os6x + 2cos4x - 3 os2x = sin2x + 3c c

2 Giải hệ phương trình:

x - y + x + y = y

x - 4x y + 3x = - y









Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân

/ 4

2 0

ln(sin cos ) cos

dx x





Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong

đường tròn đường kính AD = 2a, SA  (ABCD), SAa 6, H là hình chiếu vuông góc của

A trên SB Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và

SC

Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =

a3

1

b3

1

1

Câu VI (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương trình

2 2

x + y =1 4

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt elip tại A, B sao cho 3MA -5MB=0  

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2) và mặt phẳng (P) có phương trình z = 2 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm B,  nằm trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  bằng 5

Câu VII (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn z   2 i 52, tìm số phức z mà

z   i là nhỏ nhất

ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 23 NĂM 2014

I-1

(1điểm)

y = x4 – 5x2 + 4 + TXĐ: R +Giới hạn và tiệm cận: lim

+ Sự biến thiên: y’ = 4x3  10x = 0  x = 0 hoặc x = 5

2



Hàm số nghịch biến trên: (; 5

2

 ) và (0; 5

2)

Hàm số đồng biến trên: ( 5

2; + )và (

5 2

 ,0)

Các điểm dực trị xCĐ = 0, yCĐ = 4; 5

2

xCT1  , yCT1 = 9

4

2

xCT2  , yCT2 = 9

4

 ;

§å thÞ:

8

6

4

2

2

4

6

8

y

x

O

4

0

+ +

+∞ +∞

y’

I-2

(1điểm)

Lấy M(m ; m4 – 5m2 + 4)  (C)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M : y = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + 4 (d)

Hoành độ của (d) & (C) là nghiệm phương trình:

x4 – 5x2 + 4 = (4m3 – 10m)(x – m) + m4 – 5m2 + 4

 (x – m)2(x2 + 2mx + 3m2 – 5) = 0 (1)

Cần tìm m để x2 + 2mx + 3m2 – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác m

Điều kiện là















0 5 6

0 2 5

2 2

m m

Các điểm M(m ;m4 – 5m2 + 4) (C) với hoành độ 10 10 30

m      

II-1

(1 điểm)

2 os6x+2cos4x- 3 os2x = sin2x+ 3c c 4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2 3cos2x

os x=0 2cos5x =sinx+ 3 cos

c

x



 



cos 0

os5x=cos(x- )

6

x













2

24 2

36 3

k x

k x







 







   





  



II-2

(1 điểm)

Hệ tương đương

2







0 1 (1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0

2 2

x

y











 



Với x = 0 suy ra y = 0

Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra 2 1

2

x   y  (Vụ lớ) Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2

Hệ cú 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)

III

(1 điểm)

Đặt u = ln(sinx cos )x du = cos sin

sin cos

dx







Ta cú : I =

/ 4 / 4 0 0

cos sin (tan 1) ln(sin cos )

cos

x



= 2 ln 2 ( ln cos )0/ 4 3ln 2

4 2

IV

(1 điểm)

Trong tam giỏc vuụng SAB cú

2

7 7



 B.SCD S.BCD

HSDC

K là hỡnh chiếu của B trờn AD ta cú: BK.AD = AB.BD suy ra

2

AD

3

V

14

HSDC

a



Do AD//(SBC) nờn d(AD SC, )  d(AD SBC, )  d( ,A SBC )

Dựng hỡnh bỡnh hành ADBE Do ABBD nờn ABDE

Suy ra d(AD SC, )= h = 6

3

a

V

(1điểm)

Đặt x =

c

z b

y a

1 ,

1 ,

1



 Do abc 1  xyz 1 Khi đó:















x y

z z x

y z y

x A

1 1 1 1 1 1

3 3

yzzxxy yzzxxy (*)

Áp dụng bất đẳng thức Trung bình cộng- trung bình nhân cho các số dương ta có:

2

4

x



2

4

y



2

4

z



Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :

2

 

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

A=

2

3 2

3 2

3 2

2 2



















z y x y x

z x z

y z y

x

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 3

2 đạt khi a = b = c = 1

A

S

E

H K

VI- 1

(1 điểm)

2





 



 



Để d cắt elip ở 2 điểm phân biệt điều kiện là phương trình

2

nt  n t nt

Điều kiện là:

2 2

2 2

0 4

3

0 4

m n m n

  





   



Xét Amt1, 2nt1, Bmt2, 2nt2, MA mt nt 1, 1, MB mt nt 2, 2

Theo định lí Vi- et có

2

2

4

4 3

4

n

m n

t t

m n

  







 







Suy ra m2 n2

Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = - 1

Phương trình d là

2

 



  

 



  



VI-2

(1 điểm)

Gọi H là hình chiếu của A trên  thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5

Gọi A’ là hình chiếu của A trên  thì A’(0, 0, 2) Ta có:

BH x  y  A H x y nên có

HB HA    x  x y 

Từ (1), (2) tìm được

16 5 12 5

x y

 





 



hoặc

16 5 12 5

x y

 



 

 



Với H (16

5 ,

12

5 , 2) suy ra

2

y t z

  





 



  

VII

(1 điểm)

Gọi z = x + iy khi đó M(x,y) biểu diễn z

M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R = 52

A(4, -2) biểu diễn 4 – 2i Ta có AM = z  4 2i

Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất

AI có phương trình

  



   



1

t

t

 





t = - 1 suy ra M1 (6, -5) và AM = 13; t = 3 suy ra M2 (-2, 7) và AM = 3 13

Vậy M(6, -5) là điểm cần tìm