Chứng minh đồ thị 1 luơn cắt trục hồnh tại điểm A cố định với mọi m.. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng SHC, SHD,ABCD đơi một vuơng gĩc.. Biết SCa 3, tính thể tích kh
Trang 1ƠN TỐN ĐẠI HỌC ĐỀ 9 NĂM 2014 Thời gian làm bài 150 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm ):
Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y x 3 3 x2 ( m 4) x m m là tham số , (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4
2 Chứng minh đồ thị (1) luơn cắt trục hồnh tại điểm A cố định với mọi m Tìm m để đồ thị
(1) cắt trục hồnh tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho 1 1
0,
A
k
k k trong đĩ k k k A, B, C
lần lượt là hệ số gĩc tiếp tuyến của đồ thị (1) tại A, B, C
Câu II ( 2,0 điểm)
3
2 Giải phương trình x2 x 1 x2 3 x 1 2 x 1
1
3
2 3 1
26
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật ; tam giác SAB vuơng
cân tại S Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD),(ABCD) đơi một vuơng gĩc Biết SCa 3, tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a Tính gĩc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC)
Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y là các số thực thoả mãn : x2 xy y2 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
1
1
2 2
4 4
y x
y x
P
PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm ) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( A hoặc B )
A.Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD cĩ đường phân giác trong của
gĩc ABCđi qua trung điểm của cạnh AD và cĩ phương trình x y 2 0 ; đỉnh D nằm trên
đường thẳng cĩ phương trình x+y-9=0 Biết điểm E(-1;2) nằm trong đoạn thẳng AB và đỉnh
B cĩ hồnh độ âm Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
:
đường thẳng vuơng gĩc với d1,cắt d2 và d3 tại hai điểm A, B sao cho AB 3
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z1 z i và 1
z
z là số thực
B Theo chương trình nâng cao
C Câu VI.b (2,0 điểm)
x y
E Gọi F F1, 2 là các tiêu điểm của
(E) Tìm tọa độ điểm M trên (E) sao cho bán kính đường trịn nội tiếp MF F1 2 bằng 2
5
Trang 2
2 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P :x y 3z140 Viết phương
trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) và đi qua hai điểm A(1;3;2), B(-3;1;4) Viết phương trình mặt phẳng
(Q) qua A,B và cắt (S)theo một đường trịn cĩ diện tích bé nhất
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2012 2011
2012
3 log ( 2 6) 2 log ( 2) 1
y
ĐÁP ÁN ƠN TỐN ĐẠI HỌC ĐỀ 9 NĂM 2014
Câu 1: Với m4 ta có yx33x24
10 Tập xác định
20 Sự biến thiên: Giới hạn
2
x
x
x - 0 2 +
y
30 Đồ thị
Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (-1;0) và (2;0)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;4)
y’’= 6x-6; y’’= 0 khi x=1 Vậy tâm đối xứng của đồ thị là I(1;2)
2
1 0
x
Ta thấy đồ thị luôn cắt trục Ox tại điểm A(-1;0) với mọi giá trị của m
Để đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt thì pt(1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác -1
1 2
4 , là hai nghiệm của phương trình (1), theo định lý Viet ta có x x
x x
x x m
4 2
-2
O I
Trang 3
1 2
Khi đó x , là hoành độ của B và C, hệ số góc tại A,B,C sẽ là
5
x
m
m
2
4 4
4 1
m m
m
2
ĐK x x k k
2
2
2 6
6
cos
2
x
x
Đối chiếu điều kiện ta có các nghiệm 2 ,
6
Câu 2: 2, ĐK x: 23x 1 0
1
2
1
2
x
x
2
2
2
ng trình (1)
3
2
8
x
Câu 3:
1 2
Trang 4
3
3 3
2
3
1
26
1
26 322
91
d x x x
Vậy I
Câu 4:
0
2 Như vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD) là góc giữa HG và HF, ta có HFG có HF= ;
2
a
GF
Câu 5: Tõ gi¶ thiÕt suy ra:1 x2 xy y2 2 xy xy xy ;1 ( x y )2 3 xy 3 xy
3
1
xy
M¨t kh¸c x2 xy y2 1 x2 y2 1 xy nªn x4 y4 x2y2 2 xy 1 §Ỉt t=xy
3
1
; 2
2 2 )
(
2
t
t t t f P
TÝnh
) ( 2 6
2 6 0
) 2 (
6 1 0
)
(
l t
t t
t
f
Do hµm sè liªn tơc trªn ;1
3
1
3
1 (
f , f( 62), f(1) cho ra kÕt qu¶:
6 2 6 ) 2 6
f
15
11 ) 3
1 ( minP f
G F
E H
A
B
D
C S
4
2
5
E'
O B
A
C
D M
E
Trang 5
0 0
Gọi '( ; ) là điểm đối xứng của E qua phân giác ta có hệ
, '(0;1)
2 0
Gọi B(t; t+2), t < 0,do ABCD là hình chữ nhật và E
E x y
E
nằm trong đoạn AB nên E' nằm trên đoạn
phương trình đường thẳng BE là x=-1, pt của đt BE' là y=1
Gọi A(-1;a),a 2 và D(d;9-d) ta có tọa độ
Từ (1) và (2) ta có a=4 và d=5
a d
hay A(-1;4) và D(5;4)C(5;1)
2 2 '
3
và có vtcp u 1;1;2
1
0
1
Với t=0 ta có A(1;-1;0); 1; 2; 2 Ptct của :
Với
t
t
BA
t=-1 ta có A(0;-3;-1); 2; 2;1 Ptct của :
BA
Câu 7a:
2
1
Vì là số
x x i
z
z
Như vậy có 2 số phức thỏa mãn bài toán là và
x
Trang 6Câu 6b: 1,
Ta có F1(-2;0) và F2(2;0); F1F2=4
1
2 Từ (1) và (2) ta có 5 Như vậy có 2 điểm tho
y
Câu 6b: 2, Vì mặt cầu (S) đi qua A,B và tiếp xúc với mp(P) mà B nằm trên (P) nên (S) tiếp xúc với (P) tại
B, do đó tâm I của mặt cầu nằm trên đường thẳng d đi qua B và vuông góc với (P), d có vtcp là u 1;1; 3
x y z
Mặt khác, tâm I cũng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, mặt phẳng này đi qua trung điểm M(-1;2;3) của AB và có vtpt
Như vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ
Bán kính của mặt cầu là R=IA= 11 Phương trình của mặt cầu là (x+2)2+(y-2)2+(z-1)2=11
Gọi r là bán kính đường tròn ta có r2d2I Q;( )11r211d2I Q;( )
đường tròn giao tuyến có diện tích nhỏ nhất khi r nhỏ nhất hay d I Q;( ) lớn nhất
Mặt khác, IM AB và ;( ) , dấu bằng xẩy ra khi M là hình chiếu của I lên mp(Q)
d I Q IM
Câu 7b:
2012
2 2
y
+) ĐK: x + 2y + 6 > 0 và x + y + 2 > 0
+) Lấy logarit cơ số 2011 và đưa về pt: x2 log2011( x2 2012) y2 log2011( y2 2012)
2011
1 Xét hàm số ( ) log ( 2012), 0 '( ) 1 0
2011( 2012) ( ) là hàm số đòng biến trên (0;+ )
t
f t
từ đĩ suy ra x2 = y2 x= y hoặc x = - y
+) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log3(x+2)=2log2(x+1)
Đặt 3t=log2(x+1) ta được x=23t-1 do đĩ 3log3(23t+1)=6t8t+1=9t
1
, cm pt này cĩ nghiệm duy nhất t = 1 x = y =7
2
-2
O
M
Trang 7+) Với x = - y thế vào (2) được pt: log3(y + 6) = 1 y = - 3 x = 3.Vậy hệ có các nghiệm là (7;7); (3;-3)