Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 1 có các điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của cạnh SC và SB.. Tính thể tích khối chóp S
Trang 1ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 20 NĂM 2014 Thời gian làm bài 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 ( 2 m 1 ) x2 ( m2 3 m 2 ) x 4 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2 Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung
Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình – HPT:
1/.
2
sin 4 3
cos 3
2/
6 3 7
4 2 2
y x
y x
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2 ln
0
2
dx e
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Gọi M và N
lần lượt là trung điểm của cạnh SC và SB Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a, biết BM vuông góc với CN
Câu V (1,0 điểm) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình
m x x x
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2012 = 0 và đường tròn (C): ( x 3 )2 ( y 1 )2 3 Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài bằng 2 5
2 Cho các điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;3;2) và mặt phẳng (): x + 2y + 2 = 0 Tìm tọa
độ của điểm M, biết rằng M cách đều các điểm A, B, C và mặt phẳng ()
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 5 i z 3 i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
16 25
2 2
y
x
Tìm tọa độ điểm M thuộc (E) sao cho MF1
= 4MF2 (F1 và F2 là tiêu điểm bên trái và bên phải của (E))
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;-1;1) Viết phương trình mặt phẳng
(P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4 i z 2 i Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
Trang 2ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 20 NĂM 2014
2 (1,0 điểm)
Ta có y' 3 x2 2 ( 2 m 1 ) x ( m2 3 m 2 ) Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu 0,25
0
0 '
P
0,25
0 ) 2 3 (
3
0 ) 2 3 ( 3 ) 1 2
(
2
2 2
m m
m m
2
1
II
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
2
sin 4 2
2 3
2 cos 1 2
2 3
2 cos 1 2
sin 4 3
cos 3
x x
x x
0 2 cos 3
2 cos 2 2 sin 0 2 3
2 cos 2
3
2 cos 2
0 3 sin sin
2 0 2 cos 2 sin 2
) ( 2
3 sin
1 sin
VN x
x
2
2 k
2 (1,0 điểm)
ĐK: 7 x 2 , 3 y 2
Ta có
2 2 3
2 7
10 2 3
2 7
6 3 7
4 2 2
y y
x x
y y
x x
y x
y
Đặt u x 7 x 2 và v y 3 y 2 (u > 0 và v > 0)
Ta được
2 5 5
10
v u
v u
0,25
5
5 25
10
v
u uv
v
Khi đó
6
2 5
2 3
5 2 7
y
x y
y
x x
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;6)
0,25
III
(1,0
điểm)
(1,0 điểm)
Ta có:
2 ln
0 2 2
ln
0
2
e dx e
dx e
0,25
Ta được
2
1 2 2
1
2
2
1 t
e
0,25
= 4 2
2
1
e
e Vậy I = 4 2
2
1
e
IV
(1,0
điểm)
(1,0 điểm)
Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm SBC
Trang 3Từ đó GB GC =
2
2 2
2
1
a GI SI
2
3
3
Xét tam giác vuông SHI (H là chân đường cao của hình chóp hạ từ A) ta có:
SH SI2 HI2 mà SI =
2
3a
và HI =
6
78 6
SH
a
0,25
Vậy VS.ABC =
24
26
3
S
V
(1,0
điểm)
(1,0 điểm)
m x x x
x 9 2 9
(1) ĐK: 0 x 9 (1) x 9 x 2 x2 9 x m 9 2 x ( 9 x ) x ( 9 x ) m (2) 0,25 Đặt t = x ( 9 x ) thì t
2
9
; 0
Khi đó (2) trở thành 9 - m = t2 - 2t (3) với t
2
9
;
0
0,25
Bài toán trở thành tìm các giá trị của m để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm t
2
9
; 0
Xét hàm số f(t) = t2 - 2t trên
2
9
;
0 ta có fmax =
4
45
và fmin = -1
0,25
4
9 4
45 9
1
Vậy các giá trị của m để phương trình có nghiệm là 10
4
9
m
0,25
VIa
(2,0
điểm)
VIIa
(1,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Do // dnên phương trình có dạng 3x - 4y + c = 0 ( c 2012) Gọi AB là dây cung mà cắt (C) (AB =
5
2 ) và M là trung điểm AB
0,25
(C) có tâm I(3;1) và bán kính R = 3 Ta có IM = R2 MA2 9 5 2 0,25
5
4 9
0,25
15
5 10
5
c
c
c Vậy : 3x - 4y + 5 = 0 hoặc 3x - 4y - 15 = 0
0,25
2 (1,0 điểm)
Goi tọa độ điểm M(a;b;c) Ta có: MA2 = MB2 ( a 1 )2 b2 c2 a2 ( b 1 )2 c2
a = b (1)
0,25
MB2 = MC2 a2 ( b 1 )2 c2 a2 ( b 3 )2 ( c 2 )2
b = 3 - c (2)
0,25
2
) 1 ( 5
2 2
c b a
b a
Thay (1) và (2) vào (3) ta được
0,25
6a2 - 52a + 46 = 0
3
14 ,
3
23 3
23
2 , 1 1
c b
a
c b a
3
14
; 3
23
; 3
23
M
0,25
Trang 4Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) Ta có
x 1 ( y 5 ) i x 3 ( y 1 ) i (1)
( x 1 )2 ( y 5 )2 ( x 3 )2 ( y 1 )2
0,25
x 3 y 4 Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + 3y = 4 Mặt khác z x2 y2 ( 4 3 y )2 y2 10 y2 24 y 16
0,25
Hay
5
2 2 5
8 5
6 5 2
2
Do đó
5
2 5
6
min y x
5
6 5
2
VIb
(2,0
điểm)
VIIb
(1,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có a2 = 25 a = 5, b2 = 16 b = 4 c2 = a2 - b2 = 25 - 16 = 9 c = 3 0,25
5
3
5 x x = 5 thay vào phương trình của (E) y = 0
Vậy M(5;0)
0,25
2 (1,0 điểm)
nên (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA Ta có OA ( 2 ; 1 ; 1 ) 0,25
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x - 2) - (y + 1) + (z - 1) = 0 hay 2x - y + z - 6 = 0 0,25
Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) Ta có
x 2 ( y 4 ) i x ( y 2 ) i (1)
( x 2 )2 ( y 4 )2 x2 ( y 2 )2
0,25
4
y x Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là đường thẳng x + y =
4 Mặt khác z x2 y2 x2 x2 8 x 16 2 x2 8 x 16
0,25
min x y