Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng AMN.. Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI.. PHẦN TỰ CHỌN 3 điểm: Thí sinh chỉ
Trang 1ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 12 NĂM 2014 Thời gian làm bài 150 phút
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m =1
2.Tìm m để (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
Câu II (2 điểm):
4
2 Giải phương trình:
2
log (5 2 ) log (5 2 ).log x x x (5 2 ) x log (2x5) log (2x1).log (5 2 ) x
Câu III (1 điểm): Tính tích phân
6
0
4 os2x
x
c
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và SA=a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI
Câu V (1 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của
P x y z xyz
B PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phàn)
1.Theo chương trình chuẩn:
Câu VIa (2 điểm):
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3x4y40
bằng 15
( ) :S x y z 2x6y4z 2 0
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1; 6; 2)
, vuông góc với mặt phẳng( ) : x4y z 110và tiếp xúc với (S)
x trong khai triển Niutơn của biểu thức :
2 10 (1 2 3 )
P x x
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu VIb (2 điểm):
1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp
2 2
x y
B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
( ) :S x y z 2x6y4z 2 0
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1; 6; 2)
, vuông góc với mặt phẳng( ) : x4y z 110và tiếp xúc với (S)
Câu VIIb (1 điểm): Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn:
Trang 2
n n
ĐÁP ÁN ÔN TOÁN ĐẠI HỌC ĐỀ 12 NĂM 2014
Câu Điểm
I
II
2 Ta có y, 3x26mx3(m21)
Để hàm số có cực trị thì PT y , 0 có 2 nghiệm phân biệt
x22mxm2 1 0 có 2 nhiệm phân biệt 1 0, m
05
Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là
B(m+1;-2-2m)
025
3 2 2
m
m
Vậy có 2 giá trị của m là m 3 2 2 và m 3 2 2
025
1
os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+2)
os4x+ 3 sin 4 os2x+ 3 sin 2 0
05
sin(4 ) sin(2 ) 0
2sin(3 ) osx=0
6
x=
2
k
Vậy PT có hai nghiệm
2
x k
x k
05
2 ĐK :
0
x x
Với ĐK trên PT đã cho tương đương với
2
2
log (5 2 ) log (5 2 ) 2 log (5 2 ) 2 log (5 2 ) log (2 1)
log (2 1)
x
x
05
2
2
1 4 log (2 1) 1
1
2 log (5 2 ) 0
2
x x
x
x
025
Kết hợp với ĐK trên PT đã cho có 3 nghiệm x=-1/4 , x=1/2 và x=2 025
Trang 3III
IV
2
2
4
x
x
c
2 2
1 tan x cos 2x
1 tan x
025
cos
x
1
x t
05
Suy ra
1
1 3
3 2
0 0
dt I
AM BC BC SA BC AB
AM SB SA AB
AM SC
Tương tự ta có AN SC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AISC
05
Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H Khi đó IH vuông góc với (AMB)
3
V S IH
Ta có
2 4
ABM
a
S
BC SC SC SA AC a a
Vậy
1
3 4 3 36
ABMI
a a a
05
Ta c ó:
2
P x y z xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
x y z yz x
025
2
2 1
2
y z
025
f x x x x , với 0<x<3
9
x
x
Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7 x yz1
05
1 Gọi ( ;3 4) (4 ;16 3 )
A a B a Khi đó diện tích tam giác ABC là
2
ABC
Trang 4VIa
VIIa
VIb
Theo giả thiết ta có
2
0 2
a a
a
Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4)
05
2 Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4
Véc tơ pháp tuyến của ( ) là n(1; 4;1)
025
Vì ( )P ( ) và song song với giá của v
nên nhận véc tơ
n p n v (2; 1; 2)
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I( ( ))P 4 ( ( )) 4 21
3
m
d I P
m
Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0 025
Ta có
k
k
Theo giả thiết ta có
4
,
k i
i k
i k N
025
Vậy hệ số của x4 là: 4 4 3 1 2 2 2 2
102 10 32 3 10 23 8085
1 Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0
Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có
2 2
1
x y
và diện tích tam giác ABC là
ABC
x y
S AB d CAB x y
05
2 2
x y
Dấu bằng xảy ra khi
2 2
2 1
3
2 2
x y
x
x y
y
Vậy (3 2; 2)
2
05
Xét khai triển (1x)n C n0C x C x n1 n2 2 C x n n n
Lấy tích phân 2 vế cân từ 0 đến 2 , ta được:
n
05
1
n
n
n