Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 2.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C, biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của C một tam giác có bán kính đường tròn nội
Trang 1Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 31
Ngày 15 tháng 12 năm 2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I (2.0 điểm) ) Cho hàm số y x 2
x 1
−
= + , có đồ thị (C).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của
(C) một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất
Câu II (2.0 điểm)
1 Giải phương trình:
4 3 sin x cos x 2cos cos 3 sin 2x 3cos x 2
2sin x 3
=
−
2 Giải hệ phương trình:
( ) 2
x 3y 2 y 4x 2 5y 3x
3
1 2 x y 1 3 3y 2x
+
Câu III (1.0 điểm) Tính tích phân:
1 x
3 4
π π
∫
Câu IV (1.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC = 2a 3 , BD = 2a;
hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng a 3
4 , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu V (1.0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:
3
+ + + ≥
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm) ( Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B ).
A.Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), phương trình NQ là
x y 1 0− − = Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình thoi, biết rằng NQ = 2MP và N có tung độ âm
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho điểm I 1;1;1 Viết phương trình mặt ( )
phẳng ( )P qua I cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
CâuVII.a (1.0 điểm) Cho khai triển: ( )10( 2 )2 2 14
1 2x+ x + +x 1 = +a a x a x+ + + a x Hãy tìm giá trị của a6.
B Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b (2.0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD tâm I, biết A(0;
1) và B(3; 4) thuộc parabol ( )P : y x= 2−2x 1,+ điểm I nằm trên cung AB của (P) sao cho tam giác IAB có diện tich lớn nhất Tìm tọa độ C và D
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q): 5x 2y 5z 0− + = và tạo với mặt phẳng (R): x 4y 8z 6 0− − + = góc 45 o
CâuVII.b (1.0 điểm) Cho khai triển đa thức: ( )2013 2 2013
1 2x− = +a a x a x+ + + a x Tính tổng:
S= a +2 a +3 a + + 2014 a
HẾT
Trang 2Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 31
Câu 1: 1, Khảo sát sự biến thiên của hàm số y x 2
x 1
−
= + , có đồ thị (C).
* Tập xác định: D=R\{ }−1 , ( )2
3
x 1
+
* Sự biến thiên:
+ Giới hạn: xlim y lim y 1, lim yx x 1 , lim yx 1
Đồ thị (C) có tiệm cận ngang là đường thẳng y=1, tiệm cận đứng là đường thẳng x=-1
+ Bảng biến thiên:
x -∞ -1 +∞
y’ + +
y
+∞ 1
1 -∞ + Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 1) và (− +∞1; )
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-2), cắt trục hoành tại điểm (0; 2)
Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I(-1; 1) làm tâm đối xứng
Câu 1: 2, Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ……
PT tiếp tuyến d có dạng ( )2 ( o)
o
x 1
−
+ + , (với x là hoành độ tiếp điểm)o
Giao điểm của d lần lượt với tc đứng, tc ngang là: o
o
B 2x( o+1;1)
o o
6
+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi IA IB= ⇔ xo+ = ⇔12 3 xo = − ±1 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x 2 2 3= + − hoặc y x 2 2 3= + +
Câu 2: 1, Giải phương trình :
4 3 sin x cos x 2cos cos 3 sin 2x 3cos x 2
2sin x 3
=
−
y
I
-2 1
x
Trang 3Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 Điều kiện : sin x 3
2
≠ Phương trình đã cho tương đương với phương trình:
2
2
2 3 sin 2x cos x cos3x cos 2x 3 sin 2x 3cos x 2 0
3 sin 2x 2cos x 1 cos3x cos x cos 2x 1 2cos x 1 0
3 sin 2x 2cos x 1 4cos x.sin x 2sin x 2cos x 1 0
3 sin 2x 2cos x 1 2sin x 2cos x 1 2cos x 1 0
2cos x 1 3 sin 2x 2sin x 1 0 2cos x 1 3 si
k
−
+ =
−π
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là: x k ; x 2 k2 ; x k2 (k Z)
Câu 2: 2, Giải hệ phương trình :
( ) 2
x 3y 2 y 4x 2 5y 3x
3
1 2 x y 1 3 3y 2x
+
( ) ( )
1 2
Đk: x y 1 0+ − ≥ (*)
2
4x 2 3y 3x y 4x 2 2y 3y 3x y 1 2y
1 2 3x 2 3 4x 3, x
3
Đặt a= 3x 2 0; b− ≥ =3 4x 3− ta có hệ 1 2a 3b2 3
( ) ( )
3 4
Từ ( )3 a 3b 1
2
=
⇒ = thay vào pt (4) ta được 3 2
1
2
5
2
−
= ⇒ =
= ⇒ =
+) b 0;a 1
2
−
= = không thõa mãn +) a 1 x 1
+)
11
2
9
2
=
Kết hợp đk (*) suy ra hệ có nghiệm (x; y) là ( )1;1 , 11 9;
9 2
Câu 3: Tính tích phân:
1 x
3 4
π π
∫
Ta có:
1
x
x
Trang 4Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 +)
3
2
3
4
π
π
+)
2
2
3
4
x
cos x
π
π
2
2
3 3 4 2
4
J x t anx 2x tan xdx
cos x
π π π π
2
3
4
9
16
π
π
π
= − ∫ Thay vào (1) ta có
16
Câu 4: Tính thể tích……
a O D
C
A
B
S
H K I
Từ giả thiết AC = 2 3a ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi
đường chéo Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó ·A DB =600
Hay tam giác ABD đều
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB và
DH = a 3; OK // DH và 1 3
a
OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ
O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 2 2 2
2
a SO
Diện tích đáy S ABCD =4S∆ABO =2.OA OB =2 3a2; đường cao của hình chóp
2
a
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
a
Câu 5: Chứng minh rằng:
3
+ + + ≥
Vì a b c 1+ + = nên M a 1 b 1 c 1 abc 1 1 1 1 1
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 a b c 3 1
abc abc
+ +
Lại có:
Mặt khác: (a b c) 1 1 1 9 1 1 1 9
Trang 5Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727 Vậy
3
+ + + ≥
(đpcm) Dấu bằng xảy ra
1
a b c
3
Câu 6 a :1, Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình thoi
Phương trình MP là: x y 3 0+ − =
I MP= ∩NQ⇒ tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình x y 1 0 x 2 I 2;1( )
I là trung điểm của MP nên suy ra P 3;0( )
phương trình NQ là x y 1 0− − = nên tọa độ N, Q có dạng (m; m-1)
NQ 2MP= ⇒IN =4IM ⇔ m 2− + m 2− =4 1 +1 ( )2 m 4
m 0
=
Vì N có tung độ âm nên N(0; -1) ⇒Q(4; 3) Vậy P 3;0 , N(0; -1) , Q(4; 3) làcác đỉnh cần tìm.( )
Câu 6a : 2, Viết phương trình mặt phẳng ( )P
Giả sử A(a; 0; 0), B(b; 0; 0), C(c; 0; 0), abc≠0
⇒Phương trình mặt phẳng (P) là: x y z 1
a + + =b c (P) qua I nên 1 1 1 1
a b c+ + = (1)
a 1− + + = + −1 1 1 b 1 + = + + −1 1 1 c 1 ⇔ −a 1 = −b 1 = −c 1
a b c
⇔ = = hoặc b a 2
c a
= −
=
c 2 a
b a
= −
=
hoặc b c 2 a= = − Với a=b=c thay vào (1) ta được a=b=c=3 Khi đó pt (P): x+y+z=3
Với b a 2
c a
= −
=
c 2 a
b a
= −
=
thay vào (1) ta được
2
Với b c 2 a= = − thay vào (1) ta được 1 2 2
a 2 a+ = ⇔ − + =
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: x+y+z=3
Câu 7a : • Ta có
4
3 ) 1 2 ( 4
1
) 2 1 ( 16
9 ) 2 1 ( 8
3 ) 2 1 ( 16
1 ) 1 (
2
Trong khai triển ( )14
2
1+ x hệ số của x là: 6 2 C ; Trong khai triển 6 146 ( )12
2
1+ x hệ số của x là: 6 2 C6 126
Trong khai triển ( )10
2
1+ x hệ số của x là: 6 106
6
2 C
16
9 2
8
3 2
16
10 6 6
12 6 6
14
6
a
Câu 6b :1, Tìm tọa độ C và D Pt đường thẳng AB: x y 1 0− + = ; I nằm trên cung AB của (P)
I m; m 2m 1 , m 0;3
⇒ − + ∈ Diện tích tam giác IAB lớn nhất d I; AB( ) m2 3m
2
−
Xét hàm số ( ) 2
f m =m −3m trên [ ]0;3 ta có:
m 0 2
3 3 f(m)
0 0
9
4
−
Trang 6Thầy giáo:Lê Nguyên Thạch ĐT:01694838727
⇔ = ⇒ ÷
I là trung điểm của AC và BD nên C 3; 1
2
−
và
7
D 0;
2
là hai điểm cần tìm
Câu 6b : 2, Viết phương trình mặt phẳng (P)
Mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) nên có pt dạng : Ax + By + Cz = 0 với A2+B2+C2 >0
( ) ( )P Q 5A 2B 5C 0 B 5(A C)
2
(P) tạo với (R) góc 45 nên o cos45o 2 A 4B 8C2 2 1 A 4B 8C2 2 2
2
4
Chọn
A 7
= −
= ⇒
=
*) A= −1,C 1= ⇒ = ⇒B 0 Phương trình mặt phẳng (P) là x-z=0
*) A 1,C 1 B 20
= = ⇒ = ⇒Phương trình mặt phẳng (P) là x+20z+7z=0 Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là x-z=0 hoặc x+20z+7z=0
Câu 7b : Cho khai triển đa thức: ( )2013 2 2013
1 2x− = +a a x a x+ + + a x Tính tổng:
S= a +2 a +3 a + + 2014 a
(1 2 )x 4026 (1 2 )x x a 2a x 3a x 2014a x
Nhận thấy: k ( )k
a x = a −x do đó thay x= −1 vào cả hai vế của (*) ta có:
2213
0 2 1 3 2 2014 2013 1343.3
