Đề thi thử đại học môn Toán chọn lọc số 37

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C biết khoảng cách giữa.. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a 2,0 điểm 1 Trong mặt phẳng Oxy, ch

THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 37 Ngày 25 tháng 12 năm 2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm)

Cho hàm số 3 2

y x = − 3x + 1 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).

2 Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết nó song song với đường thẳng (d): 9x - y + 6 = 0.

Câu II (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:

x

−  + ÷  − ÷−

− 2) Giải phương trình 2 ( )3 ( )3 2

1 + 1 − x  1 + x − 1 − x  = + 2 1 − x

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân 3

4 2

1

x

+ +

∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy

AB bằng 2a và góc ABC bằng 300 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C biết khoảng cách giữa ' ' ' hai đường thẳng AB và CB bằng '

2

a

Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 3 3 3

3

1 3

1 3

1

a c c b b a

P

+

+ +

+ +

=

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong BD Biết ( 4;1), ( 17 ;12)

5

H − M và BD có phương trình x y + − = 5 0 Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC.

2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

− và hai điểm (1;2; 1), A − (3; 1; 5)

B − − Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương n biết:

2 C n 3.2.2 C n ( 1) (kk k 1)2k Ck n 2 (2 n n 1)2 n C n n 40200

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): 2 2

( x − 2) + + ( y 3) = 4 và đường thẳng d:

3 x − 4 y m + − = 7 0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến

MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho góc AMB bẳng 1200.

2) Trong không gian Oxyz cho 3 điểm (1;1; 1), (1;1; 2), ( 1; 2; 2) A − B C − − và mặt phẳng (P) có phương trình x − 2 y + 2 z + = 1 0 Mặt phẳng ( ) α đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2 IC Viết phương trình mặt phẳng ( ) α

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :

2

2log ( 2 2) log ( 2 1) 6 log ( 5) log ( 4) = 1



………Hết………

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Câu 1: 1 (1,0 điểm) Khảo sát y x = 3− 3x2+ m2− + m 1

Khi m = 1, ta có y x = 3− 3x2+ 1

+ TXĐ: D = ¡

+ Giới hạn:lim ( 3 3 2 1)

→−∞ − + = −∞ lim ( 3 3 2 1)

→+∞ − + = +∞

+Sự biến thiên: y ' 3 = x2− 6 x y ' 0 = ⇔ 3 x2− 6 x = ⇔ = 0 x 0; x = 2

Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;0 ; 2; ) ( +∞ ), Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0; 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1, Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = -3

Bảng biến thiên

x −∞ 0 2 +∞

y′ + 0 − 0 +

y

1 +∞

−∞ - 3

Đồ thị: đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;1) Điểm uốn I(1; 1) − là tâm đối xứng

Câu 1: 2 (1,0 điểm) Xác định m để

Ta có : y’ = 3x2 - 6x Vì tiếp tuyến cần tìm song song với (d) nên có hệ số góc k = 9

Do đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của PT: 3x2 - 6x = 9 ⇔ = − x 1; x = 3

• Với x = -1, ta có y(-1) = -3 Khi đó tiếp tuyến có PT là : y = 9x + 6 ( loại và song song với (d))

• Với x = 3, ta có y(3) = 1 Khi đó tiếp tuyến có PT là : y = 9x - 26

Vậy tiếp tuyến cần tìm là : y = 9x - 26

Câu 2: 1, Giải phương trình:

0

x

−  + ÷  − ÷−

−

4

x− ≠ ⇔ ≠ ± + πx π k

x x π  x π

2

1 sin 2x sin 4x sin 2x 2 0

2

  π  

⇔ − −  π −  − ÷ ÷ + − =

2

1 sin 2x cos 4x sin 2x 2 0

⇔ − − + − = ⇔ − 1 sin 2x2 − − ( 1 2sin 2x2 ) + sin 2x 2 0 − =

2

sin 2x sin 2x 2 0

⇔ + − = ⇔ sin 2x 1 = hoặc sin 2x = − 2 (loại)

sin 2x 1 x k

4

π + = ⇔ = + π So điều kiện phương trình có nghiệm 5

4

π

= + π ∈ ¢

Câu 2: 2, Giải phương trình 2 ( )3 ( )3 2

1 + 1 − x  1 + x − 1 − x  = + 2 1 − x

ĐK: − ≤ ≤1 x 1 Đặt u = 1 + x, v = 1 − x, u v , ≥ 0

Hệ trở thành:

2

 + =



u − = − v u v u + + v uv = − u v + uv

Suy ra :

2

2

2 1

1 2

u

v



= +



 + =

− =



Thay vào ta có nghiệm của PT là : 2

2

x =

Câu 3: Tính tích phân 3

4 2

1

x

+ +

∫

4 2

1

x

+ +

4 2

1

x

+ +

Ta tính I1= ∫ x e dx2 x3 Đặt t = x3 ta có 1 1 1 1 3 1

I = ∫ e dt = e = e + C

Ta tính

4 2

1

x

x

=

+

∫ Đặt t = 4 x ⇒ = ⇒ x t4 dx = 4 t dt3 Khi đó

4

1

x

3 4

1

Câu 4: Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A'B' Tam giác

N

M

A'

B'

B

C'

H

CAB cân tại C suy ra AB ⊥ CM Mặt khác AB ⊥

CC ' ⇒ AB ⊥ ( CMNC ') ⇒ A B ' ' ( ⊥ CMNC ') Kẻ

MH ⊥ CN H CN MH ∈ ⊂ CMNC ⇒ MH ⊥ A B ⇒ MH ⊥ CA B

mp( CA B ' ')chứa CB' và song song với AB nên

( , ') ( ,( ' ')) ( , ( ' '))

2

a

d AB CB = d AB CA B = d M CA B = MH =

3

a

Từ đó

3 ' ' '

1 2

ABC A B C ABC

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có

z y x

9 z

1 y

1 x

1 9 xyz

3 xyz 3 z

1 y

1 x

1

)

z

y

x

(

3

3

+ +

≥ + +

⇒

=

≥







 + +

+

a 3 c c 3 b b a

9 a

3 c

1 c

3 b

1 b

a

1 P

+ + + + +

≥ +

+ +

+ +

=

ỏp dụng Bất đẳng thức Cụsi cho ba số dương ta cú

+ + +

3

c 3a 1 1 1

3 + + + + + ≤   + + +   1 4.3 6 3

≤  + =

Dấu = xảy ra

3

4

a 3b b 3c c 3a 1

 + + =



 + = + = + =



Vậy P đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 3 khi a = b = c = 1 / 4

Cõu 6ê: 1, Tỡm tọa độ đỉnh A của tam giỏc ABC

Đt ∆ qua H và ⊥ BD cú pt x y − + = 5 0 ∆ ∩ BD I = ⇒ I (0;5) Giả sử ∆ ∩ AB H = ' Tam giỏc BHH ' cú

BI là phõn giỏc và cũng là đường cao nờn BHH ' cõn ⇒ I là trung điểm của HH ' ⇒ H '(4;9)

5

u H M = = −  

r uuuuuur

nờn cú pt là 5 x y + − 29 0 =

(6; 1) 5

x y

B

x y

+ =

 + =

4

; 25 5

⇒   ữ 

Cõu 6a: 1,Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng ∆ sao cho khoảng cỏch từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất

Gọi d là đt đi qua A và cắt ∆ tại M ⇒ M ( 1 2 ;3 ; 1 ) − + t t − − t uuuur AM = − + ( 2 2 ;3 t t − − 2; ), t AB uuur = (2; 3; 4) − −

Gọi H là hỡnh chiếu của B trờn d Khi đú d B d ( , ) = BH ≤ BA Vậy d B d ( , ) lớn nhất bằng BA ⇔H ≡ A Điều này xảy ra ⇔ AM ⊥ AB ⇔ uuuur uuur AM AB = 0 ⇔ − + 2( 2 2 ) 3(3 t − t − + = ⇔ = 2) 4 t 0 t 2

(3;6; 3)

M

x − = y − = z +

−

Đường thẳng ∆ đi qua điểm N(-1; 0; -1) và cú VTCP u r = ( 2;3; 1 − )

Ta cú; uuur NA = ( 2;2;0 ) ⇒ = v r   uuur r NA u ,   = − ( 2; 2; 2 )

Mặt phẳng (P) chứa d và ∆ đi qua A và cú VTPT v r

nờn cú pt là: -x + y + z = 0;

Gọi K là hỡnh chiếu của B trờn (P) ⇒ BH ≥ BK Vậy d B d ( , ) nhỏ nhất bằng BK ⇔ H ≡ K Lỳc đú d là

đường thẳng đi qua A và K Tỡm được K = (0; 2; -2) Suy ra d cú PT là : 2

2

x u y

=



 =



 = − +



Cõu 7 a:Tìm số nguyên dơng n biết:

2 + −3.2.2 + + + − ( 1) (k −1)2k− k+ + − 2 (2 +1)2 n− n++ = −40200

1 n k

k 1 n k 2

2 1 n

1 1 n

0 1 n 1

)

x

1

* Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có:

n 1 n 1 n 1

k k 1 n k 2

1 n

1 1 n

n C 2 C x ( 1 ) kC x ( n 1 ) C x )

x

1

)(

1

n

( + − = − + + + − + − + − + − + ++

Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:

1 2 1 n 1 n 2

k k 1 2 k

3 1 2

2 1 n 1

2 2 C 3 C x ( 1 ) k ( k 1 ) C x n ( n 1 ) C x

)

x

1

)(

1

n

(

n + − − = + − + + + − − + − + − + ++ −

Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có:

Phơng trình đã cho ⇔ n ( n + 1 ) = 40200 ⇔ n2 + n − 20100 = 0 ⇔ n = 100

Tỡm m để trờn d cú duy nhất một điểm M mà từ đú kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB tới (C) (A, B là cỏc tiếp điểm) sao cho gúc AMB bẳng 1200

Câu 6b: 1, Đường tròn (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R=2 Theo giả thiết ta có tam giác IAM vuông ở A và

· 600 · 300

os30 3

AI

4

m

+3t)

IM = t − +  t + +  = t +  +  t + + + m

Suy ra:

2

t +  +  t + + + = m

⇔ +  + ÷ + + − =

Ta có :

2

∆ =  + ÷ −  + − ÷ = − +

Câu 6b: 2, Mặt phẳng ( ) α đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho

2

IB = IC Hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) α

Gọi mặt phẳng ( ) α có phương trình là ax + by cz d + + = 0với a b c ; ; không cùng bằng 0

- mp( ) α đi qua A (1;1; 1) − nên ta có : a b c d + − + = 0 (1)

- mp( ) α ⊥ mp P x ( ) : − 2 y + 2 z + = 1 0 nên 2 VTPT vuông góc nhau => − a 2 b + 2 c = 0 (2)

- IB = 2 IC =>khoảng cách từ B tới mp( ) α bằng 2 lần khoảng cách từ C tới ( ) α

5 2 3 0

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

TH1 :

1

2 2 0

2

a b c d

−

 =

 + − + =







chọn a = => = − 2 b 1; c = − 2; d = − 3

Ta có phương trình mp ( ) α là 2 x y − − 2 z − = 3 0

TH 2 :

3

2 2 0

2

a b c d

 =

 + − + =







chọn a = => = 2 b 3; c = 2; d = − 3

Ta có phương trình mp ( ) α là 2 x + 3 y + 2 z − = 3 0

Vậy tìm được 2 mp ( ) α t/m ycbt là 2 x y − − 2 z − = 3 0hoặc 2 x + 3 y + 2 z − = 3 0

Câu 7b: + Điều kiện:

2

2 2 0, 2 1 0, 5 0, 4 0

( )

0 1 1, 0 2 1

I

− − + + > − + > + > + >

 < − ≠ < + ≠

( )

log ( 5) log ( 4) = 1 log ( 5) log ( 4) = 1(2)

I

2 0 ( 1) 0 1.

t

+ − = ⇔ − = ⇔ =

Với t=1 ta có: 1 − = + ⇔ = − − x y 2 y x 1 (3). Thế vào (2) ta có:

2