Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Theo chương trình Chuẩn.. Theo chương trình Nâng cao... Gọi H là hình chiếu của O lên∆ khi đó O như vậy đường thẳng ∆ cần lập vuông gó
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN SỐ 38
Ngày 26 tháng 12 năm 2013
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x3 – 3x + 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho tiếp tuyến với ( C) tại M, cách đều hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2tan2x + 2sin2x = 3cotx
2 Giải phương trình: 3x3 +x−2.3x x− 3 −32x+ 2 =0
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
3 3
4
2012
dx x
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3, AC = 4 góc tạo bởi các
mặt bên và đáy bằng 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Câu V: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2
2
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : 3 1 5
và điểm A(2;3;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A cắt đường thẳng d và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ∆ là lớn nhất
2 Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho ba đường d1: x – 2y + 1 = 0; d2: 3x – y – 2 = 0;
d3: 2x + y + 1 = 0 Tìm điểm M trên d1 điểm N trên d2 sao cho MN = 5 và MN song song với d3
CâuVII.a (1,0 điểm) Từ các số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau
mà tổng của ba chữ số đó bằng 7
B Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:x2 + y2 – x – 4y – 2 = 0 và các điểm A(3 ;-5) ; B(7;-3) Tìm điểm M trên đường tròn (C ) sao cho P = MA2 + MB2 nhỏ nhất
2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x -3y + 4z – 1 = 0 ; đường thăng
d:
1 3
1
2
= − +
=
và điểm A(3;1;1) Lập phương trình đường thẳng ∆đi qua A cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P )
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn sau: I = 2
x 0
1 cos 2013x cos 2014x lim
x
→
−
Trang 2
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI SỐ 38
Câu 1:1.TXĐ: D = R limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞
2.Sự biến thiên: y' = 3x2 - 3, y ' = 0 <=> x = 1 và x = -1
' 0y > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞x ( ; 1) (1; ); ' 0y < ⇔ ∈ −x ( 1;1) do đó hàm số đồng biến trên các khoảng
(−∞ −; 1)va(1;+∞), nghịch biến trên khoảng (-1; 1)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1, ycđ = 4; Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yct = 0
Bảng biến thiên
3 Đồ thị
-Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2; 0), (-1; 4), (0; 2), (1; 0), (2; 4) và đối xứng qua điểm (0; 2)
-Vẽ đồ thị
Câu 1: 2, -Điểm M thuộc (C) nên M(a, a3 - 3a + 2),
tiếp tuyến tại (C) có hệ số góc k = 3a2 - 3
-Tiếp tuyến tại M cách đều 2 trục toạ độ chỉ xẩy ra trong các trường hợp sau
TH1 TT song song với AB (đường thẳng đi qua 2 cực trị): 2x + y - 1 = 0
<=> 3a2 - 3 = -2<=>
1 3 1 3
a a
=
−
=
<=>
M M
TH2 TT đi qua điểm uốn U(0; 2)-Vậy có 3 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán
Câu 2: 1, -ĐK os2 0
sinx 0
2
2
x
=
-Đối chiếu điều kiện ta thấy pt có 3 họ nghiệm:
Câu 2: 2,
pt
Câu 3:
3 3
1 2
4 2012 3
−
1 1
x
x
−
2
−
4
4 3
2
1
1006
C
Câu 4:
x y'
0
−∞
+∞
0 0
1 4
y
x O
2 -1 2 2
Trang 3Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC); M, N, K lần lượt là hình chiếu của H lênh cạnh AB, AC, BC Khi đó
2
ABC
-Tính SH
Xét các tam giác SHM, SHN, SHK vuông tại H, có các góc SMH, SNH, SKH
HM
AB BC CA
3
Câu 5: <=>
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1
2
1 0
x y
x y
x y
x y
x x
y
x y
+ +
+
+
=
− =
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là:
Câu 6a: 1, Giả sử ∆ cắt d tại B => B(3 + t; 1 + 2t; 5 + 4t) Gọi H là hình chiếu của O lên∆ khi đó O
như vậy đường thẳng ∆ cần lập vuông góc với OA <=> uuur uuurAB OA =0màuuurAB= +(t 1; 2t−2; 4t+4);OAuuur(2;3;1), nên uuur uuurAB OA. =0 <=> 2t + 2 + 6t - 6 + 4t + 4 = 0 <=> t = 0 => B(3; 1; 5) Vậy : 3 1 5
−
2, M thuộc d1, N thuộc d2 nên M(2a - 1; a), N(b; 3b - 2)
MN = ⇔MN = ⇔ −b a+ + b a− − = <=> (1)
3
3
thay vào (1) ta được a = b = 0 hoặc a = b = 2
Vậy có 4 điểm thoả mãn bài toán là: M(-1; 0), N(0; -2) hoặc M(3; 2), N(2; 4)
Câu 7: -Bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm {0; 1; 6} (a), {0; 2; 5} (b), {0; 3; 4} (c), {1; 2; 4} (d)
-Mỗi bộ trong các bô (a), (b), (c) có số cách lập là: 3! - 1.2.1 = 4 số (trừ chữ số 0 đứng đầu) => 3 trường hợp đầu có 12 số được lập -Bộ (d) có 3! = 6 số được lập
-Vậy có 12 + 6 = 18 số được lập thoả mãn yêu cầu bài toán
Câu 6b: 1, -Đường tròn (C) có tâm ( ; 2),1 5
-Gọi H là trung điểm đoạn AB => H(5; -4) Xét tam giác MAB có
4 4
IH
= +
= − −
phương trình đường tròn ta được ptrình t2 + 3t + 2 = 0 <=> t = -1 và t = -2 => với t = -1 thì M(2; 0), với t = -2 thì M(-1; 4) -Kiểm tra thấy M(2; 0) là điểm cần tìm
2, -Giả sử B là giao điểm của d và ∆ => B(1 + 3t; -1 + t; 2t)
-Vì AB//(P) nên uuur uurAB n P = ⇔ =0 t 0 => B(1; -1; 0) -Vậy đường thẳng ∆: 3 1 1
x 0
I lim
x
→
2
2
2013x
B
