Phần chung 7 điểm Câu I.2điểm.. Cho hình chóp S.ABC có đăý ABC là tam giác cân tại A, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, g
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 45
Ngày 11 tháng 01Năm 2014
I Phần chung (7 điểm)
Câu I.(2điểm) Cho hàm số y=x3+2mx2+(m+3)x+4 (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=2;
2) Cho E(1;3) và đường thẳng ∆ có phương trình x-y+4=0 Tìm m để ∆ cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0;4), B, C sao cho diện tích tam giác EBC bằng 4.
Câu II (2 điểm)
Câu III.(1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đăý ABC là tam giác cân tại A, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, góc giửa (SBC)
và (ABC) bằng 600 Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối chóp SABC Biết AB=5, BC=6.
Câu IV.(2 điểm)
1) Tính tích phân: I= .
2) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
II Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu Va (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có 3 cạnh lần lượt có phương trình là: AB: 2x-y+4=0; BC: x-2y-4=0; AC: 2x+y-8=0;
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
2) Trong không gian cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng d có phương trình
:
− Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và khoảng cách
từ M tới (P) bằng
Câu VIa(1 điêm) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm:
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu V b(2 điêm)
1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn: x2+y2-2x-4y-20=0(C), có tâm là I và điểm M(-1;3) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn tại A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
2) Trong không gian cho đường thẳng d và d’ có phương trình lần lượt là và
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với d’ một góc bằng 300.
Câu VI b(1 điểm) Giải hệ phương trình:
Trang 2-Hết -Mời các bạn dự thi vào tối thứ tư và thứ 7 hàng tuần(19 giờ đến 22 giờ)
184 đường Lò Chum Thành Phố thanh Hóa
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 44
Câu I (2,0 điểm) 1, * Tập xác định: R
* Sự biến thiên: − Chiều biến thiên: y/ = − 3 x2+ 6 , x y/ = ⇔ = 0 x 0, x = 2 Hàm số đồng biến trên khoảng(0;2) nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ,0)và (2, +∞ )
− Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT=0 và cực đại tại x = 2, yCĐ=3
− Giới hạn: lim , lim
− Bảng biến thiên:
- Đồ thị :Đồ thị đi qua các điểm (-1;3), (3;-1) và nhận I(1;1) làm tâm đối xứng
2, Gọi điểm M(m; 3) ∈ ( ) d ,y=3 Phương trình tiếp tuyến của (C )qua M và có dạng : ( ) ∆ : y = k ( x - m) + 3 Hoành độ tiếp điểm của (C) và( ) ∆ là nghiệm của hệ: ( ) ( )
( )
2
Thay k từ (2) vào (1) ta có phương trình: (x -2)[2x2 + (1 -3m)x + 2] = 0 (3)
2
x
=
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt đến (C) ⇔phương trình (3) có 3
nghiệm phân biệt ⇔Phương trình (4) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
⇔
( )
5 2
3
m
< −
∆ >
Câu II (2,0 điểm) 1, Điều kiện: cosx ≠ 0, 3
sin
2
x ≠ −
Khi đó pt đã cho ⇔ ( 3cot2x − 3 2 cos x ) ( + 2 2 sin2 x − 2cos x ) = 0
2
cos
sin
x
x
) cos x 2 sin x 0 2 cos x cos x 2 0
4 2
x = − L x = ⇔ = ± + x π k π
) 3cos x 2sin x 0 2cos x 3cos x 2 0
x = − L x = ⇔ = ± + x π k π
Đối chiếu với đ/k bài toán thì pt chỉ có 3 họ nghiệm: 2 , 2 ,
x = ± + π k π x = + π k π k ∈ ¢
Trang 32, Ta thấy (x, y) = (0, 0) là một nghiệm và hệ không có nghiệm: 0
0
x y
=
≠
hoặc
0 0
y x
=
≠
Hệ đã cho
2
2
15 15
Đặt: u x y , v x y
= + = + suy ra (x + y)2 - 2xy = uxy ⇔ xy = 2
2
v
u + ( vì u≠- 2)
Thay xy vào hệ trên ta có :
2 2
15
15
2
uv
uv uv
u
u
=
Từ đó:
a)
5 5
2
u
b)
9 9
7 7
u
Hệ b) vô nghiệm Tóm lại hệ có 3 nghiệm (0, 0); ( 2, 4); (4, 2)
Câu III (1,0 điểm) Tính I =
2 3 2 2
1 ln 1
e
x
x
− +
∫ Đặt
2 2 3
1 ln 1
x u x
dv x dx
=
ta có
4 4
4 1 1 4
x
x x v
=
=
I =
2
e
xdx
Câu IV (1,0 điểm) Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy suy ra
SA ⊥(ABCD) (1) mà AB là hình chiếu của SB trên mp(ABCD) nên BC ⊥ SB (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠SBA =
600 Tương tự ∠SDA = 600.Ta có SA = AB.tan600 = a 3, AC = 2MN = a 2
nên AB = BC = a SBMN = SABCD − SABM − SBCN − SDMN =3 2
8
a
3
.
a
Gọi K là giao điểm của AN và BM Ta có: ∆ ABM =∆ DAN (c.g.c) nên
BM ⊥AN, mặt khác BM ⊥ SA suy ra BM⊥(SAN) Gọi L là hình chiếu của K trên SN, ta có KL là đường vuông
góc chung của BM và SN Ta có : ∆ NKL: ∆ NSA (g.g.) nên KL NK
SA = NS
2
NS = SA + NA = a Mặt khác ∆ KAM: ∆ DAN (g.g.) nên ta có: KN AM
AD = AN suy ra
5
AD AM
AN
= = , NK = NA - AK = 3 5
10 a Từ đó suy ra
3 85
SA NK
NS
Câu V (1,0 điểm) Ta có: 1 1 1
a b c
Trang 4suy ra x > 0, y > 0, z > 0, 0 < x + y + z ≤3 (1) P = a3 b3 c3 3 abc 3 , 2 ( )
Mặt khác ta có: x2 + y2 + z2 ≥ xy yz zx + + ⇔ + + ( x y z )2 ≥ 3( xy yz zx + + )
3
x y z
+ + ≤ Kết hợp (1) suy ra 0 < xy + yz + zx ≤3 thay vào (2)
Ta có P ≥ 1 Vậy GTNN của P = 1, xảy ra khi a = b = c = 1
Câu VI.a (2,0 điểm)
1, Đường thẳng ∆ qua M(0;2) có dạng: ( ) ∆ : ax + b y ( − = 2 ) 0, ( a2+ b2 > 0 ).Giả sử ∆ cắt ( ) C tại
Avà B
Gọi H là trung điểm của AB ta có IH = IA2− AH2 = 5 Suy ra d I ( , ∆ = ) IH hay 32 2
5
a b
−
= +
Do đó ( a − 2 b ) ( 2 a b = ) = 0 Khi a=2b chọn a=2,b=1 ta có ( ) ∆ : 2 x y + − = 2 0
Khi 2a+b=0 chọn a=1,b=-2 ta có ( ) ∆ : x − 2 y + = 4 0
2, Do (P) cách đều A và B nên hoặc (P)//AB hoặc (P) đi qua trung điểm AB.
Khi (P)//AB ta có (P) đi qua O và nhận n r = uuur uuur AB OC , = − ( 6;3;0 ) làm vectơ pháp tuyến nên (P):
2x-y=0
Khi (P) đi qua trung điểm 1
;1;0 2
= ÷ của AB ta có (P) đi qua O và nhận 3
2
n = IC OC
r uur uuur
làm vectơ pháp tuyến nên (P):2x+y=0
Câu VII.a (1,0 điểm) Ta có ( ) ( )2013 2013 ( )2013 2013
0
i
=
Do đó 2011( )2 2
2011 2013 2 4 2013 8100312
a = C − = C = Ta có /( ) ( )2012 2012
Cho x=1 ta có S=2013
Câu VI.b (2,0 điểm)
1, Tiếp tuyến ∆ của P tại M có phương trình ∆ : 5 x y − − = 14 0Giả sử I(i;0) Do (I) tiếp xúc với (P) tại M nên MI u uuuruur ∆ = 0Suy ra i=34 Ta có R=MI= 936 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
2, Giả sử (P):ax+by+cz+d=0 (a2+b2+c2>0) Ta có M,N ∈ ( ) P nên
Vậy (P): ax+by+3az-3a=0 (10a
2+b2>0)
Ta có n rOxy = ( 0;0;1 , ) n uurP = ( a b a ; ;3 ) Từ đó: 32 2 0 1 2 2
2 10
a
+
Khi b = 26 a chọn a = 1, b = 26 ta có ( ) P x : + 26 y + − = 3 z 3 0
Khi b = − 26 a chọn a = 1, b = − 26 ta có ( ) P x : − 26 y + − = 3 z 3 0
Câu VII.b (1,0 điểm)
Gọi n =a a a a1 2 3 4 là số cần tìm, n > 5000 nên a1∈ { 6,7,8,9 } , n chẵn nên a4∈ { 0, 2, 6,8 }
Nếu a1= 6 thì n = 6 a a a2 3 4 , a4có 3 cách chọn, a2có 5 cách chọn,
3
a có 4 cách chọn Vậy có 5.4.3 = 60 số
Nếu a1= 7 thì n = 7 a a a2 3 4 , a4có 4 cách chọn, a2có 5 cách chọn,
3
a có 4 cách chọn Vậy có 5.4.4 = 80 số
Khi a1= 8giống như a1 = 6 và a1= 9giống như a1= 7 Vậy có tất cả 60.2 +80.2 = 280 số