Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M.. Lấy ngẫu nhiên một phần tử của E.. Tính xác suất sao cho lấy đ
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 43
Ngày 08 tháng 01 năm 2014
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x= −3 3x2+3x−2 (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm k để đường thẳng y k x= ( −2) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(2; 0), B, C Gọi MH là khoảng
BC
Câu II (2 điểm)
4
2
3
x
x
2 2
− − = −
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
3 2
2 0
1 cos
x
π
=
+
∫
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
cùng vuông góc với đáy Biết hai đường chéo AC=2a 3; BD=2a cắt nhau tại O và khoảng cách từ O
4
Câu V( 1 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn: a b c+ + =3 Chứng minh rằng:
0
Câu VI (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH, phân giác trong BK lần lượt có phương trình x – y + 1 = 0; 2x + y + 5 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường
thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(1; 1; 0) và mặt phẳng (P) có phương trình
3 0
x y z
− + − − = Gọi I là hình chiếu của M trên (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua I, gốc tọa độ O và cách điểm K(17
2 ; -2; 1) một khoảng bằng
17
3 .
Câu VII(1 điểm) Cho E là tập hợp các số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một được lập thành từ các
số 1, 2, 3, 4, 5, 6 Lấy ngẫu nhiên một phần tử của E
Tính xác suất sao cho lấy được một số mà các chữ số của nó đều chẵn
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ 43 Câu 1 :1 Khảo sát hàm số : y x= −3 3x2+3x−2
+ Tập xác định: D R=
0,
y′ ≥ ∀ ∈x Rnên hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ +∞; )
+ Cực trị : Hàm số không có cực trị
+ Bảng biến thiên
x - ∞ 1 + ∞
y’ + 0 +
y +∞
-∞
+ Vẽ đồ thị : y’’ = 6x - 6 , y’’ = 0 khi x = 1, y(1) = - 1 f(x)=x^3-3*x^2+3x-2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Nhận xét : Đồ thị nhận điểm I (1; - 1) làm tâm đối xứng Câu 1 : 2,Ta có PT hoành độ giao điểm x3−3x2+3x− =2 k x( − ↔ −2) (x 2) (x2− + − =x 1 k) 0 1( )
( )
2
2
x
=
↔ − + − =
Để đường thẳng cắt đồ thị tại A, B, C thì phương trình (1) phải có 3 nghiệm phân biệt, suy ra phương trình
∆ = − > >
− + − ≠
Do A(2 ; 0) nên hoành độ B, C là nghiệm (2) Gọi B x k x( 1; ( 1−2 ,) ) C x k x( 2; ( 2−2) ) với x 1 , x 2 là 2 nghiệm
của (2) Ta có
BC = +k x −x = +k x +x − x x = +k k− →BC= +k k−
uuur
MH
2
2
4 5
1
k
+
+
↔ + + − = ↔ − + + = ↔ = Kết luận : k = 2
Câu 2 : 1, Điều kiện: sinx≠0
Trang 3( )4
cos sin os2 1 sin 2 cos sin os2 cos sin
cos sin cos sin os2 0 cos sin 1 sin 2 os2 0
4
x− x= ↔ x= ⇔ = +x π k k Zπ ∈
(thỏa mãn)
+) sin 2 + cos 2 1 sin 2 1 4
4 2
x k
π π π
π
= +
Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình có nghiệm
4
x= +π kπ
với k∈¢
Câu 2: 2, Giải hệ phương trình: ( ) ( )
2 2
− − = −
Từ (1) viết lại ta có: x2+ −(3 y x) −2y2−6y=0 Có ( )2
PT có 2 nghiệm x = - y – 3 , x = 2y
4
y + − = ↔ = −y y y= hệ có 2 nghiệm (-2 ; -1) ; 3 3;
2 4
6
x + x − − = ↔ = −x x x= − ±
Câu 3 : Viết lại tích phân:
2 3
sin 1 cos
+
2 2
2 0
sin 1 cos
1 cos
x
π
+
=
+
∫ đặt t = +1 c xos → = −dt sinxdx;
2
x= → =t x= → =π t
khi đó
2
1
2 2
4
1 tan
2
+
1 tan
2
x c
2
x= → =t x= → =π t
2
8
t
I= + = −H K + = −
Trang 4Câu 4: Trong tam giác ABO có tan·ABO OA 3 ·ABO 600
OB
Suy ra ∆ABD đều cạnh 2a
Từ giả thiết có SO⊥(ABCD) Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, BH Ta có DH = a 3
a
OK = DH =
Ta có AB ⊥ (SOK), gọi I là hình chiếu của O trên SK thì OI ⊥ (SAB)
j
O D
C
A
B
S
K
I
H
4
2
a
d CD SA =d CD SAB =d D SAB = d O SAB = OI =
2
a SO
ABCD
a
Câu 5 : Bất đẳng thức tương đương
0
Thật vậy,
2 2 2
2 2 2
a b c abc
Câu 6 : 1, Từ a b c+ + = → ≥3 3 33abc ↔abc≤1Suy ra (*) đúng
0
Trang 5Do AB ⊥ CH nên phương trình AB có dạng x + y +
1 = 0;
{ }B =BA BK∩ nên tọa độ B là nghiệm hệ
B(-4; 3)
H
I A
B
C K
A'
Lấy A’ đối xứng với A qua BK thì A’ thuộc BC
PT đường thẳng d qua A và vuông góc với BK có dạng : x – 2y – 5 = 0
− − = = −
3 7
= − +
= −
Ta có MAuuur= −(5 t t;7 −5 ;) MBuuur= −( t t;7 )
MA MB= ↔MAuuur =MBuuur ↔ −t + t− = +t t 5
8
t
− −
Câu 6: 2,Gọi I x y z( ; ; ) →MI xuuur( −1;y−1;z)
(P) có vecto pháp tuyến nr(−1;1; 1− ) Ta có MI nuuur r, cùng phương nên
1 1
= −
= ↔ = +
= −
suy ra
I −t + −t t
Do I thuộc (P) nên ta có phương trình: -1 + t + 1 + t + t – 3 = 0 được t = 1 nên I(0 ; 2 ; - 1)
Ta có OIuur=(0; 2; 1− ) Gọi nrQ =(a b c; ; ) là véc tơ pháp tuyến của (Q)
(a2+ + ≠b2 c2 0) Do (Q) chứa O, I nên
nr ⊥OIuur↔n OIr uur= ↔ b c− = ↔ =c b→nr = a b b Phương trình (Q): ax by+ +2bz=0
17
a
+
Với a = 2b chọn b = 1 có a = 2 Phương trình (Q) có dạng 2x y+ +2z=0
Với a = - 2b chọn b = -1 có a = 2 Phương trình (Q) có dạng 2x y− −2z=0
Câu 7 : Tìm số phần tử của E:
Gọi abc là số có 3 chữ số khác nhau Khi đó a có 6 cách chọn từ 1 → 6 còn b có 5 cách chọn ( trừ số đã chọn cho a), c có 4 cách chọn
Vậy có tất cả 6 x 5 x 4 = 120 số thuộc E
Gọi Ω là không gian mẫu Do chọn một phần tử thuộc E nên n( )Ω =120.
Gọi A là biến cố: “chọn được số mà các chữ số của nó đều chẵn”
{246, 264, 462, 426,642, 624}
A
Vậy xác suất cần tìm là P A( ) n A( ) ( ) 1206 201
n