Chuyên đề nguyên hàm tích phân

Chú ý: Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống đặt u, tìm v hoặc cách giải nhanhchuyển nguyên hàm cần tính về dạng udv∫ mà không cần đ

Trang 1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN

§ÆNG VIÖT HïNG

BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM

TÍCH PHÂN

Trang 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2

I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy=df x( )= y dx' = f'( )x dx

Ví dụ:

d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx

d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM

Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b) Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) =

f(x) và được viết là∫f x dx( ) Từ đó ta có : ∫f x dx( ) =F x( )

Nhận xét:

Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫f x dx( ) =F x( )+C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x) Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho

Ví dụ:

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x

Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx

III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM

Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính

Trang 3

Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào

hàm, mà không phụ thuộc vào biến

IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM

Trang 4

d x dx

Trang 5

Công thức 5: cos∫ xdx=sinx+C

Trang 6

b)

2 sin

x d

Trang 7

3 13

113

Trang 8

CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG

2

11

Trang 9

x x

x dx

d x x

Trang 10

Ví dụ 5 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) I13=∫3sin cosx x dx b) 14 sin5

x dx d x u

a) I16 =∫tanxdx b) I17 =∫ sin 4 cos 4x x dx c) 18 sin

1 3cos

x dx I

x

=+

∫

Hướng dẫn giải:

a) Sử dụng các công thức

sin x (cos )ln

d u u

Trang 11

2

dx

x u

tancos

1

1 tancos

dx

x

x x

cotsin

2

dx

x u

Trang 12

1

.2

Trang 13

=

−

∫ 3) I9 =∫ 5 2− xdx 10)

1 3cos

x dx I

x

=+

Trang 14

DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

Trang 15

29

Trang 16

1

11

x

t t

sin 3 cot3

Trang 17

Khi đó, I =∫f x dx( ) =∫h t dt( ) , việc tính nguyên hàm∫h t dt( ) đơn giản hơn so với việc tính∫f x dx( )

1

x dx I

xdx

t x

Trang 18

3ln

2

22

t x

dx tdt x

2

11

2

1

x x

Trang 19

=+

2 12

x x

e dx I

Trang 20

Trang 21

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:

Công thức nguyên hàm từng phần I =∫P x Q x dx( ) ( ) =∫udv=uv−∫vdu

Độ ưu tiên khi lựa chọn đặt u:

Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ

Nếu I có chứa lnn[g x thì đặt ( )] u=lnn[g x( )]→du=(lnn[g x( ) '] )

Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x)

Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng

lặp Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau

Chú ý:

Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng udv∫ ) mà không cần đặt u, v Tuy nhiên cách giải nhanh chỉ có thể dùng được khi học sinh phải rất thành thạo vi phân

Khi đó I3=∫x2cosx dx=x2sinx−∫2 sinx x dx=x2sinx−2J

Trang 22

d) I4 =∫xlnx dx

Cách 1: Đặt

4 2

1

x x

++

Trang 23

( ) ( ) ( 2 ) ( )

11

Nhận xét: Trong nguyên hàm I 8 chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng

ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được

Trang 24

Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ ( )

43

Trang 25

II MẪU SỐ LÀ TAM THỨC BẬC HAI

Khi đó Q(x) = ax2 + bx + c Ta có ba khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 và x 2

Nếu P(x) là hằng số thì ta sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm của mẫu số

Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi

tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây)

Trang 26

Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số Nhưng, chỉ bằng một vài phép biến

đổi logarith đơn giản ta có ngay cùng kết quả

Trang 27

( ) ( ) 25

a du

C u u

Trang 28

Trang 29

Trang 30

∫ 15) 15 2

dx I

III MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC BẬC BA

Khi đó Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d Ta có bốn khả năng xảy ra với Q(x)

TH1: Q(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 ; x 3

Tương tự như trường hợp mẫu số là bậc hai có hai nghiệm phân biệt Ta có cách giải truyền thống là phân tích

và đồng nhất hệ số Ngoài ra ta còn có thể sử dụng phương pháp biến đổi tử số chứa đạo hàm của mẫu (tùy thuộc vào biểu thức của tử số là bậc mấy)

( )( ) ax

Trang 31

150

Trang 32

Đồng nhất hệ số hai vế ta được A, B, C Bài toán trở về các dạng cơ bản đã xét đến

Chú ý: Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Trang 33

Q x = +bx + + = −cx d x x mx +nx+ p , trong đó mx2+nx+ =p 0 vô nghiệm

Để đồng nhất được, ta phải phân tích theo quy tắc:

1 1

- Ngoài việc sử dụng đồng nhất, ta cũng có thể phân tích tử số theo đạo hàm của mẫu để giải

Trang 34

Trang 35

∫ 15)

2

(3 2 )(4 3)

x x dx I

2

4( 1)

x

=+

Trang 36

1) Khái niệm về phân thức đơn giản

Một phân số được gọi là đơn giản nếu nó có một trong các dạng sau

Bằng phép đồng nhất hệ số tương ứng ta tìm được các giá trị A1; A2…

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể sử dụng phương pháp gán các giá trị đặc biệt

Ví dụ 1: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản

Trang 37

− − + + − , đồng nhất ta thu được các hệ số tương ứng

Ví dụ 3: Phân tích các phân thức sau thành phân thức đơn giản

x x

Trang 38

Trang 40

Trang 41

1) Các công thức nguyên hàm vô tỉ cơ bản thường gặp

Phân tích tử số chứa đạo hàm của mẫu ta được

07 NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ VÔ TỈ

Trang 42

ax bx c

=

∫ thuộc một trong số các dạng nguyên hàm đã đề cập ở trên

Ví dụ điển hình: Tính các nguyên hàm sau

++ −

ln( )

Hướng dẫn giải:

Trang 43

x t x

dt t

dx t

Trang 44

1

x t x

dt t

dx t

Trang 45

x− x

( 1)

x dx

Trang 46

I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG

Các hằng đẳng thức lượng giác:

2 2

1

1 tancos

1

1 cotsin

tan cot 1

x x

2

1 os2sin x

21

Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2sin cos

- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi: sin 2 2sin cos2 2 2 2

sin 3 3sin 4sincos 3 4 cos 3cos

Trang 47

III CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Dạng 1 Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy

Trang 48

Ví dụ 3 Tính các nguyên hàm sau:

a) I7 =∫sin 3 cosx x dx b) I8=∫cos 2 cos 3x x dx c) 9

sin 3 sin

dx I

a) Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta được 1( )

sin 3 cos sin 4 sin 2

9 2

sincos

Trang 49

Thay t = sinx vào ta được 4 1 1 1 ln sin 1

4sin

1 cos

x dx I

x

=+

∫ c) 7 sin3

x dx I

4sin 4sin sin

4 1 cos sin 4sin 2sin 2

Trang 50

tancos

x dx I

x

sin cos

dx I

(cot ) sin

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: 2 2

A sin x+Bsin x.cos x+C.cos x thì ta chia cả

tử và mẫu cho cos2x hoặc sin2x

Trang 51

Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết cách nào đúng, cách nào sai Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết quả

Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này Với các nguyên hàm có chứa tan n x thì

x x

3

tantan

x x

Trang 52

2sin 5sin cos 3cos

dx I

=

∫

Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx Trong chuyên đề về phương trình lượng

giác ta cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự Chia cả

tử và mẫu số cho cos2x ta được:

x

1 sin 2

dx I

x

=+

x

=∫

Cách 1:

Trang 53

Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên

Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin 2n x thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích

1 2

d A' sin x B' cos x C' A' cos x B' sin x dx

x

=+

Do cos2xdx=1 d sin 2x( )= 1 d 1 sin 2x( + )

2 2 nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau:

Trang 54

(sin 2 cos )

dx I

Với các nguyên hàm lượng giác mà mẫu số có vẻ “dài dòng” thì một kinh nghiệm là các em hãy lấy vi phân

của mẫu số xem tử số có quan hệ gì với vi phân đó hay không ?

Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm này cũng có thể chứa 6 + 6 = −3 2

sin x cos x 1 sin 2x.

x dx I

Trang 55

Bình luận:

Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm này bằng cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức ở mẫu số,

ở đây thầy giới thiệu cách làm thiên về biến đối lượng giác kết hợp với vi phân

a) Ta có

1

−

++

44

Trang 56

I

dx x

2 2 2

1 tan

22

1cos1

Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t

Trang 57

Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ

đã xét bằng việc phân tích: sin cos ( cos sin ) ( sin cos )

2 2 2

1 tan

22

1cos1

Trang 58

2 2 2

1 tan

22

1cos1

x dx I

=

+

∫

Trang 59

x dx x

0cos

dx x

π

3 2 4

tancos

x dx x

π

2 3 4 0

tancos

x dx x

dx

x x

tan tan (tan )

dx x

e x dx x

2 1

Trang 60

1 1

π

6

cotsin

∫ x dx x 10)

ln 2 2 0

Trang 61

.2

x dx

tan

.cos

x dx x

.cos

Trang 62

2 0

sin cos

π

3 3 2 0

tancos

∫ x dx x

π

4

cotsin

cos cos

+

∫ e x x dx 25)

cos2sin +1

Trang 63

a x

t

a dt dx

Trang 64

3

3 1 tancos

2

2cossin2

sin

tdt dx

t x

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa căn thì đặt căn đó bằng t

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao thì đặt biểu thức đó bằng t

Trong biểu thức của f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức trên mũ là một hàm số thì đặt biểu thức trên mũ

Trang 65

13

tdt

x dx tdt x dx

t x

5 3

xdx I

Trang 66

e e

x

=+

3 1

0

ln(1 )

I =∫x +x dx 5

1 2 5 0

2lnln

Trang 68

MỤC LỤC

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM 01

2 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM 07

3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIÊN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM 13

4 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM 20

5 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 23

6 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM 35

7 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 40

8 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 46

9 TÍCH PHÂN CƠ BẢN 60

10 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN 62

11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 64

MỤC LỤC 69

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	1,34 MB