Chuyên đề khảo sát hàm số hay

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Kiến thức cơ bản: 1.. Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái

Trang 1

Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I.Kiến thức cơ bản:

1 Định lý:

) ( 0

)

(

* f/ x  xD f x đồng biến trên D

) ( 0

x

f ( )  0  

* / và f/(x)  0 tại một số hữu hạn điểm f (x)đồng biến trên D

D x

* /    và f(x) liên tục trên a; b f (x)nghịch biến trên a; b

4 Điều kiện không đổi dấu trên R:

) (

+ Xét sự biến thiên của g(x)

+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán

Cách 3 ( Không làm được như hai cách trên )

+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát

+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán

Trang 2

0 0

0 1

Trang 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên 2 ;  

Vậy hàm số đồng biến trên 2 ;   khi m = 0 hoặc

1 0

1 2 1 2

/

m x

x m

x m x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên

 3 ; 1 2m 1   3 m  2 ( Thỏa mãn điều kiện m <0 )

Vậy m  2 hàm số nghịch biến trên  3 ; 1

Trang 4

4 0

4

0 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m 0

Vậy m 0 hàm số đồng biến trên 0 ;  

Trang 5

f/(x)  0 x  2 ( nhận )

Ta có bảng biến thiên: x   -2 1

f/(x) - 0 +

 

f(x) -4 5

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  m  4

d * Tập xác định: D = R

y/  x2  4xm

y/  0 x2  4xm 0

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

phương trình ý 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2  1





















































1 4

4 1

2

0 4

1

0

2 1 2 2 1 2

1 2 2 2 1 2

2

1

/

x x x

x

m x

x x x

m x

x

3 4

3 4 1

) (

4

2

4





























m

m m

m

Vậy

4

3





m thỏa mãn điều kiện bài toán

Ví dụ 3 Cho hàm số y x3 mx2  12x 1

a Xác định m để hàm số đồng biến trên R

b Xác định m để hàm số đồng biến trên 1 ; 

c Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1 ; 2

d Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2

Giải:

a Tập xác định: D = R

y/  3x2  2mx 12

Hàm số đồng biến trên R























0

0 0

/

R x

6 6

0 36

0 3



























m

R m m

b Tập xác định: D = R

y/  3x2 2mx 12

Trang 6

* Hàm số đồng biến trên 1 ;   y/  0 x1 ; 











2 2

x x

x m x

mx

x

Xét hàm số ( )  3 12 1 ; 

2

trên x

x x f

2

)

(

x

x x





















) ( 2

) ( 2 0

12 3 0 )

2 /

l x

n x x

x x

f

Ta có bảng biến thiên:

x 1 2  

f/(x) - 0 +

15  

f(x) 12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT  2m 12 m 6

Vậy m 6 thỏa mãn điều kiện bài toán c Tập xác định: D = R y/  3x2 2mx 12 * Hàm số nghịch biến trên  1 ; 2  y/  0 x 1 ; 2  1 ; 2 2 3 12  1 ; 2 0 12 2 3 2 2            x x x m x mx x Xét hàm số ( ) 3 12  1 ; 2 2 trên x x x f   Ta có 2 2 / 3 12 ) ( x x x f              ) ( 2 ) ( 2 0 12 3 0 ) ( 2 2 / l x l x x x x f Bảng biến thiên: x 1 2

f/(x) -

15

f(x)

12

Trang 7

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2

phương trình ý 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 x2  2

; 6 6

; 4

2

0 36 4

0

2 1 2 2 1 2

1 2 2 2 1

2 2

2

1

/

x x x

x

m x

x x x

m x

m m

m

6 6

; 6 6

; 4

4 4

3

2

; 6 6

mx y

; 3 3

; 2

; 3 3

;

; 2

0 9

m m

Trang 8

1 3

1

3

; 3 1

3

; 3 1

;

0 9

m m

m

Vậy:  3 m 1 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 5 (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013)

Cho hàm số 3 2

y   x  3x  3mx 1 (1)  , với m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; +)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT m  1

Vậy m  1 hàm số nghịch biến trên (0;  )

BÀI TẬP TỰ LÀM

1 Cho hàm số 3 2

y x  x mx có đồ thị ( )C Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0;   ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009)

Trang 9

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1

b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng 1; 

2 Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức:

x x

2 sin 2 cos 1 )

x x

f

) 2

; 0 (

0 2

2

0 2 sin 0 )

tan cos

1 1 )

x x

f

) 2

; 0 (

0 0

tan 0 )

x x

x

c x4  2x2  0 x 1 ; 1

Trang 10

Xét hàm số 4 2

2 )

(x x x

f   với x 1 ; 1

Ta có f/(x)  4x3 4x

 

                 1 1 0 0 1 4 0 4 4 0 ) ( 3 2 / x x x x x x x x f Bảng biến thiên: x -1 0 1

f/(x) + 0 -

0

f(x)

-1 -1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f(x)  x4 2x2  0 x 1 ; 1 (đpcm)

CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm:

Cách 1 ( Thường dùng cho hàm đa thức )

* f(x) đạt cực trị tại x = x0













0 ) (

0 //

0 /

x y

* f(x) đạt cực đại tại x = x0













0 ) (

0 //

0 /

x y

* f(x) đạt cực tiểu tại x = x0













0 ) (

0 //

0 /

x y

Cách 2 ( Thường dùng cho hàm phân thức )

* Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x0 thì y/(x0)  0

* Giải phương trình y/(x0)  0tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số

* Lập bảng biến thiên và kết luận

Ví dụ 1 Cho hàm số  1  3 2 5

3









a Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0

b Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1

c Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

Giải:

Trang 11

1 2

0 2 3 0

) 0 (

0 ) 0

m m y

2 2

5 5 2

5 5

0 2 4

0 5 5 0

m

m m y

y

4 0

2 8

0 17 9 0

1 3

3 2

2 2

1

0 2

0 1

b a a

b a

b a a

b a

Trang 12

/

4 12

4

m x

y

x m x

4 12

0 4 4 0

) 1 (

0 ) 1 (

2 2 //

/

m m m m

m y

//

2 3

/

4 12

4

m x

y

x m x

3 2 3 2

; 2 2 0

4 48

0 8 32 0

m y

y

Ví dụ 4 Xác định m để hàm số

1

5 2 2

Trang 13

CĐ  

y   CT Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 Ví dụ 5 Xác định m để hàm số 2 2 2 2 2      x x m x x y đạt cực đại tại x 2 Giải: TXĐ: D = R *  2 2 2 / 2 2 2 2 4 4        x x m mx x x y * Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x 2 thì y/( 2 )  0   4 2 2 0 2 2 2 1 2 8 2 4 2          m m * Với m  2 2 ta có    2 2 2 / 2 2 2 4 2 4 4 4        x x x x y        1 2 0 / x x y Bảng biến thiên: x   1 2  

y/ - 0 + 0 -

1 CĐ

y

CT 1

Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 2

Vậy m  2 2 thỏa mãn điều kiện bài toán

2 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước:

Ví dụ 1 Cho hàm số 2 1 1 4  1

3









y

a Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho x1 x2  4

c Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 sao cho 3x1 x2  4

d Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn: x12  x22  2

e Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục

tung

Trang 14

* Với m 0hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2

Ta có x1 , x2 là nghiệm của phương trình (*) nên  

x

m x

x

4 1

1 2 2

2 1

) 1 ( 1 2 2

2 1

m x

x

m x

x

m x

4 1 3 4

1 2 2 2 4

1 1

4

) 3 ( 2

) ( 3

2 0

16 32

n m

n m m

Trang 15

x

m x

x

4 1

1 2 2

2 1

Theo đề ta có x12  x22  2  x1x22 2x1x2  2 22m 1 2  21  4m 2

2

1 0

0 8

x

m x

x

4 1

1 2 2

2 1

Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung

4

1 0

4 1 0

c Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều

d Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có

diện tích bằng 1

Giải:

a TXĐ: D = R

y/  4x3 4mx

Trang 16

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4

0

2 2

3 /

m x

x m

x

mx x

y

Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 0

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4

0

2 2

3 /

m x

x m

x

mx x

y

* Hàm số có ba điểm cực trị  phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt

0 0

m

* Với m 0, ta có ( 2 ) x  m nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị

A( 0; 2), B(  m; 2 m2), C( m; 2 m2)

Ta có AB m4 m ; AC m4 m AB ACnên tam giác ABC cân tại A

Do đó tam giác ABC vuông cân  ABC vuông tại A AB.AC  0(**)

) ( 0 0

0 ) ).(

( m

n m

l m m

m m

Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4

0

2 2

3 /

m x

x m

x

mx x

y

0 0

m m

m m m m BC

AC

AC AB BC

AC

4

4 4

Trang 17

) ( 0 3

0 3

3 3

4

n m

l m m

m m

) 1 ( 0 0

4

(*) 0 4 4

0

2 2

3 /

m x

x m

x

mx x

y

0 0

1

 phương trình y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt  1 - m  1 + mm 0

Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Trang 18

/

1

3 3 2

) 1 ( 1

/

m m x x

x

y

Hàm số có cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

2 1

0 2 3

0 2 3 0

3 3 1

m m m

; 0

2 3 0

0 1 0

3 3 2

1 0 3 3 2

1 0

2 /

2 2

/

m m

m R

x m

m

x

x m

m x x x

y

Ví dụ 5 Cho hàm số

m x

mx x y

m x

m mx

) 1 (

/

m mx x

m x

0 1 0 1 )

.(

2

0

2 2

/

Vậy với mọi m hàm số luôn có cực trị

Ví dụ 6 Cho hàm số yx4  2( m 1)x2 m Tìm m để đồ thị hàm số (1) có

ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc

trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

(ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Khối B NĂM 2011)

Trang 19

phương (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0

Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài toán

3 Cho hàm số yx3  3x2 m (1) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai

điểm cực trị A, B sao cho ·AOB 120 0

Trang 20

3 Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm số:

A Kiến thức cơ bản:

a/ Cho hàm số yax3 bx2 cxd

Thực hiện phép chia đa thức cho y cho y/ ta được:y  y/.AxBCxD

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số Khi đó,

y1 = Cx + D và y2 = Cx + D

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Cx + D

b/ Cho hàm số

e dx

c bx ax y

y  2 2

y 2 

c/ Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Khi đó,

* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hoành  y1.y2  0

* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hoành  y1.y2  0

Gọi (x1 ; y1) và (x2 ; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được:

m x

m m

2 3

14 9

2 3

14

1 2

Trang 21

y m x m

9

7 3 9

2 3

14

2 2

2 3

a Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu

b Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành

c Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so

18 9

36

/      

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

2 1

m x x

x x

17 4 2 0

1

m m

m y

18 9

36

/      

* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu

Trang 22

Do x1 , x2 là nghiệm của phương trình y/  0 nên

2 1

m x x

x x

Do đó y1.y2 m 2 2 4m 17

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành

2 17 2

17

2 0

a Đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm (2; -1)

b Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một

tam giác vuông tại O Tính diện tích tam giác đó

c Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

6 3

x x

y

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị

Thực hiện phép chia đa thức /

y cho

y ta được

x m x

Suy ra đường thẳng nối hai điểm cực trị là d: ym 2x

Đường thẳng d đi qua điểm (2; -1)  1 m 2 2 m 3

Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán

6 3

x x

) ( 0 0

4 0

.

m

O A Do l m m

m OB

OA

Vậy m =4 thỏa điều kiện bài toán

Trang 23

* Với m = 4A( 0 ; 4 ) và B( 2 ; 0 )

4 2 4 2

1 2

6 3

x x

y

Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)

Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt y A.y B  0 m(m 4 )  0

b Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu

c Xác định m để độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị bằng 2 5

x mx

x y

2

0 0

6 3

1 0

2 4

m

m m

m x

x mx

x y

2

0 0

6 3

/

* Đồ thị có cực đại cực tiểu

Trang 24

phương trình y/  0có hai nghiệm phân biệt

0 0

x mx

x y

2

0 0

6 3

*Với m 0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu

Thức hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được:

x mx

x y

2

0 0

6 3

*Với m 0 đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là

) 0

; 2 ( , )

Trang 25

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x x

2 1

0 3

m

* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Ta có

1

2

; 1

2 1

1

m x y m x

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m

Vậy m < 3 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x x

2 1

0 3

m

Ta có

1

2

; 1

2 1

1

m x y m x

2 1 2

1 2

2 1

m x x

x x

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x x

y

Trang 26

*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

3

3 0

2 1

0 3

m

Ta có

1

2

; 1

2 1

1

m x y m x

2 1 2

1 2

2 1

m x x

x x

) 1 ( 1 0

1

2 2

2

/

m x x

x x

m x x

2 1 2 1

0 3

m

Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy

 x1.x2  0  m 2  0 m 2

Đối chiếu với điều kiện m 3 ta được m 2

Vậy m 2 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục Oy

a Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

b Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

2

) 1 ( 1 0

1

1 2

2

/

m x x

x x

m x x

y

Trang 27

* Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 1

0 0

1 ) 1 (

2 1

m

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Ta có:

1

1 2

; 1

1

2 1

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1

Vậy m >0 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x + 1

2

) 1 ( 1 0

1

1 2

2

/

m x x

x x

m x x

1 ) 1 (

2 1

m

* Với m > 0, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

Ta có:

1

1 2

; 1

1

2 1

1 2 2 1

Đồ thị h/s có 2 cực trị  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 (x  2)2  m = 0 có 2 nghiệm phân biệt  2  m > 0

Gọi A (x1, y1) ; B (x2, y2) là 2 điểm cực trị

Trang 28

y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt  m > 0

Khi m > 0, pt đường thẳng qua 2 cực trị là

Trang 29

2 ( 3) 11 3

M1, M2, B thẳng hàng  B M1M2

 -1=11-3m m= 4

So với điều kiện m3 nhận m= 4

Vậy m = 4 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 9: Cho hàm số y f x( ) x3(m3)x23x4 (m là tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó, tìm m đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị này có hệ số góc bằng

) ( 1 0

7 6 9

14 6

9

n m

n m m

m m

Trang 30

Vậy:x1 x2 khơng phụ thuộc m

Ví dụ 11: Cho hàm số : 3 2 2

Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các

điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng

Trang 31

Vậy m = 0 thỏa điều kiện bài toán

1 0

5 2 ) 1 ( 2 3

/

m x

x m

x m x

Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm B(2;-2)=>P=6>0

Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y=3x-2,

MA+MB nhỏ nhất  3 điểm A, M, B thẳng hàng

Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

Trang 32

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

2/ (Dự bị 1 khối A 2002) Cho hàm số:y  x4 2m x2 2 1, (1)

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam

giác vuông cân

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại cực tiểu Với giá trị nào của m

thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10

4/ (Dự bị 1 khối B 2002) Cho hàm số:y  mx4 (m2 9)x2 10, (1)

b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị

5 Cho hàm số yx3 3mx2 4m có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số đã cho cùng với gốc tọa

độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 8

6 Cho hàm số

3

2 1

( 3) 2( 1) 1

3 2

x

y  m x  m x Tìm tấc cả các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị với hoành độ lớn hơn 1

7 Cho hàm số 4 2

yx  mx  (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số (1) có ba cực trị và đường tròn đi qua ba điểm cực trị ấy nằm trên đường tròn

có bán kính bằng 1

8 (Dự bị 1 khối A 2005) Cho hàm số:

x 2mx 1 3m y

x m



b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung

Trang 33

CHUYÊN ĐỀ 3: ÁP DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA ĐỂ GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1 Cho phương trình x3 12xm 0 Tìm m để phương trình

a Có ba nghiệm phân biệt b Có nghiệm thuộc   ; 0

) ( 2 0

12 3 0 )

/

n x

x x

) ( 2 0

12 3 0 )

/

n x

l x

x x

Trang 34

Dựa vào BBT ta thấy phương trình có nghiệm trên 0 ;  

16





 m

Vậy m  16 thấy phương trình có nghiệm trên 0 ;  

Chú ý: Nếu yêu cầu bài toán có hai nghiệm phân biệt trên 0 ;  

) ( 2 0

12 3 0 )

/

l x

x x

Ví dụ 2 Cho phương trình x 4 x2 m.Xác định m để phương trình

a có nghiệm b Có hai nghiệm phân biệt

4 0 4

4

2

2 /

x x x x

x x

x x y

Trang 35

y   trên  2 ; 2

4 0 4

4

2

2 /

x x x x

x x

x x y

a Có nghiệm b Nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định

c Có nghiệm duy nhất d Vô nghiệm

1 ) (

x f

 5

Dựa vào BBT ta thấy bất phương trình có nghiệmm 5

Trang 36

b Dựa vào BBT ở câu a ta thấy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc

tập xác định  m  5

Ví dụ 4 Cho bất phương trình x 3 m x2  1 Xác định m để bất phương trình

a Nghiệm đúng x  R b Vô nghiệm c Có nghiệm thuộc 0 ; 4

Ta có:

1 )

1 (

3 )

(

2 2

x x x

3

1 0

1 )

1 (

3 1 0

) (

2 2

x x

f trên 0 ; 4

Ta có:

1 )

1 (

3 )

(

2 2

x x x

f

3

1 0

1 )

1 (

3 1 0

)

(

2 2

/

n x x

x

x x

f/(x) + 0 -

10 f(x)

Trang 37

3

17 7

Dựa vào BBT ta thấy bất phương trình có nghiệm thuộc 0 ; 4

f trên 0 ;  

Ta có:

1 )

1 (

3 )

(

2 2

x x x

f

3

1 0

1 )

1 (

3 1 0

)

(

2 2

/

n x x

x

x x

Trang 38

+ Ta có

2 ax

Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận

của (C) tại A, B CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận)

không phụ thuộc vào vị trí của M

a

a a

Giao điểm với tiệm cận ngang y  là 2 B2a 1;2

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)





Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ

nhất

Giải:

Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0 - 1) thì 0

0 0

1

x y x



 - 2| = |

0

1 1

x  |

Theo Côsi thì d( M; d ) +d( M; )= |x0+1| +

0

1 1

Trang 39

Cho hàm số

2

x 4x 3 y

x 2



Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số

đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.( Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007)

Phương trình tiệm cận xiên y    x 2  x   y 2  0

khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là x y 2 7 d1

Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng

450 ( ĐỀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2008)

Vectơ pháp tuyến của d v d1 à 2 lần lượt là: nur1 (1; 0),nuur2 ( ; 1)m 

Góc giữa d1 và d2 bằng 450 khi và chỉ khi

Vậy m  1 thỏa điều kiện bài toán

Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2

2x x 1 y

Trang 40

Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không

x có đồ thị (C) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y= - x+m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng 60 0 (với O là gốc

+ Đường thẳng y= - x+ m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Û Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

ïïî

uuur uuur

Định dạng
Số trang	82
Dung lượng	771,2 KB