chuyên đề khảo sát hàm số hay

Phương pháp giải toán Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước... Phương pháp giải toán Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba trùng phương có 2 cực

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề: Hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K

b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x)  0 với mọi x  K

 [ f(x) đồng biến trên K]  [f '(x)  0 với mọi x  K]

 [ f(x) nghịch biến trên K]  [f '(x)  0 với mọi x  K] [f '(x)  0 với mọi x  K]  [ f(x) không đổi trên K]

2) Định lý 2: Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kthì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kthì hàm số f (x) nghịch biến trên K

c) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kthì hàm số f (x) không đổi trên K

 [f '(x)  0 với mọi x  K]  [ f(x) nghịch biến trên K]

3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y  f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kvà f ' x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K

b) Nếu f ' x  0 với mọi x  Kvà f ' x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K

B Phương pháp giải toán

Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là    3 m 0.

Ví dụ 2 Cho hàm số y x 3  3mx2  3(m2  1)x 2m 3 Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  1;2

x x

x 0 1

'( )

f x 0 ( )

2 2

3 0 0

m

m m

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f x'( ) 0 0

2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị) Quy tắc 1

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng a b; chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và x b0 ; Khi đó

a) Nếu f x'( ) 0 với mọi x a x; 0 và f x'( ) 0 với mọi x x ; b 0

thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

b) Nếu f x'( ) 0 với mọi x a x; 0 và f x'( ) 0 với mọi x x ; b 0

thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị) Quy tắc 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a b; chứa điểm x0, f x'( ) 0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác không tại điểm x0 Khi đó

a) Nếu f ''( )x0 0 thì hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f ''( )x0 0 thì hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0

B Phương pháp giải toán

Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị)

y  có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2 2

0 3

3

m m m m

b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào y' thử lại Khi thử lại có thể

dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2

x 2

'

Bảng biến thiên

x 14 2 '

Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước

0 3 2(2 1)

0 3

m P

m S

5 1

4 2

1 2

m m

x x

m

Theo đề bài : x1 2x2 1 (4)

m m x

y x mx (1), với m là tham số thực Cho điểm A(2;3) Tìm

m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A

Bài giải

   Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT   4

2 3

*y'' 2   3 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu

Câu 2 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2

y’ - 0 + 0 - 0 +

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y cd  y(0)   1.

Câu 5 Cho hàm số 3 2 2 3

yx  mx  m  xm m (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

     có 2 nhiệm phân biệt      1 0, m

Khi đó, điểm cực đại A m(  1;2 2 )  m và điểm cực tiểu B m(    1; 2 2 )m

Câu 7 Cho hàm số yx3 3 (m 1 )x2 9xm, với m là tham số thực

Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1x2  2

Ta có: y'  3x2  6 (m 1 )x 9

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 Phương trình y'  0 có hai nghiệm pb là x1, x2

 Pt x2  2 (m 1 )x 3  0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

2

3 (2) 1

m m m

m m

Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

Hàm số có CĐ, CT khi m < 2 Toạ độ các điểm cực trị là:

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d y: 2x 1 với đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm

M thuộc d và cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành một tam giác vuông tại

Md y  x  M t t  , tọa độ các điểm cực trị của (C) là D(0;1), (1;0)T

M cùng với hai điểm cực trị của đồ thị (C) tạo thành tam giác vuông tại M

   4  4

A B m m C m m Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân, thì đỉnh sẽ là A

Do tính chất của hàm số trùng phương, tam giác ABC đã là tam giác cân rồi, cho nên

để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông, thì AB vuông góc với AC

+) Tọa độ ba điểm cực trị: A(0 ; 1), B(- m ; 1 – m4), C(m ; 1 – m4) ;

+) CM tam giác ABC cân đỉnh A Tọa độ trung điểm I của BC là I(0 ; 1 – m4)

y  có ba nghiệm phân biệt và '

y đổi dấu khi

x đi qua các nghiệm đó  m 0

 Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

1 2

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;1) và có hệ số góc bằng 3 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất

+ d: y=3x-2

+ Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm (0;2)=>P=-4<0, thay tọa độ điểm 2)=>P=6>0 Vậy 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d Từ đây, để MA+MB nhỏ nhất => 3 điểm A, M, B thẳng hàng

+ Phương trình đường thẳng AB: y=-2x+2

+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

Đuờng thẳng đi qua 2 c ực trị A(1;2) và B(3;-2) là y=-2x+4

Ta có pt đt vuông góc với (AB) nên có hệ số góc k= ½

Vậy PT đ ư ờng thẳng cần tìm là

2

3 2

Câu 19 Cho hàm số 3 2 2

y  x m x  m  m x (m là tham số) có đồ thị là (Cm) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)

Điều kiện để AB đối xứng nhau qua đường thẳng y = x là AB vuông góc với đường thẳng y = x và I thuộc đường thẳng y = x

3 3

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Chuyên đề: Hàm số

A Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y  f x  xác định trên tập hợp D

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y  f x  trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn

 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự

2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN

a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa)

Dấu "=" xảy ra khi a  b

 Với ba số a, b, c không âm a, b, c  0 ta luôn có: a b c 3 3

abc a b c 3 abc 3

+ Trường hợp 2: Với y 1 thì (2) có nghiệm 0

7y2 18y 7 0

9 4 2 9 4 2

7 y 7 Suy ra tập giá trị của hàm số là 9 4 2 9 4 2;

♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:

 1  2y  y cos x   1 sin x ycosx sinx 1 2y (2) (dạng a cos x  bsin x  c)

c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích)

 Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:

Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn  a; b thì đạt được GTLN và GTNN

trên đoạn đó

 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y  f x  trên

miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy

ra kết quả

 Phương pháp riêng:

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b; và có đạo hàm trên khoảng  a b; , có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f x'( )  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  a b; thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn  a b; như sau:

Quy tắc

1) Tìm các điểm x x1 , 2 , ,x m thuộc  a b; mà tại đó hàm số f có đạo hàm bằng

0 hoặc không có đạo hàm

2) Tính f x( ), ( ), , ( 1 f x2 f x m), ( ), ( )f a f b

3) So sánh các giá trị tìm được

 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn  a b;

 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a b;

ii ĐỔI BIẾN (ĐẶT ẨN PHỤ)

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin 2x cosx 1

Vậy GTLN y = 227 , trên  0 ; 4 khi x=4

GTNN y= 2 trên trên  0 ; 4 khi x=1

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số   2

Câu 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số yx.logx trên khoảng (0;10)

Hàm số đã cho liên tục trên (0;10] Ta có '( ) log 1 log log

10 x

IV SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Chuyên đề: Hàm số

A Tóm tắt lí thuyết

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bài toán tổng quát

Trong mp(Oxy) Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số : 1

2

(C ) : y f(x) (C ) : y g(x)

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2)

Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và (C 2 )

Chú ý 1 :

* (1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm điểm chung

* (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung

O

) (C1

) (C2

) (C1

) (C2

) (C1

B Phương pháp giải toán

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị 1

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số  



2x 1 y

x 1 có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng (d): y  x mcắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

♦ Khi đó: (1) 2x 1 ( x m x)( 1) 2

x m x m (2) ♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Bài giải

♦ Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2

mx x x m (1) 2

(1) có ba nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

m m m

.

Ví dụ 3 Cho hàm số 4 2 2

(3 4)

y x m x m có đồ thị là C m Tìm m đồ thị C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài giải

♦ Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2

x m x m (1) Đặt 2

t x t 0 , phương trình (1) trở thành:

2 2

t m t m (2) ♦ C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt (1) có bốn nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm dương phân biệt

2 2

5 0

4 3

m m

4 5 0

m m

♦ Vậy giá trị m cần tìm là

4 5 0

m m

Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị

Nghiệm x0 của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C1) và (C2)

Khi đó tung độ điểm chung là y0 = f(x0) hoặc y0 = g(x0)

2 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho hàm số 1

2

mx y

x có đồ thị là C m Tìm m để đường thẳng (d): y 2x 1cắt đồ thị C m tại hai điểm phân biệt A B, sao cho AB 10

♦ Khi đó: (1) mx 1 (2x 1)(x 2)

2

2x (m 3)x 1 0 (2) ♦ (d) cắt C m tại hai điểm phân biệt A B, (1) có hai nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

Bài giải

♦ Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2

x x m x x (1) 2

2 0

x

x x m ♦ C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (1) có ba nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

9 4( 2) 0

m m

17 4 2

m m

Bài giải

♦ Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2

x m x m (1) Đặt 2

t x t 0 , phương trình (1) trở thành:

2 2

t m t m (2) ♦ (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt (1) có bốn nghiệm phân biệt

(2) có hai nghiệm dương phân biệt

2 2

5 0

4 3

m m

4 5 0

m m

(*)

Khi đó phương trình (2) có hai nghiệm0 t1 t2 Suy ra phương trình (1) có

bốn nghiệm phân biệt là x1 t2 x2 t1 x3 t1 x4 t2

m t

m

m 

x có đồ thị kí hiệu là ( )C a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b) Tìm m để đường thẳng y  x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho





 tại hai

điểm A B, sao cho AB 3 2

Pt hoành độ giao điểm 1   

1 2

2 1

Câu 3 Cho hàm số

1

x y x



 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b) Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

tam giác IAB có diện tích bằng 3 , với I là giao điểm của hai tiệm cận

Câu 4 Cho hàm số y=x4-2x2-3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b).Tìm tham số m đề đồ thị hàm số y=mx2-3 cắt đồ thị ( C) tại 3 điểm phân biệt và tạo thành hình phẳng có diện tích bằng 128

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

     có 2 nhiệm phân biệt      1 0, m

Khi đó, điểm cực đại A m(  1;2 2 )  m và điểm cực tiểu B m(    1; 2 2 )m

Đường thẳng d đi qua A(-1; 0) với hệ số góc là k, có phương trình là:

thị tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):

Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Gọi A x 1 ; 2  x1 m B x ; 2 ; 2  x2 m Với: x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Theo giả thiết: 1 1 2 1 1 1 2

Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A, B, C có hoành độ là nghiệm của phương trình:

V TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Trong đó: x0: hoành độ tiếp điểm

y0: tung độ tiếp điểm và y0 = f(x0) k: hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f'(x0)

Ví dụ: Cho hàm số 2 3

1

x y

x có đồ thị là C Viết phương trình tiếp tuyến của C

tại các giao điểm của C và đường thẳng y x 3

Khi đó: (1) 2x 3 (x 3)(x 1) x2 2x 0 0

2

x

x Suy ra tọa độ các giao điểm là A 0; 3 ,B 2; 1

♦ Ta có: ' 1 2

1

y

♣ Phương trình tiếp tuyến tại A là y 3 y'(0)(x 0) y x 3

♣ Phương trình tiếp tuyến tại B là y 1 y'(2)(x 2) y x 1

♦ Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y x 3 và y x 1.

 

Tại A(2; 3)  k y (2)    2 PTTT y:    2x 1

Câu 3: Cho hàm số f x( ) x3 3x 4 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2)

Câu 6: Cho hàm số y x 3 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –2)

Phương trình tiếp tuyến là y = 2x + 1

Câu 8 Cho hàm số: y 2x3 7x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2

y 3x2 6x Giao của ( C) với trục Ox là A(1; 0),B1  3;0 , 1 C  3;0

Tiếp tuyến tại A(1; 0) có hệ số góc là k = –3 nên PTTT: y   3x 3

Tiếp tuyến tại B 1  3;0có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y 6x  6 6 3

Tiếp tuyến tại C 1  3;0 có hệ số góc là k = 6 nên PTTT : y 6x  6 6 3

Câu 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x  1

x tại giao điểm của

  

 Các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là A 1;0 , 1;0  B

 Tại A(–1; 0) tiếp tuyến có hệ số góc k1 2 nên PTTT: y = 2x +2

 Tại B(1; 0) tiếp tuyến cũng có hệ số góc k2  2 nên PTTT: y = 2x – 2

Câu 11 Cho hàm số: 2 1

1

x y

x Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên

x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp điểm có tung độ bằng 3

Gọi tiếp điểm là M x y( ;0 0), ta có 0

Suy ra, hệ số góc k của tiếp tuyến là: k y'(2)   1

Do đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y   1(x  2) 3  hay y   x 5

Câu 13 Cho hàm số 3 2  

điểm của đồ thị với trục hoành

Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm A(0;0) và B(3;0)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(0;0) là: y 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại B(3;0) là: y y, 3 x 3  9x 27

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y 0 và y  9x 27

Câu 14 Cho hàm số 3 2

yx  x  ( )C Gọi giao điểm của đồ thị ( )C và đường thẳng 3

y  x là M, viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm M

Tọa độ của M là nghiệm của hệ 3 3 2 2

M x