Đề thi thử đại học môn Toán số 26

Tính góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a 2,0 điểm 1.. Theo chương trình Nân

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Môn thi : TOÁN (ĐỀ 26 )

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

= + (C)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất

Câu II (2,0 điểm) 1 Giải hệ phương trình:

2 2

3 3





2.Giải phương trình sau:8 sin( 6 x+cos6 x) +3 3 sin 4x=3 3 cos 2x−9sin 2x+11

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =

1 2

1 2

1 (x 1 )e x x dx

x

+

+ −

Câu IV(1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a 2, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng a3 Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng 3 15

27

Câu V (1,0 điểm) Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2(x2+y2) =xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 4

2 1

P xy

+

= + .

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A.Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a( 2,0 điểm)

1 Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 - 2x +6y -15=0 (C ) Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng: 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A;B sao cho AB = 6

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : 2 1

x− = y = z+

− − và

d2 : 7 2

6 9 12

x− =y− = z

− Xét vị trí tương đối của d1 và d2 Cho hai điểm A(1;-1;2) và B(3 ;- 4;-2), Tìm tọa

độ điểm I trên đường thẳng d1 sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu VII.a (1,0 điểm) Cho z , 1 z là các nghiệm phức của phương trình 2 2z2−4z+ =11 0 Tính giá trị của biểu thức A =

2

+

B Theo chương trình Nâng cao.

Câu VI.b(2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2 2 1

4 3

+ = và đường thẳng ∆:3x + 4y =12 Từ điểm M bất kì trên∆

kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho M(1;2;3) Lập phương trình mặt phẳng đi qua M cắt ba tia

Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:







+

= +

+

= +

y y

x x

x y

y x

2 2

2

2 2

2

log 2 log 72 log

log 3 log log

………Hết………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TOÁN (ĐỀ26)

I

* Sự biến thiên

x y x y

→+∞ = →−∞ = ; tiệm cận ngang: y = 2

x→ −lim( 1)−y= +∞; limx→ −( 1)+ y= −∞; tiệm cận đứng: x = - 1

- Bảng biến thiên

( 1)

y x

1đ

2

Gọi M(x0;y0) là một điểm thuộc (C), (x0≠- 1) thì 0

0 0

2 1 1

x y x

+

= +

Gọi A, B lần lợt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì

MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = | 0

0

2 1 1

x x

+ + - 2| = | 0

1 1

x + |

Theo Cauchy thì MA + MB ≥ 2 0

0

1

x 1

1

x

+

+ =2

⇒ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi x0 = 0 hoặc x0 = -2.Như vậy ta có hai điểm cần tìm là

M(0;1) và M’(-2;3)

0,5

0,5

II

1

4

Thay (1) vào phơng trình (*) ta có :

8 sin( 6 x cos x+ 6 ) +3 3 sin 4x=3 3cos x2 −9sin 2x+11

2

2

2

3

8 1 sin 2 3 3 sin 4 3 3 2 9sin 2 11 4

3 3 sin 4 3 3 2 6sin 2 9sin 2 3

3 sin 4 3 2 2sin 2 3sin 2 1

3 2 2sin 2 1 (2sin 2 1)(sin 2 1)

0,5

0,5

2sin 2 1 0 2sin 2 1 (2)

3 2 sin 2 1 0 sin 2 3 2 1 (3)

Gi¶i (2) : 12 ( )

5 12

k Z

Π

 = + Π



∈

 = + Π



; Gi¶i (3) 4 ( )

7 12

k Z

Π

 = + Π



∈



KÕt luËn :

2

Ta có: 2x3−y3 =(2y2−x2) (2y x− ⇔) x3+2x y2 +2xy2−5y3=0

Khi y=0 thì hệ VN

Khi y≠0, chia 2 vế cho y3 ≠ ⇒0

  +   +  − =

Đặt t x

y

= , ta có : t3+2t2+ − = ⇔ =2t 5 0 t 1

1

y x

y

=



=

0,5

0.5

III

I =

1 2

(x 1 )e x x dx e x x dx (x )e x x dx I I

Tính I1 theo phương pháp từng phần I1 =

2

2 2

1 1

2 2

2

x

5 2 3 2

⇒ =

0,5đ

0,5

IV

Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH AE

Ta có ACD cân tại A nên CD AE

Tương tự BCD cân tại B nên CD BE

Suy ra CD (ABE) CD BH

Mà BH AE suy ra BH (ACD)

Do đó BH = và góc giữa hai mặt phẳng

(ACD) và (BCD) là

Thể tích của khối tứ diện ABCD là

0,5

0,5

H

D E C B

A

Mà

Khi đú : là 2 nghiệm của pt: x2 - x + = 0

2 2

2 2

3 5 3

a AE

a DE







hoặc

2 2 2 2

5 3 3

a AE a DE







trường hợp vỡ DE<a

Xột BED vuụng tại E nờn BE =

Xột BHE vuụng tại H nờn sin =

Vậy gúc giữa hai mp(ACD) và (BCD) là

V

5

xy+ = x y+ − xy ≥ − xy⇒xy≥ −

3

xy+ = x y− + xy ≥ xy⇒xy≤ ĐK: 1 1

− ≤ ≤

Suy ra : ( )

2

2 2 2 2 2 7 2 2 1

P

2 2

7 '

2 2 1

t t P

t

− −

=

+ , ' 0P = ⇔ =t 0,t = −1( )L

P− =P =

4

KL: GTLN là 1

4 và GTNN là

2

15( HSLT trờn đoạn

1 1

;

5 3

−

0,5

0,5

VIa

1 Đường trũn ( C) cú tõm I(1;-3); bỏn kớnh R=5

Gọi H là trung điểm AB thỡ AH=3 và IH AB suy ra IH =4

Mặt khỏc IH= d( I; Δ )

Vỡ Δ ⊥ d: 4x-3y+2=0 nờn PT của Δ cú dạng

3x+4y+c=0

d(I; Δ )=

vậy cú 2 đt thỏa món bài toỏn: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0

0,5 0,5

2 Véc tơ chỉ phơng của hai đờng thẳng lần lợt là: uur1(4; - 6; - 8) uuur2( - 6; 9; 12)

+) uur1 và uuur2 cùng phơng

+) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2 Vậy d1 // d2

*) ABuuur = ( 2; - 3; - 4); AB // d1

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B

I

A H B

IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B

Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d

Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B

*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm đợc H 36 33 15; ;

29 29 29

A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28

29 29 29

I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43

29 58 29

0,5

0,5

VIa

Giải pt đó cho ta được cỏc nghiệm: 1 1 3 2 , 2 1 3 2

Suy ra

2 2

2

1 2

11

4

z z

+

= = +

0,5 0,5

VIb

1 Gọi M(x0 ;y0 ), A(x1;y1), B(x2;y2)

Tiếp tuyến tại A có dạng 1 1 1

4 3

xx + yy = Tiếp tuyến đi qua M nên 0 1 0 1 1

4 3

x x + y y = (1)

Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt

4 3

xx yy

+ = do M thuộc ∆ nên 3x0 + 4y0 =12 ⇒4y0 =12-3x0

4

4 3

xx yy

+ = ⇒ 4 0 (12 3 )0

4

xx + y − x =

Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì

(x- y)x0 + 4y – 4 = 0 { 0 { 1

4x y− =y 4 0 x y=1

⇒ − = ⇒ = Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)

0,5

0,5

2 Mặt phẳng cắt 3 tia Ox,Oy,Oz tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) có dạng

( ): x y z 1, , ,(a b c 0)

• Do M∈( )α nên: 1 2 3 cos 3 6

a b c+ + = ≥ abc ⇒ ≥

3 1

6

9

a

c

=





 =



Mặt phẳng cần tìm: 6x+3y+2z-18=0

0,5

0,5

VIb

ĐK: x,y > 0

- hệ phương trỡnh ⇔  ( + )+ = +

+

= +

y y

x x

x y

y x

2 2

2

2 2

2

log 2

log 3 log 2 3

log 3 log log

- Suy ra: y = 2x

2log13 1

=

x

2log23 1

2 −

=

y

0,5

0,5

Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn mà vẫn đỳng thỡ được đủ điểm từng phần như đỏp

ỏn quy định.