Tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân fourier sine, fourier cosine, kontorovich-Lebedev

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 --- --- NGUYỄN ĐỨC THỤY TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE, KONTOROVICH–LEBEDEV Chuyên ngàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

-
 -

NGUYỄN ĐỨC THỤY

TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE, KONTOROVICH–LEBEDEV

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trịnh Tuân

HÀ NỘI, 2012

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS.Trịnh Tuân, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, Ban Giám hiệu trường THPT Tự Lập – Mê Linh – Hà Nội cùng bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Hà Nội, ngày 11 tháng 7 năm 2012

Học viên

Nguyễn Đức Thụy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của TS.Trịnh Tuân Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Nguyễn Đức Thụy

MỤC LỤC

Trang

1.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier,

Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ……… 9

1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân ……… 13

1.3 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân ……… 15

Kết luận ……… 17

Chương 2 Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev 18 2.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa ……… 18

2.2 Một số tính chất của toán tử ……… 24

2.3 Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân ……… 29

Kết luận ……… 38

Chương 3 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev 39

3.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa ……… 39

3.2 Các tính chất toán tử của đa chập ……… 43

3.3 Ứng dụng giải phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân ……… 46

Kết luận ……… 56

CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

• F : Phép biến đổi Fourier.

F− : Phép biến đổi Fourier ngược

• F s : Phép biến đổi Fourier sine

• F c : Phép biến đổi Fourier cosine

• K : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev.

+∞

< +∞

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1951 nhà toán học người Mỹ I.N Sneddon (xem [12]) đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine Mãi đến năm 1998 (xem [10]) nhờ kỹ thuật xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân

sơ đồ về đa chập với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân

phân đã cho ta những ứng dụng phong phú, chẳng hạn là giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập, nghiệm biểu diễn dưới dạng đóng và đặc biệt là phương trình tích phân Toeplitz–Hankel

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của TS Trịnh Tuân, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:

“Tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier

sine, Fourier cosine, Kontorovich–Lebedev ”

Luận văn được trình bày thành ba chương và phần tài liệu tham khảo Để tiện cho việc theo dõi luận văn thì phần đầu chúng tôi có trình bày thêm bảng

ký hiệu toán học dùng để viết luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống về tích chập suy rộng

và đa chập có hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev (nghiên cứu sự tồn tại trong không gian ( )

1

L ℝ+ , đẳng thức nhân tử hóa, các tính chất đại số của tích chập, đa chập và ứng dụng để giải phương trình, hệ phương trình tích phân)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu tính chất toán tử của tích chập suy rộng và đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev

- Tìm hiểu các tính chất của nó

- Ứng dụng để giải đóng một số phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân dạng chập

4 Đối tượng nghiên cứu

- Tích chập suy rộng và đa chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev

- Định nghĩa, tính chất, sự tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa, các tính chất đại

số, ứng dụng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như (không gian hàm, lý thuyết toán tử, ….)

- Sử dụng các kỹ thuật về phép biến đổi tích phân cũng như các đánh giá bất đẳng thức với các phép biến đổi tích phân

- Sử dụng kiến thức về hàm đặc biệt, chẳng hạn hàm Macdonald, …

6 Dự kiến những đóng góp mới

- Trình bày một cách có hệ thống về lý thuyết tích chập và đa chập

- Trình bày được chi tiết tích chập suy rộng với hàm đối với các phép biến đổi Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev cũng như đa chập của các phép biến đổi này Từ đó cho ứng dụng để giải phương trình tích phân

và hệ phương trình tích phân dạng chập

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một cách tóm tắt một số kiến thức về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev, tích chập tương ứng của các phép biến đổi tích phân này, tích chập suy rộng và đa chập Sau mỗi phần trình bày chúng tôi đều trích dẫn một số tích chập suy rộng và đa chập làm ví dụ minh họa Các ví dụ này sẽ được dùng cho việc nghiên cứu các chương sau

Nội dung trình bày của chương này được dựa vào các tài liệu (xem [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [14], [18], [19], [20])

1.1 Tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và Kontorovich-Lebedev

Giả sử K U X: ( ) →V Y( ) là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U X( ) vào đại số V Y( )

Tích chập của hai hàm f ∈U X g1( ), ∈U X2( ) đối với phép biến đổi K là

một hàm, kí hiệu (f ∗g), sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn

( * )( ) ( )( )( )( )

Khi đó U X( ) cùng phép nhân chập như trên xác định một đại số

Ở đó F được gọi là toán tử Fourier hoặc phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.3 Phép biến đổi Fourier ngược của hàm f x( ) ∈L1( )ℝ được xác định bởi công thức (xem [12]):

Ở đó F−1 gọi là toán tử Fourier ngược hoặc phép biến đổi Fourier ngược

Ví dụ 1.1 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier

Cho f g, ∈L1( )ℝ Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) của hai hàm f và g, kí hiệu ( )( ),

( )( ) ( )( )( )( )

F

F f ∗g y = Ff y Fg y với y ∈ ℝ (1.4)

Định nghĩa 1.4 (xem [12]) Cho hàm f x( ) ∈L1(ℝ+) Phép biến đổi Fourier

cosine ( )F c của hàm f là một hàm và được xác định bởi công thức

0

2 (F f x c )( ) cosxy f y dy ( )

π

+∞

= ∫ với x > 0 (1.5)

Ví dụ 1.2 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine

Cho f g, ∈L1( ℝ+) Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine (1.5) của hai hàm f và g, kí hiệu:

π

+∞

= ∫ , với x > 0 (1.8)

Ví dụ 1.3 Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine

Cho f g, ∈L1(ℝ+) Tích chập với hàm trọng γ( )x = sinx của hai hàm f và g

đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine (1.5) được xác định bởi công

Mặt khác f x( ) ∈L1(ℝ+) nên tích phân (1.11) hội tụ

Định nghĩa 1.7 (xem [6], [19]) Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược

1

(K− ) của một hàm được xác định bởi công thức sau

2 0

2 (K f x)( ) f x( ) xsinh(π x K) ix( )t t f t dt( ) , x 0

Tích chập (1.14) thuộc không gian L1( ℝ+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

1.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân

1.2.1 Định nghĩa (xem [10]) Cho các toán tử tuyến tính

: ( ) ( ), 1,2, 3

K U X →V Y i =

Trong đó U X i( i) là các không gian tuyến tính, còn V Y( ) là đại số

Tích chập suy rộng với hàm trọng γ( )y của hai hàm f ∈U X2( 2) và

Khi K1 =K2 = K3 = F s, ( )γ y = siny, với F là phép biến đổi tích phân s

Fourier sine (1.8) thì ta được tích chập (1.8)

Khi K1 = K2 =K3 = K , với K là phép biến đổi tích phân Kontorovich -

Lebedev (1.14) thì ta được tích chập (1.14)

Khi K1 = K2 =F K s, 3 = F c, thì ta được tích chập suy rộng (1.17)

Khi K2 = K3 = F K s, 1 = F c, thì ta được tích chập suy rộng (1.19)

Nhờ kỹ thuật (xem [10]) mà từ đó đến nay đã có một số kết quả công bố

về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân (xem

[7], [14], [15], [17], [19]) Để minh họa cho sơ đồ kiến thiết tích chập suy rộng (1.16), sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa đồng thời các tích chập suy rộng này còn dùng để nghiên cứu cho các chương sau của luận văn

được xác định bởi công thức

+∞

π ∫3

1.3 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân

1.3.1 Định nghĩa (xem [9]) Cho các toán tử tuyến tính

: ( ) ( ), 1,2, 3,

K U X →V Y i =

Trong đó U X i( i) là các không gian tuyến tính, còn V Y( ) là đại số

Đa chập của các hàm f1 ∈U X1( 1),f2 ∈U X2( 2), ,f n ∈U n(X n) với hàm trọng

và Kontorovich-Lebedev (xem [13], [16], [18])

Để minh họa cho sơ đồ kiến thiết đa chập (1.21), sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ minh họa đồng thời các đa chập này còn dùng để nghiên cứu cho chương 3 của luận văn

1.3.2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1.7 (xem [13]) Cho f g h, , ∈L1(ℝ+) Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f g h, , được xác định

4 1

Kết luận

- Trình bày một số phép biến đổi tích phân và tích chập tương ứng của các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich–Lebedev

- Trình bày và hệ thống sơ đồ về tích chập suy rộng có hàm trọng và đa chập của các phép biến đổi tích phân K i (i =1, )n

- Trình bày các ví dụ minh họa tích chập suy rộng và đa chập để thấy sự khác biệt rõ rệt là đối với tích chập trong đẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân tham gia còn trong tích chập suy rộng và đa chập có nhiều phép biến đổi tích phân khác tham gia

Chương 2 Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev

Trong chương này chúng tôi trình bày về tích chập suy rộng với hàm trọng γ ( )y = sinh (−1 πy) đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine,

Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev Từ đó nghiên cứu sự tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa cũng như các tính chất đại số của tích chập và ứng dụng

Các định lý chính của chương này là định lý (2.1) và (2.2) Nội dung của chương 2 được trình bày từ tài liệu (xem [17])

2.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa

2.1.1 Định nghĩa (xem [17])

Tích chập suy rộng với hàm trọng γ ( )y = sinh (−1 πy) của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev được xác định như sau

.cosh( ) cosh( ) 2

1 1

1

0 1

e u e u

cosh 2

sin ( ) sinh sin ( ) sinh

sin( ) sinh( ) sin( ) sinh( ).

sin( ) sinh( ) sinh( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

cosh 2

cosh 2

.cosh 0

cos ( ) sinh cos ( ) sinh

cos( ) sinh( ) cos( ) sinh( ).

cos( ) sinh( ) sinh( )

cosh( ) 0

Vậy đẳng thức (2.4) được chứng minh

Từ những lập luận trên cho ta thấy các tích chập (2.1), (2.2) tồn tại và thuộc vào L1( ℝ+).

cosh( ) 2

0

2 sinh( ) u x v ( ) ( )

cosh( ) 2

0

2

( )(sinh * ( ))( )

2 sinh( ) ( ) ( ) (2.11)

0 cosh 2

( * )( )

1

2 sinh( ) ( ) ( )

0

( )

2 sinh( ) u x v ( ) ( ) (2.12)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cosh

0 cosh 2

0

cosh 2 0

cosh 2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định lí 2.2 (xem [17]) Các tích chập (2.1), (2.2) không giao hoán, không kết

hợp nhưng nó thoả mãn các đẳng thức sau

2) Từ các đẳng thức nhân tử hóa (2.3), (2.4), ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )

Hệ quả 2.2 (xem [17]) Các tích chập (2.1), (2.2) không giao hoán, không kết

hợp nhưng nó thoả mãn các đẳng thức sau

1 1

2.3 Ứng dụng giải hệ phương trình tích phân

Chứng minh

Sử dụng tích chập (2.1) và (2.2), khi đó hệ (2.13) được viết dưới dạng hệ chập

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 3

1 2

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

1 1

2 2

2

1

* 1

cận của tập hợp chứa miền giá trị {f x x( ), ∈ ℝ} và φ( )0 = 0 thì φ( )f là ảnh của phép biến đổi Fourier của một hàm thuộc L1( ℝ+).

Chú ý rằng định lí Wiener-Levy vẫn đúng cho phép biến đổi Fourier cosine của một hàm thuộc L1( ℝ+).

Ở đây ta áp dụng định lí trên cho trường hợp ( ) 1 2

1 2

1

z z

z

λ λ φ

= với điều kiện (2.14) thì hàm φ( )z giải tích, φ( )0 = 0

Do đó tồn tại hàm q x( )∈L1( )ℝ+ sao cho ( )( )F q y c =φ( )z

c c

Tương tự, ta có

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( )( )

2

2 2 2 1

Trong đó 1 1( ) 1 2

1 , ; , , , ,

Để giải hệ phương trình này ta xét định thức

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( * ) 1

c c

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )

1 1

1

1

( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2

2 2

1 sinh

Định lí được chứng minh

Nhận xét

Ta thấy rằng đối với những hệ phương tình tích phân (2.13), (2.19) được đưa ra ở đây chỉ có thể giải được bằng công cụ tích chập suy rộng (2.1), (2.2) và nghiệm nhận được dưới dạng đóng thuộc không gian L1( )ℝ+ mà khó có thể giải được bằng các công cụ khác Đây chính là một hướng ứng dụng mới của tích chập suy rộng với hàm trọng

Kết luận

- Trình bày được chi tiết hai tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev ngược với hàm trọng

- Nghiên cứu sự tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa và các tính chất đại số của hai tích chập trên các không gian khác nhau

- Ứng dụng các tích chập suy rộng này để giải đóng một số lớp hệ phương trình tích phân dạng chập

Chương 3

Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine,

Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev

Trong chương này chúng tôi trình bày về đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich–Lebedev Nghiên cứu các tính chất của chúng và ứng dụng để giải hệ phương trình tích phân và phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel

Các kết quả chính của chương là định lý (3.1), (3.3) và (3.4)

Nội dung của chương được trình bày từ tài liệu (xem [16])

3.1 Định nghĩa và đẳng thức nhân tử hóa

Chuẩn của hàm f thuộc L1( )ℝ+ và chuẩn của hàm g thuộc L1(β( )x , ℝ+)

theo thứ tự được xác định bởi