Tích chập, Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và ứnh dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————————————— CAO VĂN NHẬM TÍCH CHẬP, TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

CAO VĂN NHẬM

TÍCH CHẬP, TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Minh Khoa

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Minh Khoa

- Trưởng khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Điện lực, người thầy đãhướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luậnvăn này

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã và đangtham gia giảng dạy, công tác ở phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 Các thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi hoàn thành khóa học tại trường

Đồng thời tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả bạn bè, đồng nghiệp

và người thân đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và viếtluận văn

Mặc dù đã dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu song bản luận vănkhông thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Vì vậy tôi rất mong muốnnhận được sự góp ý của tất cả quý vị để luận văn này được hoàn thiện hơn

Hà nội, tháng 12 năm 2011

Học viên

Cao Văn Nhậm

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong luận vănnày là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn

và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Cao Văn Nhậm

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 8 1.1 Phép biến đổi Fourier 8

1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine 15

1.3 Ứng dụng các phép đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine vào giải các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng 22

2 Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 27 2.1 Tích chập với hàm trọng γ2(y) = cos y đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine 27

2.2 Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine 38

2.3 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ3(y) = sign y đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine 46

3 Ứng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập 53 3.1 Các phương trình tích phân Toeplitz - Hankel 53

3.2 Các hệ phương trình tích phân dạng chập 59

Kết luận 65

Tài liệu tham khảo 67

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của giảitích toán học và được phát triển liên tục trong khoảng hai trăm năm trở lạiđây Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũngnhư trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác, đặc biệt là trong việc giảicác bài toán với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình viphân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, và các bài toáncủa vật lý - toán Các phép biến đổi tích phân là những công cụ có hiệulực để chuyển các toán tử vi phân, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân

về toán tử đại số và đồng thời đưa các hệ phương trình vi phân, tích phân

về hệ phương trình đại số tuyến tính quen thuộc Những phép biến đổi tíchphân phổ biến nhất, có ứng dụng rộng rãi nhất và ra đời sớm nhất đó là cácphép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine

Cùng với sự phát triển của lý thuyết các phép biến đổi tích phân, mộthướng phát triển mới của lý thuyết các phép biến đổi tích phân là tích chậpcủa các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng đầu thế kỷ 20 Cáctích chập được nghiên cứu đầu tiên đó là:

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier F của hai hàm f và gđược xác định như sau [4, 9, 15]

Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fc của hai hàm f

và g được xác định như sau [9, 15]

f(y) [g (|x − y|) + g (x + y)] dy, x > 0

Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Fc( f ∗ g

F c

)(y) = (Fcf) (y) (Fcg) (y), ∀y > 0, f , g ∈ L1(R+)

Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace [9, 15], Mellin,Hilbert [9], Hankel [5] và Stieltjes [6, 10]

Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là trongđẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tíchphân tham gia Điều này ít nhiều làm hạn chế đến cấu trúc và việc ứngdụng chúng vào giải các các phương trình, hệ phương trình tích phân dạngchập và các bài toán thực tế

Năm 1951, I N Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiênđối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine [9]

Sau đó, năm 1967, trong một công trình công bố trên tạp chí D.A.N [5],

V A Kakichev đã xây dựng phương pháp kiến thiết tích chập với hàmtrọng γ(y) đối với phép biến đổi tích phân K bất kì, thỏa mãn đẳng thứcnhân tử hóa sau

K( f ∗ g) (y) = γ(y) (K f ) (y) (Kg) (y) γNhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xây dựng

và nghiên cứu [6]

Đến đầu những năm 90 của thế kỷ trước, S B Yakubovich đã đưa ramột số tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số,chẳng hạn như tích chập đối với phép biến đổi tích phân Mellin, tích chậpđối với phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev, biến đổi G, biếnđổi H.

Vào năm 1998, V A Kakichev và Nguyễn Xuân Thảo đã đưa ra phươngpháp mới kiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất

kì K1, K2, K3 với hàm trọng γ (y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa [6]

K1( f ∗ g) (y) = γ (y) (Kγ 2f) (y) (K3g) (y)

Từ ý tưởng của bài báo này trong vòng sáu, bẩy năm trở lại đây NguyễnXuân Thảo và Nguyễn Minh Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng chụctích chập, tích chập suy rộng và đa chập đối với chùm ba phép biến đổi tíchphân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine [2, 8, 11–14] Chẳng hạn như:Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine [7]được xác định bởi

( f γ∗1

3 g) (x) = 1

2√2π

Xây dựng, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọngthực sự có ý nghĩa trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân, tích chập

và phương trình vi, tích phân Vì vậy tôi đã chọn hướng nghiên cứu củaluận văn là xây dựng và nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng đối vớicác phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứngdụng chúng vào giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Xây dựng và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với cácphép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụngchúng để giải phương trình tích phân Toeplitz – Hankel và hệ phương trìnhtích phân dạng chập

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine và ứng dụng vàogiải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập

4 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phép biến đổi tích phân và các kết quả của giải tích, giảitích hàm

• Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng của V A kichev, Nguyễn Xuân Thảo và kỹ thuật trong các bài báo của NguyễnXuân Thảo, Nguyễn Minh Khoa để tìm tòi, nghiên cứu các tích chập,tích chập suy rộng và các ứng dụng của chúng

Ka-5 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm ba chương:

• Chương 1 Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và

Fourier sine

Nhắc lại định nghĩa, các tính chất cơ bản của các phép biến đổi Fourier,Fourier cosine, Fourier sine và một số ví dụ áp dụng các phép biến đổinày trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng

• Chương 2 Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích

phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine

Xây dựng lại và nghiên cứu các tính chất của ba tích chập, tích chậpsuy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine

Một số kí hiệu dùng trong luận văn

Chương 1

Các phép biến đổi tích phân Fourier,

Fourier cosine và Fourier sine

1.1 Phép biến đổi Fourier

1.1.1 Phép biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.1.1 Cho f ∈ L1(R), hàm F( f ) xác định bởi

được gọi là biến đổi Fourier của f

Định nghĩa 1.1.2 (Biến đổi Fourier ngược) Nếu F(y) ∈ L1(R) thì hàm

được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm F.

Ví dụ 1.1.1 Tìm biến đổi Fourier của hàm exp −ax2
, a > 0

Giải:

đổi Fourier của nó có dạng giống nhau (hàm có tính chất như vậy được gọi

là tự nghịch đảo qua phép biến đổi Fourier).

Ví dụ 1.1.2 Tìm biến đổi Fourier của hàm g(x) = e−a|x|, a > 0

Giải:

Theo định nghĩa ta có

bg(y) = (Fg) (y)

π a(a2+ y2).

1.1.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier

Tính chất 1 Phép biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính.

Chứng minh Với ∀ f , g ∈ L1(R) và với ∀λ , µ ∈ R ta có

F { f(x + a)} (y) = eiyaF { f(x)} (y)

Chứng minh Theo định nghĩa ta có



Tính chất 5 Nếu f (x) khả vi liên tục từng khúc và khả tích tuyệt đối thì

(i) bf(y) = (F f ) (y) bị chặn,

(ii) bf(y) = (F f ) (y) liên tục với ∀y ∈ R

Chứng minh Theo định nghĩa ta có

bf(y)

≤ √1

bf(y + h) − bf(y)

|y|n .Vậy nếu f có đạo hàm bậc càng cao trong L1(R) thì bf(y) hội tụ về 0 càngnhanh khi |y| → ∞

Định nghĩa 1.1.3 Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi

Cho f , g ∈ L1(R), khi đó tích chập (1.1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F( f ∗ g)(y) = (F f ) (y) (Fg) (y) , ∀y ∈ R (1.1.4)

o(x) = √1

1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine

1.2.1 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine

Định nghĩa 1.2.1 Cho f ∈ L1(R+), hàm Fc( f ) xác định bởi

b

f(y) = (Fcf) (y) =

r2π

+∞

Z

0

f(x) cos yxdx (1.2.1)

được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f

Ta có công thức biến đổi ngược là

f(x) =



Fcfb

(x) =

r2π

Định nghĩa 1.2.2 Cho f ∈ L1(R+), hàm Fs( f ) xác định bởi

b

f(y) = (Fsf) (y) =

r2π

+∞

Z

0

f(x) sin yxdx (1.2.2)

được gọi là biến đổi Fourier sine của hàm f

Ta có công thức biến đổi ngược là

f(x) =



Fsfb

(x) =

r2π

• Nếu f (x) là hàm chẵn thì (F f ) (y) = (Fcf) (y), ∀y > 0

• Nếu f (x) là hàm lẻ thì (F f ) (y) = −i (Fsf) (y), ∀y > 0

Ví dụ 1.2.1 Tìm biến đổi Fourier cosine và Fourier sine của hàm

f(x) = e−ax, a > 0

Giải Theo định nghĩa ta có

(Fcf) (y) =

r2π

r2π

= 12

r2π

1

a

a2+ y2



(Fsf) (y) =

r2π

1

y

a2+ y2



1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fourier sine

Tính chất 1 Các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine là các toán

tử tuyến tính

Chứng minh Với ∀ f , g ∈ L1(R+) và với ∀λ , µ ∈ R ta có

Fc[λ f (x) + µ.g(x)] (y) =

r2π

,

(Fsfa) (y) = 1

a(Fsf)

ya



Chứng minh Ta có

(Fcfa) (y) =

r2π

r2π

= 1a

r2π



Đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự

Tính chất 3 (Định lí tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine)

Cho f , g ∈ L1(R+) Khi đó tích chập (1.2.3) cũng thuộc L1(R+) và thỏamãn đẳng thức nhân tử hóa

Fc( f ∗ g)

F c

(y) = (Fcf) (y) (Fcg) (y) , ∀y > 0 (1.2.4)

r2π

1.3 Ứng dụng các phép đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,

Fourier sine vào giải các phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng

Ví dụ 1.3.1 Áp dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi phân thường

bậc n với hệ số hằng

Với L là toán tử vi phân bậc n

L= anDn+ an−2Dn−1+ · · · + a1D+ a0,trong đó an, an−1, , a1, a0 là các hằng số, D ≡ dxd và f (x) là hàm chotrước

Giải Áp dụng biến đổi Fourier cho 2 vế của (1.3.1) ta được

h

an(ik)n+ an−1(ik)n−1+ · · · + a1(ik) + a0

i(Fy) (k) = (F f ) (k).Phương trình trên được viết gọn lại là

P(ik) (Fy) (k) = (F f ) (k),trong đó

(Fy) (k) = (F f ) (k)

P(ik) = (F f ) (k)Q(k), (1.3.2)với Q(k) = P(ik)1

trong đó q(x) hoàn toàn xác định bởi q(x) = F−1{Q(k)}

Ví dụ 1.3.2 Tìm nghiệm của phương trình vi phân

d2u 2

Giải Áp dụng biến đổi Fourier vào hai vế của (1.3.4) ta được

−(ik)2u(k) + ab 2u(k) = bb f(k)

k2+ a2



= 1a

rπ

2e

−a|x|

Xem ví dụ(1.1.2) Vậy phương trình (1.3.4) có nghiệm

và thỏa mãn các điều kiện

(i) u, ux, uxx liên tục, khả tích trên R theo biến x với mọi t ≥ 0 cố định,(ii) ∀T > 0, ∃ϕ ∈ L1(R) sao cho |ut(x,t)| ≤ ϕ(x), ∀t ∈ [0; T ], ∀x

Giải Biến đổi Fourier vế trái của (1.3.6) như là một hàm theo biến x (xem

Tương tự, biến đổi Fourier vế phải (1.3.6) và sử dụng tính chất 7 của biếnđổi Fourier ta có

F {uxx(x,t)} (k) = (ik)2u(k,t) = −kb 2u(k,t).bNhư vậy việc biến đổi Fourier hai vế của (1.3.6) cho ta phương trình viphân thường theo biến t

b

ut(k,t) = −k2u(k,t).b (1.3.8)Điều kiện ban đầu của phương trình vi phân (1.3.8) có được bằng cách biếnđổi Fourier hai vế của (1.3.7) Khi đó phương trình (1.3.8) có nghiệm là

bu(k,t) = e−k2t.ub0(k), với ub0(k) = F {u0(x)} (k)

Theo ví dụ (1.1.1) ta có

e−k2t = F

1

√2te

−x24t

(k)

Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (1.1.4) ta suy ra

bu(k,t) = F

1

√2te

− x2 4t

(k).F {u0(x)} (k)

= F

n 1

√2te

− x2 4t∗

Fu0(x)

o(k)

Vậy phương trình (1.3.6) có nghiệm

u(x,t) =

 1

√2te

− x2 4t∗

Fu0(x)



= √12πt

Giải: Áp dụng biến đổi Fourier sine vào hai vế của (1.3.9) ta có

(

sin kx.∂ u

∂ x



n[cos kx.u]|+∞0 −

πu(0,t) − k2

r2π

U(k, 0) = Fs{u(x, 0)} =

r2π

+∞

Z

0

U(k,t) sin kxdk

Chương 2

Tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine

2.1 Tích chập với hàm trọng γ2(y) = cos y đối với phép biến đổi tích

phân Fourier cosine

Định nghĩa 2.1.1 Tích chập với hàm trọng γ2(y) = cos y của hai hàm f , gđối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine được xác định bởi

+∞

Z

0

f(t)[g(x + 1 + t) + g (|x + 1 − t|) ++ g (|x − 1 + t|) + g (|x − 1 − t|)]dt (2.1.1)

Định lý 2.1.1 Giả sử các hàm f và g thuộc L1(R+) Khi đó tích chập vớihàm trọng γ1(y) = cos y của chúng đối với phép biến đổi tích phân Fouriercosine cũng thuộc L1(R+) và có đẳng thức nhân tử hóa

Chứng minh Theo định nghĩa ta có

dx = 1

2√2π

r2π

cos y cos yu cos yv =1

4[cos y(u + 1 + v)+ cos y(u + 1 − v)+ cos y(u − 1 + v) + cos y(u − 1 − v)]

Bằng phép đổi biến t = u, x = u + 1 + v, ta thu được

12π

Và với phép đổi biến t = u, x = −(u − 1 − v), ta có

12π

(y) = cos y (Fcf) (y) (Fcg) (y)

= cos y (Fcg) (y) (Fcf) (y)

= cos y cos y (Fcf) (y) (Fcg) (y) (Fch) (y)

= cos y (Fcf) (y) [cos y (Fcg) (y) (Fch) (y)]

Định nghĩa 2.1.2 Trong không gian L1(R+), chuẩn của hàm f được xácđịnh bởi

k f k =

r2π

Mà với x > 0, t > 0, bất kỳ ta có

g(|x − 1 + t|) + g (|x − 1 − t|) = g (|x − 1| + t) + g (||x − 1| − t|)nên

√2π



Định lý 2.1.3 Không gian L1(R+) được trang bị phép toán tích chập(2.1.1) trở thành vành định chuẩn giao hoán nhưng không có phần tử đơnvị

Chứng minh Dễ kiểm tra không gian L1(R+) cùng với phép cộng vàphép nhân tích chập (2.1.1) trở thành một vành

Hơn nữa từ chứng minh Mệnh đề (2.1.1) ta có

k f γ∗2

4 gk≤ k f kkgk

Do đó không gian L1(R+) được trang bị phép toán tích chập (2.1.1) trởthành vành định chuẩn Tính giao hoán của vành nhận được từ định lí

Chứng minh Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có

+∞

−∞

+√iy2π... có

dx

dx)

= 12

1

√2π



dx

Suy

fb(y)

≤ 1

2√2π

+∞...

≤

r2π

fb(y + h) − bf(y)

=

Điều chứng tỏ bf(y) liên tục với ∀y ∈ R



Tính chất (Bổ đề Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L1(R)