Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Bùi Kiên Cường

HÀ NỘI, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, các thầy giáo, cô giáo,cùng toàn thể các anh chị em học viên khóa 16 chuyên ngành Toán giảitích Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả

có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thànhluận văn này

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Ngà

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tíchthời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” được hoànthành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kếthừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biếtơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Ngà

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi Fourier 3

1.2 Biểu diễn Wigner 9

1.3 Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn 9

1.4 Không gian biến điệu 19

1.5 Khung Gabor 26

1.6 Không gian Wiener amalgam 29

1.7 Toán tử tích phân Fourier 30

Chương 2 Áp dụng giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân 32

2.1 Hầu chéo hóa toán tử tích phân đối với khung Gabor 32

2.2 Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu 37

2.2.1 Tính liên tục của toán tử tích phân trên Mµp 37

2.2.2 Tính liên tục của toán tử tích phân trên không gian biến điệu M p,q 41

Tài liệu tham khảo 47

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Toán tử tích phân (FIO) là một công cụ toán học để nghiên cứu rộngrãi các bài toán sinh ra trong phương trình đạo hàm riêng Nguồn gốccủa lý thuyết toán tử tích phân là do Peter Lax giới thiệu năm 1957khi nghiên cứu xây dựng hầu khả nghịch của bài toán Cauchy đối vớiphương trình hyperbol, sau đó các nhà toán học đã sử dụng rộng rãi môhình này để biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy, trong cả toán học lýthuyết và toán ứng dụng Đặc biệt, Helffer và Robert đã ứng dụng toán

tử tích phân để nghiên cứu tính chất phổ của một lớp toán tử elliptictoàn cục

Những năm gần đây, nhờ có sự phát triển của lý thuyết giải tích thờigian - tần số mà một số lớp toán tử tích phân được giải hầu chéo hóa

và nghiên cứu trong khung cảnh của không gian biến điệu

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian - tần số vàtoán tử tích phân, những nghiên cứu mới về giải toán tử tích phân trongkhông gian biến điệu, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, tôilựa chọn đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiêncứu toán tử tích phân” làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của giải tíchthời gian - tần số và toán tử tích phân trong không gian biến điệu.+ Hệ thống hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trongnghiên cứu giải phương trình tích phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan về giải tích thời gian - tần số, không gian biếnđiệu và ứng dụng vào toán tử tích phân,

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tíchphân

+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoàinước liên quan đến đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cácbài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn là một tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi sẽ sử dụng một số ký hiệu và khái niệm sau:

1.1 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và

biến đổi Fourier

Ta ký hiệu |t|2 = t · t, với t ∈ Rd và xy = x · y là tích vô hướng trên

Rd Với α = (α1, α2, , αd) , β = (β1, β2, , βd) ∈ Zd+, ta nhắc lại ký hiệu

Dα và Xβ đối với phép lấy vi phân và phép nhân toán tử

Dαf =

dY

j=1

∂αj

tj f và Xβf (t) =

dY

dxj ∧ dξj đối với 2-dạngđối ngẫu

Định nghĩa 1.1 Không gian các hàm giảm nhanh, ký hiệu là S Rd

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:

Dãy {ϕk}∞k=1 trong S Rd
được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S Rd
nếu

lim

k→∞ sup

x∈R n

XαDβϕk(x) − XαDβϕ (x) = 0, ∀α, β ∈ Zd+

Ký hiệu S_ lim

k→∞ϕk = ϕ

Định lý 1.1 Không gian S Rd
là đầy đủ.

Định nghĩa 1.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu bởi

Định lý 1.2 Không gian S0 Rd
là đầy đủ

Chúng ta sử dụng dấu ngoặc hf, gi để ký hiệu mở rộng của tích vôhướng hf, gi = R f (t)g(t)dt trên L2

1 Từ (1.1) ta suy ra fˆ

∞ ≤ kf k1

2 Ta dùng ký hiệu F (f ) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier làmột toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm

3 Nếu f là một tín hiệu, đối với một kĩ sư ω là một tần số và ˆf (ω)được hiểu là biên độ của tần số ω của tín hiệu f Trong vật lý, ω là biếnđộng lượng và

ˆ

f (ω)

VgVγ∗F (u, η) ≤ (|F | ∗ |Vgγ|) (u, η) (1.24)Theo Mệnh đề 1.4 ta thu được đánh giá theo chuẩn

Vg Vγ∗F Lp,q

m ≤ C kF kLp,q

m kVgγkL1 (1.25)

Bởi vì với g, γ ∈ S Rd
, Vgγ giảm nhanh, nên Vgγ ∈ L1v và vế phải của(1.25) là hữu hạn.

Để xác định chuẩn của Vγ∗F trên không gian biến điệu, ta cố địnhhàm cửa sổ chính tắc g0 và thu được

∗

γVgf ∈ Mmp,q

Từ công thức nghịch đảo đối với S0 Rd
ta suy ra ˜f = f

(c) Chứng minh (a) cũng suy ra các chuẩn tương đương Áp dụng(1.25) với g = γ và kgk2 = 1, ta được

m là tương đương trên Mmp,q 

Từ chứng minh của Mệnh đề 1.5 ta dẫn đến một bất đẳng thức quantrọng sau

Bổ đề 1.5 Cho g0, g, γ ∈ S Rd
thỏa mãn hγ, gi 6= 0 và f ∈ S0 Rd
.Khi đó

|Vg0f (x, ω)| ≤ 1

|hγ, gi|(|Vgf | ∗ |Vg0γ|) (x, ω)với mọi (x, ω) ∈ R2d

Chứng minh Áp dụng công thức nghịch đảo

Vg0f = 1

hγ, giVg0Vγ∗(Vgf )

Do đó, từ (1.24) với F = Vgf ta suy ra điều phải chứng minh Định lý 1.6 Giả sử m là v-ôn hòa và cho g, γ ∈ Mv1 {0} Khi đó(a) Vγ∗ bị chặn từ Lp,qm vào Mmp,q và đánh giá (1.21) thoả mãn

(b) Công thức nghịch đảo (1.22) thỏa mãn với f ∈ Mmp,q

(c) kVgf kLp,q

m là một chuẩn tương đương trên Mmp,q.Chứng minh (a) Cho F ∈ Lp,qm , xét ánh xạ γ 7→ Vγ∗F Theo (1.21) nóánh xạ S Rd
vào Mmp,q và thỏa mãn

Để nghiên cứu toán tử tích phân Fourier, hầu hết s? ?dụng trọng đa thức xác định

vs(z) = vs(x, η)... class="page_container" data-page="24">

Với mơ tả định hướng tính chất, sử dụng hàmtrọng mặt phẳng thời gian - tần số Theo v ln hàm

số liên tục, dương, chẵn, v(0) = 1, v(z) = v(−z) v (z1...

e−2πiwtdt (1.7 )Phân phối Wigner chéo biến đổi Fourier thời gian ngắn dạngẩn

1.3 Hàm trọng không gian hỗn hợp chuẩn

Trong mục tìm hiểu không gian hỗn hợp chuẩn(mixed-norm