Dàn thời gian tần số gabor và đồng nhất thức wexler raz (LV01842)

Nócho phép biểu diễn mỗi vectơ trong không gian thành một tổ hợp tuyếntính vô hạn của các vectơ trong khung, tuy nhiên các hệ số biểu diễn làkhông duy nhất.. Các hàm gmα,nβ trong 2 nhận

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN QUỲNH NGA

Hà Nội, 2016

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS NguyễnQuỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thànhluận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Phạm Đình Hùng

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Phạm Đình Hùng

Mở đầu 1

1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert 4

1.2 Một số không gian 6

1.3 Phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier 7

1.4 Khung tổng quát trong không gian Hilbert 9

1.5 Khung Gabor 19

2 Dàn thời gian – tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler – Raz 27 2.1 Hàm đối ngẫu khung 27

2.2 Đồng nhất thức Wexler-Raz 31

2.3 Hàm đối ngẫu Wexler – Raz đồng nhất với hàm đối ngẫu khung 45

2.4 Một chứng minh độc lập 51

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Khung được R.J Duffin và A.C Schaeffer [5] đưa ra chính thức vào năm

1952 Tuy nhiên, phải đến năm 1986, sau bài báo của I Daubechies,

A Grossmann và Y.Meyer [3] thì khung mới được các nhà khoa học quantâm rộng rãi Khung được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu,

xử lý hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết mẫu, lí thuyết mật mã, lí thuyếtlượng tử, Một khung có thể xem như một cơ sở trực chuẩn suy rộng Nócho phép biểu diễn mỗi vectơ trong không gian thành một tổ hợp tuyếntính vô hạn của các vectơ trong khung, tuy nhiên các hệ số biểu diễn làkhông duy nhất Chính nhờ tính chất đó mà khung có nhiều ứng dụngquan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó cho chúng ta tínhbền vững: chất lượng của tín hiệu có thể bị ảnh hưởng ít hơn khi có nhiễutiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ các mẫu có độ chính xác thấp(xem [1]) D Gabor, một nhà vật lí và kĩ sư điện người Hungary, cũng làngười đã nhận giải Nobel về vật lý, năm 1946 trong [6] đã đưa ra ý tưởngkhai triển một hàmf thành một chuỗi của các hàm cơ bản, đươc xây dựng

từ một hàm duy nhất trong L2(R) bằng các phép tịnh tiến và biến điệu

Cụ thể hơn, ông đề xuất khai triển hàm f thành chuỗi

m,n∈Z

cm,ngmα,nβ (1)

trong đó các hàm cơ bản gmα,nβ được định nghĩa bởi

gmα,nβ (t) = g (t − nβ) e−2πimαt, m, n ∈ Z (2)với một hàm cố định g và các tham số dịch chuyển thời gian, tần số

α, β > 0 Các hàm gmα,nβ trong (2) nhận được nhờ dịch chuyển g dọc theomột dàn Λ = βZ× αZ trong mặt phẳng thời gian – tần số Các dàn thời

gian – tần số Gabor{gmα,nβ}m,n∈Z được xác định bởi (2) là công cụ tiềmnăng để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc Vớimong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và dàn thờigian - tần số Gabor nói riêng, được sự đồng ý hướng dẫn của TS NguyễnQuỳnh Nga, tôi quyết định chọn: “Dàn thời gian - tần số Gabor và Đồngnhất thức Wexler - Raz” làm đề tài luận văn cao học của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và dàn thời gian –tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler - Raz

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nắm vững các kiến thức cơ sở bao gồm các tính chất của các toán tửtuyến tính liên tục trên không gian Hilbert, lý thuyết khung tổng quáttrong không gian Hilbert Nghiên cứu dàn thời gian - tần số Gabor vàđồng nhất thức Wexler - Raz

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thứcWexler - Raz Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài

nước liên quan đến dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức

Wexler - Raz

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cậnvấn đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là cácbài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Đóng góp mới của luận văn

Luận văn hy vọng sẽ là một tài liệu tổng quan về dàn thời gian - tần sốGabor và đồng nhất thức Wexler - Raz

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một vài khái niệm, kết quả cơ bản

sẽ dùng trong chương sau Các kết quả này được tham khảo từ các tài liệu[1], [3], [5], [8], [10]

1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert

K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số c > 0 saocho

Ký hiệu B(H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào

K Khi H = K thì B(H, K) được ký hiệu đơn giản là B(H)

Chuẩn của T ∈ B(H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏamãn (1.1) Nói một cách tương đương,

kT k = sup {kT xk : x ∈ H, kxk ≤ 1}

= sup {kT xk : x ∈ H, kxk = 1}

Mệnh đề 1.1.1 Giả sử H, L , K là các không gian Hilbert

Nếu T ∈ B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T∗ ∈ B (K, H) saocho

hT∗x, yi = hx, T yi , (x ∈ K, y ∈ H)

Mệnh đề 1.1.5 Cho X là không gian Banach Nếu U : X → X bịchặn và kI− U k < 1 thì U khả nghịch và U−1 =

Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tích phân) Với mọi

k∈I

xkyk

1.3 Phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier

Cho f ∈ L1(R), biến đổi Fourierfˆđược định nghĩa bởi

Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier củaf làF f NếuL1(R)∩L2(R)

được trang bị chuẩn L2(R), biến đổi Fourier là một phép đẳng cự từ

L1(R) ∩ L2(R) đến L2(R) Nếu f ∈ L2(R) và {fk}∞k=1 là một dãy củacác hàm trong L1(R) ∩ L2(R) và hội tụ đến f trong không gian L2(R),thì dãy

n

ˆ

fko

∞ k=1 cũng hội tụ trong L2(R), tới một giới hạn độc lập với lựachọn của {fk}∞k=1 Bằng cách định nghĩa

ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L2(R) lên

L2(R) Ta sẽ dùng cùng ký hiệu để ký hiệu mở rộng này Đặc biệt, ta cóđẳng thức Plancherel

Bổ đề 1.3.2 Cho f, g ∈ L2 0, 1b
với b > 0 và xét các chuỗi Fourier

1.4 Khung tổng quát trong không gian Hilbert

Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quantrọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử trong không gian nhưmột tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên điềukiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữacác thành phần và đôi khi chúng ta lại yêu cầu các thành phần trực giaotương ứng với một tích vô hướng Điều này làm cho việc tìm khó khănhoặc không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đó là lí dongười ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn

Khung là một công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ đượctrang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gianđược viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cầnthiết

Cho H là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng tuyến tính theothành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai

Định nghĩa 1.4.1 Dãy {fi}∞i=1 trong H được gọi là dãy Bessel nếu

B được gọi là cận Bessel của {fi}∞i=1.

Một dãy Bessel {fi}∞i=1 được gọi là một khung nếu

Vậy ta có định nghĩa khung như sau

Định nghĩa 1.4.2 Một dãy {fi}∞i=1 trong H là một khung nếu tồn tại haihằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho

Khung {fi}∞i=1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parsevalnếu A = B = 1

Mệnh đề 1.4.3 Cho một dãy {fj}mj=1 trong không gian Hilbert hữu hạnchiều V Khi đó {fj}mj=1 là một khung cho span {fj}mj=1 ( span {fj}mj=1 là

ký hiệu của bao tuyến tính của tập {fj}mj=1)

Chứng minh

Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không Như vậy

ta thấy, điều kiện khung trên thỏa mãn với B =

m

P

j=1

kfjk2 Bây giờ lấy

W := span {fj}mj=1 và xem xét ánh xạ liên tục

f

kf k, fj

2 ,12

T

, e3 = 

√ 3

2 ,−12 

T

, {e1, e2, e3} làmột khung chặt H với cận khung là 32

ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek}∞k=1 hai lần ta thu được

{fk}∞k=1 = {e1, e1, e2, e2, } Khi đó {fk}∞k=1 là khung chặt với cận khung

Nếu chỉ e1 được lặp lại thì ta thu được {fk}∞k=1 = {e1, e2, e2, } Khi đó

{fk}∞k=1 là khung với cận A = 1, B = 2 Thật vậy, ta có

f, √1

kek