Áp dụng giải tích thời gian tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân

Bùi Kiên Cường, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức c

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

• • • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGÀ

ÁP DỤNG GIẢI TÍCH THỜI GIAN - TẦN SỐ TRONG

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

2 đã động viên, giúp đỡ để tác giả có điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Bùi Kiên Cường đã định hướng chọn

đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán

tử tích phân” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả

Trong suốt quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Nguyễn Thị Ngà

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả

Nguyễn Thị Ngà

Hầu chéo hóa toán tử tích

phân đối với khung Gabor

Tính liên tục của toán tử tích

phân trên không gian biến

điệu

Tính liên tục của toán tử tích

phân trên M p

Tính liên tục của toán tử tích

phân trên không gian biến

Khung Gabor Không gian Wiener amalgam Toán tử tích phân Fourier Chương 2.

3 2 3 2 3 7

2.1.

2.2.

1.

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Toán tử tích phân (FIO) là một công cụ toán học để nghiên cứu rộng rãi các bài toán sinh ra trong phương trình đạo hàm riêng Nguồn gốc của lý thuyết toán tử tích phân là do Peter Lax giới thiệu năm 1957 khi nghiên cứu xây dựng hầu khả nghịch của bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbol, sau đó các nhà toán học đã sử dụng rộng rãi mô hình này để biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy, trong cả toán học lý thuyết và toán ứng dụng Đặc biệt, Helffer và Robert đã ứng dụng toán tử tích phân để nghiên cứu tính chất phổ của một lớp toán tử elliptic toàn cục

Những năm gần đây, nhờ có sự phát triển của lý thuyết giải tích thời gian - tần số mà một số lớp toán tử tích phân được giải hầu chéo hóa và nghiên cứu trong khung cảnh của không gian biến điệu

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về giải tích thời gian - tần số và toán tử tích phân, những nghiên cứu mới về giải toán tử tích phân trong không gian biến điệu, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài “Áp dụng Giải tích thời gian - tần số trong nghiên cứu toán tử tích phân” làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nắm được những khái niệm cơ bản, những tính chất của giải tích thời gian - tần số và toán tử tích phân trong không gian biến điệu

+ Hệ thống hóa những ứng dụng của giải tích thời gian - tần số trong

nghiên cứu giải phương trình tích phân

5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan về giải tích thời gian - tần số, không gian biến điệu và ứng dụng vào toán tử tích phân,

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: giải tích thời gian - tần số, toán tử tích phân.+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến

6 Đóng góp của đề tài

Luận văn là một tài liệu tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu của đề tài

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi sẽ sử dụng một số ký hiệu và khái niệm sau:

1.1 Không gian hàm khả vi vô hạn giảm nhanh và biến đổi Fourier

6

Ta ký hiệu 11\ 2 = T ■ T, với T e Rd và XY = X ■ Y là tích vô hướng trên

Rd Với A = (cci, A 2 ,Ad), /3 = (/?!, /?2 , A ỉ ) € zị, ta nhắc lại ký hiệu

D A và X 13 đối với phép lấy vi phân và phép nhân toán tử

Định nghĩa 1.1 Không gian các hàm giảm nhanh, ký hiệu là S (Rd) là tập hợp

s ( R d ) = {^r (R d ) 11 X a D p i p ( x ) I < C a>/J , Va; e Va, /3 <E zị }

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:

Dãy trong S (Md) được gọi là hội tụ đến IP € S (Md) nếu

lim sup IX a D ^ i f ỵ (X) — X a D ^ i p (a;)| = 0, Vcc,/3 € zị.

00

7

Ký hiệu S_ lim Ự) K = IP.

k —>00

Định lý 1.1 Không giãn s (M d ) là đầy đủ.

Định nghĩa 1.2 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm, ký hiệu bởi S' (Rd) là không gian đối ngẫu của «S(Má), tức là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rd) với tô pô yếu*

Với / € S' (Md) , <F € S(R D ), ta viết (/, <P) thay cho F(<P) khi nói đến giá trị của phiếm hàm / tại (P.

Định nghĩa 1.3 Dãy {U K }™ = L trong íS'(Md) được gọi là hội tụ về 0 trong S'{Rd) nếu

u k ( ụ J ) — > ■ 0 khi K — > 00 , với mọi IP eKhi đó ký hiệu UỊỊ —^ 0

Định lý 1.2 KHÔNG GIAN S' (Md) là ĐẦY ĐỦ.

Chúng ta sử dụng dấu ngoặc (/, G) để ký hiệu mở rộng của tích vô hướng (/, G) — J Ỉ{T)G{T)DT trên L 2 (lRd) lên S (Md)

X S' (Md)

Nhận xét 1.1

1 Từ (ỊTTĨỊ) ta suy ra / < ỊỊ/||r

00

2 Ta dùng ký hiệu ^r(/) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là một

toán tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm

8

Định nghĩa 1.4 Biến đổi Fourier chuẩn hóa của hàm / € íS(Má) được định nghĩa bởi

(1.1

2 , 2

F(UJ) / F là mật độ xác suất của động lượng Do đó 2

J |/ (co) DUÚ là xác suất của chất điểm trong trạng thái / có động lượng của nó trong miền I c Ká

Bổ đề 1.1 (Riemann - Lebesgue) NẾU F e L 1 (Rd) THÌ / LIÊN TỤC ĐỀU

VÀ lim

|w |—>00

Ký hiệu CQ (Rd) là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu tại vô hạn Khi đó Bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ của biến đổi Fourier như sau

T : ứ (:Rd) -> c 0 (: Rd)

Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểmbởi công thức (1 .1 ), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gian hàm khác Kết quả cơ bản là Định lý Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên cứu sau đây

Định lý 1.3 (Plancherel) Cho f € L 1 n L 2 (R d ) Khi đó

ỉ Biến đổi T mở rộng thành toán tử unita trên L 2 (R d ) vằ thoẩ mãn công thức Paseval

/

/M

=

ký hiệu T 1 (/) được định nghĩa bởi

Định nghĩa 1.6 Cho / € S' (Rd) Biến đổi Fourier của hàm suy rộng /, ký hiệu là

T J là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi

hoặc viết d ư ớ i dạng toán tử T D a = (27XÌỶ^X 01 ? và T X a = (^-)'a'D A T

Định nghĩa 1.7 Biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm suy rộng

/ ẽ S'(Md) đốivới một hàm cửa sổ G G s (Rd) khác khôngđược địnhnghĩa bởi

1.2 Biểu diễn Wigner

Định nghĩa 1.8 Biểu diễn Wigner của một hàm / € L 2 (Kd), ký hiệu là Wig/ và xác định bởi

Biểu diễn Wigner chéo tương ứng của F : G € L 2 (Má) được định nghĩa

bởi

Wig ự,g)(x,w) = J f L + g (x - (1.7)

Phân phối Wigner chéo là một biến đổi Fourier thời gian ngắn ở dạng

1.3 Hàm trọng và không gian hỗn hợp chuẩn

Trong mục này chúng ta tìm hiểu về không gian hỗn hợp chuẩn norm spaces) một lớp mở rộng của các không gian L P (R D ) và là nền tảng để xây dựng không gian hỗn hợp chuẩn có trọng

(mixed-v

1

Định nghĩa 1.9 Cho 1 < P,Q < oo, không gian hỗn hợp chuẩn, ký hiệu L P , Q là tập hợp tất cả các hàm F(X,UJ) đo được Lebesgue trên K2d sao cho

Trong trường hợp P = oo hoặc Q = oo thì chuẩn trên được thay thể bởi chuẩn cốt yếu, nghĩa là ta có

v

1

ll-^lliP,» = esssup ( / \F(X,UJ)\ P DX j .

weKd\J Kd /

Mệnh đề 1.1 Khồng gian L p , q với 1 < p, q < oo vối chuẩn được định

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh với mọi F,G G L P , Q thì

\\F + G\\LP’V - ll-^IL™ + II^IL™ •Thật vậy, với P, Q < oo chúng ta có

Mệnh đề được chứng minh tương tự như chứng minh L P (Rd) là không gian Banach.

Định nghĩa 1.10 [Hàm trọng] Hàm trọng là một hàm khả tích địa phương và không âm trên R2d

Định nghĩa 1.11 Một hàm trọng V trên M2d được gọi là dưới tính nhân (submultiplicative), nếu

2 Trong luận văn này giả thiết rằng V(X,U;) thỏa mãn

v

1

3 Nếu v là một hàm trọng dưới tính nhân bất kì và FP > 0 là hàm số liên tục

có giá compact thì V * ĨỊJ là liên tục và tương đương với V Hơn nữa trọng

Ví dụ 1.3 Những hàm trọng chỉ phụ thuộc vào thời gian hoặc chỉ phụ thuộc vào tần số kiểu

M(X,UJ) = (1 + |x|)s hoặc M(X,UJ) — (1 + M)s

-Bổ đề 1.4 a) Nếu m la một v-ôn hòa, thì ta có

Nếu S > 2D thì tích phân hội tụ và hằng số C S = 2 S + 1 /(1 + IT\)~ S DT.

Định nghĩa 1 .12 Cho M là một hàm trọng trên M2d và 1 < P, Q < 00 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng L^ Q (M 2 D ) gồm tất cả những hàm đo được (Lebesgue) trên

M2d, sao cho chuẩn

||F|| iM = ( [ (í \F(x, uj)\ p m(x, uiỴdx 1 duj 1

v

1

'd

Vậy L^ 9 xác định bởi không gian định chuẩn L P theo X, và một L Q theo 00 Vì hàm

UJ !-»■ lấy giá trị trong L Q nên không gian L™

có thể xem như một không gian L Q với các phần tử thuộc Ư.

Nếu P — Q, thì L™ = L P

M là không gian Ư có trọng thông thường Hơn nữa, L™

(M2d) bao gồm tất cả những hàm / (đo được) thỏa mãn

esssup 1 /(2 )1771 (2 ) < c hay 1 /(2 :)I < CM(Z)~ 1 , X e M2d (1-16) Theo định nghĩa về

chuẩn của toán tử, ta có ll/L«, = supơ với mọi c

771

thỏa mãn (1.16) Mệnh đề sau đây cho thấy không gian L™ cũng có các tính chất tương tự như Ư.

Mệnh đề 1.3 Giả sử m lầ v-ôn hòa và 1 < p, q < 00 thì

Mệnh đề 1.1 ta cũng có L™ là không gian định chuẩn Ta sẽ chứng minh L™ là không gian Banach Giả sử {Ffc}, K = 1, 2 , là dãy Cauchy trong

v

2

L™. Khi đó dãy {MF K }, К = 1 , 2 , là dãy Cauchy trong L P , G Do L P , G là không gian Banach nên tồn tại hàm G G L p , q sao cho lim mFỵ = G

К—Ị oothì F E L P ’ Q Hơn nữa

Áp dụng bất đẳng thức Hổlder trong L P ta có:

[ ( Ị \m(x,u j)F(x,u j ).—7 -o j ) \ d x ) d u )

F ^ C H { F ) = [ F(z)G(z)dz

J R2d

là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên U^. Điều này có được từ

(1.18) Ngược lại, giả sử C là một phiếm hàm tuyến tính tùy ý xác định trên

Lnghĩa là £, e {LFA Q Ỵ Bằng cách chứng minh tương tự như trong không gian

Ư ta cũng suy ra tồn tại G e Ư^J Q ' sao cho

Cự) = [ F(z)G(z)dz.

J R 2 d

Vậy chứng tỏ {L^ 9 Y = Ư^J Q '. Mệnh đề được chứng minh □

Mở rộng quan hệ tích chập sau L 1 * L P c L P cho những không gian hỗn hợp chuẩn và sẽ được sử dụng thường xuyên

Mệnh đề 1.4 a) Nếu m lầ v-ôn hòa, F e Ll(R2d) và G € L^l (R2d) thì

< c s Il-Fvj IIGvJoo (1 + \Z\) S theo (1.13)

Do đó F * G Ễ L£°(M2d) và

(1.20) được chứng minh Mệnh

đề được chứng minh

□

Định nghĩa 1.13 Không gian LỰ = L Q ỈP, với trọng M,

là không gian Banach của các dãy {A M n} , sao cho

hiệu A X B nếu C~ X B < A < CB với c > 0 thích hợp

1.4 Không gian biến điệu

Cố định một hàm Schwartz g Ỷ 0 và xét biến đổi

Fourier thời gian ngắn V g f của hàm / e /S"(Md) đối với

g

-x)e~ 2 ' i '< t dt

với một biểu diễn thời gian - tần số của / cho trước

Không gian biến điệu M P , Q là bao đóng của lớp

Schwartz với chuẩn

Các chuẩn của không gian biến điệu là một độ đo của hàm suy rộng thời gian - tần số của / € S'.

Với sự mô tả định hướng của các tính chất, chúng ta

sử dụng các hàm trọng trên mặt phẳng thời gian - tần

số Theo đó V luôn là một hàm số liên tục, dương, chẵn,

do đó ĩ;(0) = 1, V(Z) = V(—Z) và V (Zị + Z 2 ) < V (zi) V (z 2 ), với mọi Z,ZI,Z 2 G M 2 d Một hàm trọng H dương trên M 2 d là thuộc A4 V ,

nghĩa là, [1 € M2á là V-ÔĨÍ hòa nếu Ự (ZI + S 2 ) < CV (ZI) ỊI (Z 2 ) với mọi ZI,Z 2 G M 2 d

Để nghiên cứu các toán tử tích phân Fourier, hầu hết chúng ta sử dụng các trọng đa thức xác định bởi

V,(Z) = V,(X, RỊ) = (ZỴ = (l + |l| 2 + |l)|2) 1 ,2 = (X, RỊ) 6 RM

Cho hàm cửa sổ G € s (R d ) khác không, /Lí € A 4 V , vầ 1 < p, Q < oo Không gian biến điệu MỲ Q (Rd) bao gồm tất cả các hàm suy rộng ôn hòa / e S ' (Rd) thỏa mãn V g f e L ự (M2 d) (không gian hỗn hợp chuẩn có trọng) Chuẩn trên M^’ Q là

Nếu P = Q, thì ta viết MỊ thay cho MP’ P , và nếu Ịi(z) =

1 trên M2á, thì ta viết M P , Q và M P lần lượt thay cho M*’ Q

(b) Đặc biệt, nếu F = Vgf thì công thức nghịch đảo

(1.22)

thỏa mẫn trong Mịi q Viết gọn lầ I M P ,1 = (7 ,g)

V* Vg.

(M d ) Cấc hàm cửa sổ khấc cho ta các chuẩn

tương đương.

Chứng minh (a) Trước tiên ta chứng tỏ rằng V*F € S'

(Md) Với

<P ẽ s (Md) và áp dụng Bổ đề 1.3 (c), ta có

Biểu thức trên là hữu hạn với N đủ lớn Sử dụng các

nửa chuẩn tương đương ta suy ra rằng biểu thức

V*F = í í

F{

x, uj) M

U J

T x

^d xd

uj

J Ju

2 đ

xác định một hàm suy rộng ôn hòa Do đó, V*F có

biến đối Fourier thời gian ngắn xác định bởi

Bởi vì với G, e s (Rd), VG^Ỵ giảm nhanh, nên VG^Ỵ €

và vế phải của(|l.25|) là hữu hạn

Để xác định chuẩn của V*F trên không gian biến điệu, ta cố định hàm cửa sổ chính tắc G Ữ và thu được11*7/11*™ = \K WF)\U< < C 11*11«, rso7lli;

Bổ đề 1.5 CHO GO,G,J ẽ s (Md) THỎa MÃN {Y,G) ^ 0

và / e S' (M d ) KHI ĐÓ

\V g j{X,U))\ < - ( \Vgf\ *

ịVg^ị) (x,u) với mọi ( X,UJ ) £ R 2d

Chứng minh Áp dụng công thức nghịch đảo

/ = 7~T / Í V g f ( x , u j ) M U J T z d u j d x \7) 9) J JR 2d

đối với S' (Md), ta được

v90v; (V9f).

Do đó, từ (1.24) với F = V g f ta suy ra điều phải chứng minh

Định lý 1.6 GIẢ SỬ M LẦ V-ÔN HÒA và CHO <7 , 7 €E {0} KHI ĐÓ

(a) V* bị chặn từ L p \ q vào Mf r f và đánh giấ (1.21) thoả mãn.

(c) \\V 9 f\\ L P , q lầ một chuẩn tương đương trên M% 9

Chứng minh, (a) Cho F E Lxét ánh xạ 7 !-»• V * F Theo (1.21) nó ánh xạ s

(Rd) vào M%I Q và thỏa mãn

Vì s (Md) trù mật trong nên từ (1.27) suy ra rằng với / € M% 1 Q cố định, ánh xạ G —

>• VGF bị chặn từ MỊ vào L

Chọn hai dãy G N , nE s (R D ) sao cho IIG N - G||M! -> 0 và ||7 „ - 7 ||M! ->•

0 Khi đó theo (a) và (1.27), ta có

Để nhận được hằng số (7 ,G)~ 1 trong công thức nghịch đảo, ta đánh giá

II/II2 = \\9W2 2 Ị [ I VgJ{x,u)\ 2 dxdu

< \\9W2 2 \\VgJW00 í [ \ V g J { x , u j ) \ v { x , u j ) d x d u j (1.28) J J R 2 d

— II í/ II 2

Do đó được nhúng trong L 2 và suy ra (7 N,G N ) —>■ (7 ) Theo Mệnh

đề L5, lấy giới hạn khi n —> 00, ta thu được công thức nghịch đảo

sup £ Kfc| < K U

(1.29

supJ2\a j k \<K 2 (1.30)

k € j

A bị chặn bởi

(b) Giả sử K(x, у ) ỉầ hầm (đo được) trên R 2d thỏa mẫn điều kiện

sup / \K(x,y)\dy < Ki và sup I \K(x,y)\dx < K 2

bị chặn từ Ư (R d ) vào L p (M d ), 1 < p < 00, với biên giống chuẩntoán

< kĩ /p 'k 2 ||c||J

3

Nếu G e M 1 , và khung Gabor ỊT M M N G; ( m , n ) e aZdX /3Zd} là khung

chặtc chuẩn hóa, bất đẳng thức (1.32) vẫn đúng với A = B, thì nó thác

triển thành một khung Banach đối với không gian biến điệu

M P , Q (M2d), với chuẩn tương đương

(f : T m M n g) ĩ

Tương ứng với Ợ(G, A, P) ta định nghĩa toán tử hệ số CG, ánh xạ các hàm

thành các dãy như sau:

:= </.»».«> ("■>.") 6 A (!-33)toán tử tổng hợp

và toán tử khung Gabor

(m,n)e A

Từ (1.32) và (1.34) ta có nhận xét là tập hợp Ợ(G,A,/3) là khung Gabor đối với không gian Hilbert L 2 (Md) nếu SG là toán tử bị chặn và khả nghịch trên L 2 (Rd) Hay, tương đương với CG bị chặn từ L 2 (Md) đến l 2 (aZ d X / 3Z d ) với miền giá trị đóng, nghĩa là, ||/|| L 2 X

||Cg/Hỉ2- Nếu G(G, Qí, /3) là khung Gabor đối với L 2 (Rd), thì hàm cửa sổ đối ngẫu 7 =

S~ L G được xác định và tập hợp ỡ(^ỵ, Qí, /5) là một khung (gọi là khung đối ngẫu chính tắc của Ợ(G,A, /3)) Mọi hàm / € L 2 (Md) đều có khai triển khung

ll^/llp-Kết quả này thu được trong [7] (Mệnh đề 5.2.1) Đặc biệt, nếu 7 = G và

II <7II£2 = 1 thì khung được gọi là khung Gabor chặt chuẩn hóa và biểu