Bao hàm thức vi phân bậc phân số với trễ vô hạn

Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hànội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————————–

NGUYỄN VĂN QUANG

BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN

SỐ VỚI TRỄ VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————– * ———————

NGUYỄN VĂN QUANG

BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ

VỚI TRỄ VÔ HẠN

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đình Kế

Hà Nội, 2012

Lời cảm ơn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS TrầnĐình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quátrình làm luận văn

Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy

cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hànội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt

1, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn

và giúp đỡ tận tình của TS Trần Đình Kế Tôi xin cam đoan sốliệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và khôngtrùng lặp với các đề tài khác Các thông tin trích dẫn, các tài liệutham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Luận văn chưađược công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 7 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Văn Quang

1 Kiến thức chuẩn bị 81.1 Giải tích bậc phân số 81.2 Không gian pha 91.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị 10

2 Bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc phân số 162.1 Tính giải được 162.2 Tính chất của tập nghiệm 35

3

Trong một thập kỷ trở lại đây, lý thuyết phương trình tiến hóa bậcphân số đã có những bước biến mạnh mẽ Đã có rất nhiều kết quả vềtính giải được, dáng điệu nghiệm của những phương trình dạng

cDαu(t) = f (t, u(t)),hay bao hàm thức vi phân dạng

cDαu(t) ∈ F (t, u(t)),trong trường hợp α ∈ (0, 1] hoặc α ∈ (1, 2] Ở đây

cD0αf (t) = 1

Γ(N − α)

Z t 0(t − s)N −α−1f(N )(s)ds

là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo, N là số nguyên dương saocho α ∈ (N − 1, N ]

Các bài toán tương tự với đạo hàm bậc phân số Riemann-Liouvillecũng được nghiên cứu, trong đó đạo hàm Caputo được thay bởi đạohàm Riemann-Liouville:

Cũng giống như với phương trình vi phân thường bậc cao

u(n)(t) = f (t, u(t), u0(t), , u(n−1)(t)),các kết quả về bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát dạng

cDα0u(t) ∈ F (t, ut, ∇Nu)trong đó ∇Nu = (u, u0, , uN −1), ut là trễ, tức trạng thái lịch sử của

u tính đến thời điểm t : ut(s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0], còn ít đượcbiết đến

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,được sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của Tiến sĩ Trần Đình Kế, tôi đãchọn đề tài:

"BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ VỚI TRỄ VÔ

HẠN"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si nửatuyến tính đối với bao hàm thức bậc phân số với trễ vô hạn, tìm điềukiện giải được và tính chất nghiệm của lớp bài toán này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Xác lập điều kiện tồn tại nghiệm và cấu trúc tập hợp nghiệm;+ Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số tổngquát với trễ vô hạn

+ Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện giải được và các tính chất củaánh xạ nghiệm

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, giải tíchbậc phân số và độ đo không compact(MNC)

6 Dự kiến đóng góp mới

Tìm những điều kiện thích hợp đảm bảo giải được của bài toánCô-si đối với bao hàm thức vi phân bậc phân số tổng quát Chứngminh tính ổn định của tập hợp nghiệm theo nghĩa ánh xạ nghiệm lànửa liên tục trên theo tập giá trị ban đầu

Kiến thức chuẩn bị

Ta bắt đầu với một số khái niệm của giải tích bậc phân số Về lịch

sử của các khái niệm này, có thể tham khảo các tài liệu [21], [22], [26],

Tích phân sử dụng trong luận văn được hiểu theo nghĩa tích phânBochner

Định nghĩa 1.2 Với f ∈ CN([0, T ]; E), đạo hàm Caputo bậc α ∈(N − 1, N ] được định nghĩa bởi

CDα0f (t) = 1

Γ(N − α)

Z t 0(t − s)N −α−1f(N )(s)ds

8

Chú ý rằng có một số khái niệm về đạo hàm bậc phân số khácnhau, trong đó hai khái niệm được sử dụng nhiều là đạo hàm Caputo

và đạo hàm Riemann-Liouville Trong các bài toán ứng dụng liên quanđến phương trình vi phân bậc phân số, điều kiện ban đầu thường liênquan đến các đạo hàm nguyên u(0), u0(0), , do đó đạo hàm Caputo

là khái niệm phù hợp vì quá trình cầu phương làm xuất hiện các biểuthức đối với u(0), u0(0), Cụ thể, với u ∈ CN([0, T ]; E), ta có côngthức

C

I0α CDα0u(t) = u(t) −

N −1Xk=0

u(k)(0)k! t

Cho B là một không gian tuyến tính, với nửa chuẩn | · |B, bao gồmcác hàm số từ (−∞, 0] vào E Khái niệm không gian pha B cho cácphương trình với trễ, được đưa ra bởi Hale và Kato (xem [19]), baogồm các tiên đề: Nếu v : (−∞, T ] → E sao cho v|[0,T ] ∈ C([0, T ]; E)

Sau đây là các ví dụ về không gian pha thỏa mãn các tiên đề nêutrên.

(1) Với η > 0, ký hiệu B = Cη là không gian các hàm liên tục

(a) ψ liên tục trên [−r; 0], r > 0;

(b) ψ Đo được Lebesgue trên (−∞; r) và tồn tại hàm không âm

ρ : (−∞; −r) → R+ thỏa mãn ρψ khả tích trên (−∞; r); hơn nữatồn tại hàm bị chặn địa phương P : (−∞; 0] → R+ sao cho, vớimọi ξ ≤ 0, ρ(ξ + θ) ≤ P (ξ)ρ(θ) h.k.n θ ∈ (−∞; −r) Nửa chuẩnxác định bởi

|ψ|B = sup

−r≤θ≤0

kψ(θ)k +

−rZ

−∞

ρ(θ)kψ(θ)kdθ

Một trường hợp đơn giản là ρ(θ) = eµθ, µ ∈ R

Có thể tìm hiểu thêm về không gian pha trong [19]

Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả của giảitích đa trị sẽ sử dụng Giả sử E là không gian Banach Ký hiệu

• P(E) = {A ⊆ E : A 6= ∅},

• Pv(E) = {A ∈ P(E) : A là bị chặn},

• K(E) = {A ∈ P(E) : A là compact},

• Kv(E) = Pv(E) ∩ K(E)

Ta sử dụng khái niệm độ đo không compact sau đây (xem [20]).Định nghĩa 1.3 Cho (A,>) là một tập sắp thứ tự bộ phận Hàm

β : P(E ) → A được gọi là độ đo không compact (MNC) trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ P(E ),trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω Một MNC β được gọi là

i) đơn điệu, nếu Ω0, Ω1 ∈ P(E), Ω0 ⊂ Ω1 kéo theo β(Ω0) 6 β(Ω1);ii) không kỳ dị, nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E , Ω ∈ P(E );iii) bất biến đối với nhiễu compact, nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọitập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ P(E );

Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói rằng β làiv) nửa cộng tính đại số, nếu β(Ω0 + Ω1) 6 β(Ω0) + β(Ω1) vớimỗi Ω0, Ω1 ∈ P(E);

v) chính quy, nếu β(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact tươngđối

Một ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff,thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên:

χ(Ω) = inf{ε : Ω có hữu hạn lưới ε}

Chú ý rằng độ đo không compact Hausdorff cũng thỏa mãn các tínhchất sau:

• nửa thuần nhất: χ(tΩ) 6 |t|χ(Ω) với mỗi Ω ∈ P(E) và t ∈ R;

• trong không gian Banach tách được E, χ(Ω) = lim

m→∞supx∈Ωd(x, Em),trong đó {Em} là dãy các không gian con hữu hạn chiều của Esao cho Em ⊂ Em+1, m = 1, 2, và

∞[m=1

Em = E Giả sử X là một không gian metric

Định nghĩa 1.4 Ánh xạ đa trị F : X → P(E ) được gọi là:

i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F−1(V ) = {x ∈ X : F (x) ⊂ V }

là tập mở của X với mọi tập mở V ⊂ E ;

ii) đóng nếu đồ thị của nó ΓF = {(x, y) : y ∈ F (x)} là tập conđóng của X × E ;

(iii) compact nếu tập ảnh F (X) là compact tương đối trong E ;(iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact A ⊂ X

là compact

Định nghĩa 1.5 Ánh xạ đa trị F : X ⊂ E → K(E ) được gọi lànén ứng với MNC β (β-nén) nếu với mọi tập bị chặn Ω ⊂ X khôngcompact, ta có

Cho β là một MNC đơn điệu, không kỳ dị trong E Ứng dụng củakhái niệm bậc tô-pô cho ánh xạ nén (xem [20]) cho ta các định lý điểmbất động sau đây.

Định lý 1.1 ([20, Corollary 3.3.1]) Giả sử M là một tập lồi, đóng,

bị chặn trong E và F : M → Kv(M) là ánh xạ đa trị u.s.c và β-nén.Khi đó tập các điểm bất động của F , Fix F := {x : x ∈ F (x)} là khácrỗng và compact

Định lý sau đây là một phiên bản của định lý Leray-Schauder cổđiển

Định lý 1.2 ([20, Corollary 3.3.3]) Giả sử UD là một lân cận mở, bịchặn của điểm a ∈ D và F : UD → Kv(D) là ánh xạ u.s.c và β-nén,thỏa mãn điều kiện biên

x − a 6∈ λ(F (x) − a)với mọi x ∈ ∂UD và 0 < λ 6 1 Khi đó Fix F là tập khác rỗng vàcompact

Định nghĩa 1.6 Giả sử G : [0, T ] → K(E) là hàm đa trị và p > 1.Khi đó G được gọi là

• Lp-khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích bậc p theo nghĩa Bochner.Nghĩa là có hàm g : [0, T ] → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp

t ∈ [0, T ] sao cho

Z T 0kg(s)kpEds < ∞;

• Lp-bị chặn, nếu có hàm ξ ∈ Lp([0, T ]) sao cho

kG(t)k := sup{kgkE : g ∈ G(t)} 6 ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ]

Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là SGp.

Hàm đa trị G gọi là đo được nếu G−1(V ) đo được (ứng với độ

đo Lebesgue trên J := [0, T ]) với mỗi tập mở V của E Ta nói G

là đo được mạnh nếu có một dãy các hàm bậc thang Gn : [0, T ] →K(E), n = 1, 2, sao cho

limn→∞H(Gn(t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, T ],

trong đó H là khoảng cách Hausdorff trên K(E)

Ta biết rằng, khi E là không gian tách được, ta có các khẳng địnhsau tương đương (xem [20]):

gn(t) = G(t)với hầu khắp t ∈ [0, T ];

4 G là đo được mạnh

Ngoài ra, nếu G đo được và Lp-bị chặn, thì nó Lp-khả tích Nếu G

là Lp-khả tích trên [0, d] với p ≥ 1, thì G cũng L1-khả tích Khi đó, ta

, ∀t ∈ [0, d].

Ước lượng theo độ đo (χ-ước lượng, χ là MNC Hausdorff), tương

tự như trong [20, Định lý 4.2.3] sẽ được sử dụng

Bổ đề 1.1 Giả sử E là không gian Banach tách được và G : [0, d] →P(E) là Lp-khả tích, Lp-bị chặn sao cho

χ(G(t)) 6 q(t)với khầu khắp t ∈ [0, d], q ∈ Lp+([0, d]) Khi đó

χ

Z t 0G(s)ds

6

Z t 0q(s)dsvới mọi t ∈ [0, d] Nói riêng, nếu G : [0, d] → K(E) đo được và Lp-bịchặn thì hàm χ(G(·)) khả tích và,

χ

Z t 0G(s)ds

6

Z t 0χ(G(s))dsvới mọi t ∈ [0, d]

Bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc phân số

trong đó N ≥ 1 là số nguyên dương, α ∈ (N − 1, N ], u : (−∞, T ] → E

là ẩn hàm, CDα là ký hiệu đạo hàm Caputo, ∇Nu = (u, u0, , u(N −1))

và F : [0, T ] × B × EN → P(E) là hàm đa trị với giá trị lồi, compact

Ở đây P(E) ký hiệu tập tất cả các tập con khác rỗng của E, B làkhông gian pha chứa trễ và ut ∈ B là trạng thái lịch sử của hàm u tínhđến thời điểm t, tức là ut(s) = u(t + s) với s ∈ (−∞, 0] Dữ kiện banđầu U0 = (eu0,ue1, ,ueN −1) được cho trong EN và hàm ϕ ∈ B được chothỏa mãn điều kiện ϕ(0) =ue0

16

Xét hàm phi tuyến đa trị F : [0, T ] × B × EN → Kv(E) trong bàitoán (2.1)-(2.3).

Định nghĩa 2.1 Ta nói rằng F thỏa mãn điều kiện Carathéodorynếu

1 hàm F (., ζ, U ) : [0, T ] → Kv(E) có hàm chọn đo được mạnh vớimỗi (ζ, U ) ∈ B × EN, và

2 hàm F (t, , ) : B × EN → Kv(E) là nửa liên tục trên với hầukhắp t ∈ [0, T ]

Hàm F được gọi là Lp-bị chặn địa phương nếu với mỗi r > 0, tồn tạihàm ωr ∈ Lp([0, T ]) sao cho

kF (t, ζ, U )k = sup{kzkE : z ∈ F (t, ζ, U )} 6 ωr(t)

với mọi (ζ, U ) ∈ B × EN thỏa mãn |ζ|B + kU kEN 6 r

Ký hiệu CE(−∞, T ) là không gian tuyến tính bao gồm các hàm

u : (−∞, T ] → E thỏa mãn điều kiện

u0 ∈ B và u|[0,T ] ∈ CN −1([0, T ]; E),với nửa chuẩn

kukCE(−∞,T ) = |u0|B + kukCN −1 ([0,T ];E).Với u ∈ CE(−∞, T ), xét hàm hợp đa trị

ΦF : [0, T ] → Kv(E), ΦF(t) = F (t, ut, ∇Nu(t))

Theo các tiên đề về không gian pha, ta có t 7→ ut ∈ B là hàm liên tục.Hơn nữa, hàm ∇Nu : [0, T ] → EN cũng liên tục Vậy ΦF là Lp-khả tích

nếu F thỏa mãn điều kiện Carathéodory và Lp-bị chặn địa phương.

Chứng minh khẳng định này tương tự như trong [20, Định lý 1.3.5]

Từ đó, ta có thể định nghĩa trên CE(−∞, T ) hàm PF xác định bởi

PF(u) = {φ ∈ Lp(0, T ; E) : φ(t) ∈ F (t, ut, ∇Nu(t)) với hầu khắp t ∈ [0, T ]}

Ta có khẳng định sau đây về tính đóng yếu của PF, chứng minh tương

tự như [20, Bổ đề 5.1.1]

Bổ đề 2.1 Giả sử {un} là một dãy trong CE(−∞, T ) hội tụ đến

u∗ ∈ CE(−∞, T ) và dãy {φn} ⊂ Lp(0, T ; E), φn ∈ PF(un) hội tụ yếu

đến φ∗ Khi đó φ∗ ∈ PF(u∗)

Trong phần tiếp theo, giả sử E là một không gian Banach tách

được Ta đưa ra khái niệm nghiệm yếu của bài toán (2.1)-(2.3), dựa

trên công thức (1.2), như sau:

Định nghĩa 2.2 Với τ ∈ (0, T ], hàm u ∈ CE(−∞, τ ) gọi là một

nghiệm yếu của bài toán (2.1)-(2.3) trong khoảng (−∞, τ ] nếu nó thỏa

tkk!uek + 1

Γ(α)

Z t 0(t − s)α−1φ(s)ds với t ∈ [0, τ ],trong đó φ ∈ PF(u)

Ta giả thiết hàm đa trị F trong bài toán (2.1)-(2.3) có các tính

chất sau:

(F1) F : [0, T ] × B × EN → Kv(E) thỏa mãn điều kiện Carathéodory;

!

6 k(t) ψ(Q) +

N −1Xj=0χ(Ωj)

!,

Nhận xét 2.1 Trong trường hợp E = Rm, điều kiện (F 3) suy ra

từ (F 2) Thật vậy, điều kiện Lp-bị chặn cục bộ của F suy ra tập

F (t, Q,QN −1

j=0 Ωj) bị chặn trong Rm với hầu khắp t ∈ [0, T ], và do đó

nó là tập compact tương đối

Nếu dim(E) = +∞, thì điều kiện sau đây sẽ suy ra (F 3):

tkk!uek nếu 0 6 t 6 τ,

Trước tiên ta chứng minh một số tính chất của S mà ta sẽ sử dụng

để nghiên cứu các tính chất quan trọng của toán tử G Xét họ cáctoán tử Sj : Lp(0, τ ; E) → C([0, τ ]; E), j = 0, 1, , N − 1 :, xác địnhnhư sau:

(2.9)Mệnh đề 2.1 Các toán tử Sj, j = 0, 1, , N − 1 có các tính chất sau:(S1) Tồn tại các hằng số Cj > 0, j = 0, 1, , N − 1, sao cho

kSj(ξ)(t)−Sj(η)(t)kpE 6 Cjp

Z t 0kξ(s)−η(s)kpEds, ξ, η ∈ Lp(0, τ ; E);

(S2) Với mỗi tập compact K ⊂ E và dãy {ξn} ⊂ Lp(0, τ ; E) sao cho

{ξn(t)} ⊂ K với hầu khắp t ∈ [0, τ ], nếu ξn * ξ0 (hội tụ yếu) thì

Γ(α − j)

hZ t 0(t − s)(α−j−1)p/(p−1)ds

ip−1p hZ t

0kξ(s) − η(s)kpEds

i1p.Khi đó

kSj(ξ)(t) − Sj(η)(t)kpE 6 Cjp

Z t 0kξ(s) − η(s)kpEds,với

Cj =

h p − 1(α − j)p − 1

ip−1p Tα−j−1p

Γ(α − j).Chú ý rằng (α − j)p − 1 > 0, j = 0, , N − 1 do p > α−N +11

(ii) Để chứng minh (S2), không làm mất tính tổng quát, giả sử

{ξn(t)} ⊂ E0 với mọi t ∈ [0, τ ], trong đó E0 = spK là không gian

Banach tách được Hơn nữa, {Sj(ξn)(t)} ⊂ E0 với mọi t ∈ [0, τ ] và

j = 0, 1, , N − 1 Từ đó, áp dụng Bổ đề 1.1 ta được

χ ({Sj(ξn) (t)}) ≤ 1

Γ(α − j)

Z t 0(t − s)α−j−1χ({ξn(s)})ds = 0

Do vậy, dãy {Sj(ξn)(t)}∞n=1 ⊂ E là compact tương đối với mọi t ∈ [0, τ ]

Z t 1

0(t1 − s)α−j−1ξn(s)dskE

Do {ξn(s)} ⊂ K với hầu khắp s ∈ [0, τ ], vế phải của bất đẳng thứctrên tiến tới 0 khi t2 → t1 đều theo n Vậy {Sj(ξn)} là tập liên tụcđồng bậc Từ định lý Arzela-Ascoli, ta có dãy {Sj(ξn)} ⊂ C([0, τ ]; E)

là tập compact

Tính chất (S1) đảm bảo rằng mỗi toán tử Sj : Lp(0, τ ; E) →C([0, τ ]; E), j = 0, , N − 1, là tuyến tính bị chặn Khi đó chúngliên tục theo sự hội tụ yếu, tức là nếu ξn * ξ0 thì Sj(ξn) * Sj(ξ0).Chú ý rằng {Sj(ξn)} là tập compact tương đối, ta có thể kết luận rằng

Sj(ξn) → Sj(ξ0) (hội tụ mạnh) trong C([0, τ ]; E)

Ta có mệnh đề sau (chứng minh nó sử dụng lý luận trong chứngminh của [20, Định lý 4.2.1, Hệ quả 4.2.1, Chú ý 4.2.1 và 4.2.2]).Mệnh đề 2.2 Giả sử dãy {ξn} ⊂ Lp(0, τ ; E) là Lp-bị chặn tích phân:

kξn(t)kE 6 ν(t), với mọi n = 1, 2, và khầu khắp t ∈ [0, τ ],

ở đó ν ∈ Lp(0, τ ) Giả sử rằng

χ({ξn(t)}) 6 q(t)

với hầu khắp t ∈ [0, τ ], với q ∈ Lp(0, τ ) Khi đó với mọi δ > 0 tồn tạitập compact Kδ ⊂ E, tập mδ ⊂ [0, τ ], meas(mδ) < δ và một dãy hàm

Gδ ⊂ Lp(0, τ ; E) với giá trị trong Kδ, sao cho với mọi n > 1 tồn tại

bn ∈ Gδ thỏa mãn

kξn(t) − bn(t)kE 6 2q(t) + δ, t ∈ [0, τ ]\mδ.Hơn nữa, có thể chọn dãy {bn} sao cho bn = 0 trên mδ và dãy này làcompact yếu

Sử dụng kết quả này, ta sẽ chứng minh mệnh đề:

Mệnh đề 2.3 Cho dãy {ξn} ⊂ Lp(0, τ ; E) thỏa mãn các điều kiệncủa Mệnh đề 2.2 Khi đó ta có

χ({Sj(ξn)(t)}) 6 2Cj

Z t 0

|q(s)|pds

1p, j = 1, , N − 1,với mỗi t ∈ [0, τ ]

Chứng minh Ta sẽ dựa vào kỹ thuật chứng minh của [20, Định lý4.2.2] với một chút thay đổi phù hợp Với mỗi  > 0, chọn δ ∈ (0, )sao cho với mọi m ⊂ [0, τ ], với meas(m) < δ, ta có

Zm

|ν(s)|pds < 

Lấy mδ và {bn} ứng với {ξn} từ Mệnh đề 2.2, sử dụng Mệnh đề 2.1 ta

có, dãy {Sj(bn)}, j = 0, , N −1 compact tương đối trong C([0, τ ]; X)