Bài toán cô-si với bao hàm thức tiến hoá bậc cao

Do vậy người ta đặt vấn đề xây dựng một giải thức suyrộng cho các phương trình bậc cao, tương tự như nửa nhóm đối vớiphương trình bậc nhất để nghiên cứu tính giải được của các bài toánli

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————————–

NGUYỄN VĂN ĐIỂN

BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨC

TIẾN HÓA BẬC CAO

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————– * ———————

NGUYỄN VĂN ĐIỂN

BÀI TOÁN CÔ-SI VỚI BAO HÀM THỨC TIẾN HÓA BẬC CAO

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Đình Kế

Hà Nội, 2012

Lời cảm ơn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS TrầnĐình Kế đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trong suốt quátrình làm luận văn

Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy

cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hànội 2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt

2, những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn

và giúp đỡ tận tình của TS Trần Đình Kế Tôi xin cam đoan sốliệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và khôngtrùng lặp với các đề tài khác Các thông tin trích dẫn, các tài liệutham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Luận văn chưađược công bố trên bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào

Hà Nội, tháng 9 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Văn Điển

Mục lục

1.1 Họ giải thức 91.2 Không gian pha 131.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén 14

3 Ứng dụng giải thức suy rộng cho phương trình tiến hóa

liên quan chặt chẽ với việc A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, ởđây hàm trạng thái u lấy giá trị trong một không gian Banach X nào

đó Để nghiên cứu tính đặt đúng của các bài toán với phương trình viphân bậc cao, ví dụ

(CP 2)

(

u00(t) + Au0(t) + Bu(t) = 0, t > 0u(0) = ξ, u0(0) = η,

người ta tìm cách đưa nó về hệ phương trình bậc nhất để có thể ápdụng các kết quả của lý thuyết nửa nhóm Tuy nhiên công việc nàykhông phải bao giờ cũng thực hiện được bởi sau khi chuyển về hệbậc nhất, toán tử ma trận không có các tính chất đủ tốt để sinh ranửa nhóm Do vậy người ta đặt vấn đề xây dựng một giải thức suyrộng cho các phương trình bậc cao, tương tự như nửa nhóm đối vớiphương trình bậc nhất để nghiên cứu tính giải được của các bài toánliên quan Các kết quả đối với bài toán tuyến tính tổng quát có thểtìm thấy trong các tài liệu [38]

Cho đến nay, vì lý do kỹ thuật, các kết quả đối với bài toán nửatuyến tính còn ít được biết đến, nhất là đối với bài toán Cô-si với baohàm thức vi phân bậc cao Với kỳ vọng tiếp cận một vấn đề nghiêncứu của toán học hiện đại, tôi chọn đề tài:

"Bài toán Cô-si đối với bao hàm thức tiến hóa bậc cao"

Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si tổng quátvới bao hàm thức vi phân bậc cao có trễ vô hạn dựa trên các kết quả

về giải thức suy rộng đã được thiết lập cho phương trình tuyến tính

Mục đích nghiên cứu

Áp dụng lý thuyết giải thức suy rộng để tìm điều kiện tồn tại nghiệmcho các bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao Trong đóchú trọng đến lớp bài toán (CP2)

Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý thuyết giải thức suy rộng cho phương trình vi phântuyến tính bậc cao

2 Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị

3 Tìm điều kiện giải được cho các bài toán Cô-si nửa tuyến tính.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình và bao hàm thức vi phânbậc cao

• Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, cấu trúc tập hợp nghiệmcủa bài toán Cô-si đối với phương trình và bao hàm thức vi phânbậc cao

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, lý thuyết nửanhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact (MNC)

Dự kiến đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo

Xác lập các điều kiện đủ cho tính giải được của một lớp bài toán đốivới bao hàm thức vi phân bậc cao Một số vấn đề đặt ra cho nhữngnghiên cứu tiếp theo:

1 Sự tồn nghiệm tuần hoàn của bài toán: nghiệm có tính chấtu(0) = u(T );

2 Sự tồn tại nghiệm ràng buộc của bài toán: nghiệm có tính chấtu(t) ∈ K, ∀t ∈ [0, T ], trong đó K là một tập đóng trong khônggian pha;

3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Bài toán tổng quát

Xét bài toán Cô-si với phương trình vi phân bậc cao:

u(N )(t) +

N −1Xi=0

quát hóa khái niệm nửa nhóm liên tục bằng cách xây dựng khái niệmnửa nhóm tích phân (xem [2, 3, 6, 23, 30, 36]) và nửa nhóm chínhquy hóa (xem [8, 38]), để nghiên cứu nhiều lớp bài toán tổng quát liênquan đến phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai, trong đó các toán

tử Ai không nhất thiết phải xác định trù mật (như trường hợp nửanhóm liên tục) Chúng tôi xin giới thiệu các công trình có liên quanđến luận văn bao gồm [8, 9, 18, 21, 27, 32, 33, 39] Sau đó, một kháiniệm tổng quát hóa của nửa nhóm tích phân và nửa nhóm chính quyhóa được giới thiệu trong [10, 11] được gọi là họ giải thức và khái niệm

mở rộng của nó được xây dựng trong [40] Trong [10], tác giả đưa ramột ví dụ để minh chứng sự hạn chế của cả hai khái niệm nửa nhómtích phân và nửa nhóm chính quy hóa Cụ thể, với một số lớp phươngtrình, toán tử Ai không sinh ra nửa nhóm tích phân cũng như nửanhóm chính quy hóa, đặc biệt trong trường hợp Ai có dạng ma trậncác toán tử Lý do là nửa nhóm tích phân đòi hỏi toán tử sinh phải

có tập giải khác rỗng, trong khi nửa nhóm chính quy hóa đòi hỏi một

số tính chất giao hoán mà toán tử dạng ma trận không thể đáp ứng

Sử dụng khái niệm họ giải thức trong [40], ta sẽ chứng minh tínhgiải được của bài toán (1.1)-(1.3) với các điều kiện thích hợp áp đặtlên hàm phi tuyến F thông qua độ đo không compact (MNC) Cáchtiếp cận của chúng tôi là sử dụng lý thuyết điểm bất động cho ánh

xạ đa trị nén Kỹ thuật này được phát triển trong [22] Ngoài ra, ứngdụng của giải tích đa trị cho việc nghiên cứu các bao hàm thức viphân có thể tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 16, 20, 24]

Có thể nói rằng bài toán với phương trình vi phân có trễ vô hạnnhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học (xem[19, 26, 14, 15, 28, 29, 32] và các tài liệu liên quan) Thông thường,trạng thái lịch sử của hệ được xem xét trong không gian pha, xác địnhbởi hệ tiên đề đề xuất bởi Hale và Kato (xem [17])

đồ thị

kxk[D(A)] = kxk + kAxk, x ∈ D(A)

Ký hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính bị chặn trên X.Với B ∈ L(X), ta ký hiệu [R(B)] là không gian Banach R(B) vớichuẩn

kxk[R(B)] = inf{kyk : By = x}

Với hằng số dương ω, ta nói G ∈ LTω− L(X) nếu G : (ω, ∞) → L(X)

và tồn tại hàm liên tục H : [0, ∞) → L(X), kH(t)k = O(eωt) sao chovới mọi λ > ω, ta có

G(λ)x =

Z ∞ 0

λiAi, Rλ = Pλ−1

nếu toán tử ngược tồn tại

Giả sử E0 ∈ L(X) là một đơn ánh Ta nhắc lại khái niệm E0-họgiải thức đã trình bày trong [40]

Định nghĩa 1.1 Một họ các toán tử tuyến tính liên tục {E(t)}t>0 ⊂L(X) được gọi là một E0-họ giải thức đối với tập các toán tử (Ai)N −1i=0nếu với mọi x ∈ X, t > 0, ta có E(·)x ∈ CN −1((0, ∞); X), E(i−1)(t)x ∈D(Ai), AiE(i−1)(·)x ∈ C((0, ∞); X), i = 0, , N − 1, và

E(t)x +

N −1Xi=0

Ai

Z t 0

(t − s)n−i−1(n − i − 1)!E(s)xds =

tN −1(N − 1)!E0x,trong đó

Ví dụ về họ giải thức có thể xem trong [40] Ở đây, ta nhắc lạimối liên quan giữa họ giải thức với nửa nhóm tích phân và nửa nhómchính quy hóa trong trường hợp N = 1 (xem [10]).

Giả sử C ∈ L(X) là một đơn ánh, A là toán tử tuyến tính đóngtrên X sao cho CA ⊂ AC Khi đó ta định nghĩa C-tập giải của A nhưsau

ρC(A) = {λ ∈ C : (λI − A) là đơn ánh,

Các tính chất của nửa nhóm tích phân bậc r, C-chính quy hóa cóthể xem trong [10, 38] Chú ý rằng, nếu r ∈ N, λ0 ∈ ρI(A), thì A làphần tử sinh của nửa nhóm tích phân bậc r nếu và chỉ nếu A là phần

tử sinh của nửa nhóm (λ0I − A)−r-chính quy hóa (xem [38, Theorem1.6.7]) Khẳng định sau đây cho ta mối liên hệ giữa họ giải thức vànửa nhóm chính quy hóa

Định lý 1.1 ([10]) Giả sử {W (t)}t>0 là một nửa nhóm C-chínhquy hóa, sinh bởi A Nếu R0tW (s)xds ∈ D(A) với t > 0, x ∈ X thì{W (t)}t>0 là một C-họ giải thức của A

Điều kiện đảm bảo sự tồn tại của E0-họ giải thức đối với tập toán

tử (Ai)N −1i=0 được trình bày trong định lý sau

Định lý 1.2 ([40]) Giả sử các toán tử Ai, i = 0, , N − 1, là đóng

và Pλ là đơn ánh với λ > ω Khi đó tập các toán tử (Ai)N −1i=0 có một

E0-họ giải thức {E(t)}t>0 ⊂ L(X) thỏa mãn

kE(N −1)(t)k, kAiE(i−1)(s)k 6 Meωt, i = 0, , N − 1,

nếu và chỉ nếu R(E0) ⊂ R(Pλ) và

λN −1RλE0, λi−1AiRλE0 ∈ LTω − L(X), i = 1, , N − 1 (1.4)Với 0 6 k 6 N − 1, ta kí hiệu

Dk = {x ∈

k

\j=0D(Aj) : Ajx ∈ R(E0) for all 0 6 j 6 k} (1.5)Xét bài toán thuần nhất tương ứng với (1.1) - (1.3)

u(N )(t) +

N −1Xi=0

Aiu(i)(t) = 0, t > 0, (1.6)

u(i)(0) = ui, i = 1, , N − 1, u(0) = u0 = ϕ(0) (1.7)

ta có kết quả sau về tính giải được của nghiệm cổ điển, tức là hàmu(·) ∈ CN((0, ∞); X) sao cho u(i)(t) ∈ D(Ai), t > 0, 0 6 i 6 N − 1,thỏa mãn (1.6)-(1.7)

Định lý 1.3 ([40]) Giả sử tồn tại một E0-họ giải thức {E(t)}t>0 đốivới tập toán tử (Ai)N −1i=0 , khi đó với u0 ∈ D0, , uN −1 ∈ DN −1, bài toán(1.6)-(1.7) có một nghiệm cho bởi

u(t) =

N −1Xi=0

"

tii!ui −

iXj=0

Z t 0

(t − s)i−j(i − j)! E(s)vijds

#, t > 0,

trong đó vij ∈ X là các phần tử sao cho

kuik +

iXj=0

kAjuik[R(E0)]

!(1.8)với mọi t > 0 và 0 6 k 6 N − 1

1.2 Không gian pha

Cho B là một không gian tuyến tính, với nửa chuẩn | · |B, bao gồmcác hàm số từ (−∞, 0] vào E - không gian Banach Khái niệm khônggian pha B cho các phương trình với trễ, được đưa ra bởi Hale vàKato (xem [19]), bao gồm các tiên đề: Nếu v : (−∞, T ] → E sao chov|[0,T ] ∈ C([0, T ]; E) và v0 ∈ B, thì

(B1) vt ∈ B với mọi t ∈ [0, T ];

(B2) hàm t 7→ vt liên tục trên [0, T ];

(B3) |vt|B 6 K(t) sup{kv(s)kE : 0 6 s 6 t} + M (t)|v0|B, trong đó

K, M : [0, T ] → [0, ∞), K là hàm liên tục, M là hàm bị chặn, cảhai hàm này không phụ thuộc v

Sau đây là các ví dụ về không gian pha thỏa mãn các tiên đề nêutrên

(1) Với η > 0, ký hiệu B = Cη là không gian các hàm liên tục

(2) (Không gian "giảm nhớ") Giả sử 1 6 p < +∞, 0 6 r < +∞ và

g : (−∞, −r] → R là hàm không âm, đo được xác định trên (−∞, −r)

Ký hiệu CLpg là họ các hàm số ϕ : (−∞, 0] → Xsao cho ϕ liên tụctrên [−r, 0] và g(θ)kϕ(θ)kpX ∈ L1(−∞, −r) Nửa chuẩn trong CLpg chobởi

Có thể tìm hiểu thêm về không gian pha trong [19]

1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén

Trong mục này, ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả của giải tích

đa trị sẽ sử dụng Có thể xem chi tiết trong các công trình [4, 5, 7,

16, 20, 22, 24]

Giả sử Y là một không gian Banach Ký hiệu

• P(Y ) = {A ⊂ Y : A 6= ∅},

• P v(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là lồi},

• K(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là compact},

• Kv(Y ) = K(Y ) ∩ P v(Y ),

• C(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A là đóng},

• P b(Y ) = {A ∈ P(Y ) : A bị chặn}

Ta sử dụng định nghĩa sau đây về độ đo không compact (xem [22]).Định nghĩa 1.3 Cho (A,>) là một tập sắp thứ tự bộ phân Hàm

β : P(E) → A được gọi là độ đo không compact (MNC) trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ P(E),trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω Một MNC β được gọi là

i) đơn điệu, nếu Ω0, Ω1 ∈ P(E), Ω0 ⊂ Ω1 kéo theo β(Ω0) 6 β(Ω1);ii) không kỳ dị, nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mọi a ∈ E, Ω ∈ P(E);iii) bất biến đối với nhiễu compact, nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọitập compact tương đối K ⊂ E và Ω ∈ PE);

Nếu A là một nón trong không gian định chuẩn, ta nói rằng β làiv) nửa cộng tính đại số, nếu β(Ω0 + Ω1) 6 β(Ω0) + β(Ω1) vớimỗi Ω0, Ω1 ∈ P(E);

v) chính quy, nếu β(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact tuơngđối

Một ví dụ quan trọng về MNC là độ đo không compact Hausdorff,thỏa mãn tất cả các tính chất nêu trên:

χ(Ω) = inf{ε : Ω có lưới ε hữu hạn}

Độ đo không compact Hausdorff thỏa mãn tất cả các tính chất trongđịnh nghĩa nêu trên, đồng thời, nó có thêm các tính chất sau:

• nếu L là một toán tử tuyến tính bị chặn trong E, thì χ(LΩ) 6kLkχ(Ω);

• trong không gian tách được E, χ(Ω) = lim

m→∞supx∈Ωd(x, Em), trong

đó {Em} là họ các không gian con hữu hạn chiều của E sao cho

Em ⊂ Em+1, m = 1, 2, và

∞[m=1

Em = E

Giả sử X là một không gian metric

Định nghĩa 1.4 Ánh xạ đa trị F : X → P(E) được gọi là:

i) nửa liên tục trên (u.s.c) nếu F−1(V ) = {x ∈ X : F (x) ⊂ V }

là tập mở của X với mọi tập mở V ⊂ E;

ii) đóng nếu đồ thị của nó ΓF = {(x, y) : y ∈ F (x)} là tập conđóng của X × E;

(iii) compact nếu tập ảnh F (X) là compact tương đối trong E;(iv) tựa compact nếu hạn chế của nó trên các tập compact A ⊂ X

là compact

Định nghĩa 1.5 Ánh xạ đa trị F : X ⊂ E → K(E) được gọi lànén ứng với MNC β (β-nén) nếu với mọi tập bị chặn Ω ⊂ X khôngcompact, ta có

β(F (Ω)) 6= β(Ω)

Giả sử D ⊂ E là một tập con lồi, đóng của E và UD là một tậpkhác rỗng, mở trong D Ta định nghĩa UD và ∂UD là bao đóng và biêncủa UD theo tô-pô trong D

Cho β là một MNC đơn điệu, không kỳ dị trong E Ứng dụng củakhái niệm bậc tô-pô cho ánh xạ nén (xem [22]) cho ta các định lý điểmbất động sau đây

Định lý 1.4 ([22, Corollary 3.3.1]) Giả sử M là một tập lồi, đóng,

bị chặn trong E và F : M → Kv(M) là ánh xạ đa trị u.s.c và β-nén.Khi đó tập các điểm bất động của F , Fix F := {x : x ∈ F (x)} là khácrỗng và compact

Định lý sau đây là một phiên bản của định lý Leray-Schauder cổđiển

Định lý 1.5 ([22, Corollary 3.3.3]) Giả sử UD là một lân cận mở, bịchặn của điểm a ∈ D và F : UD → Kv(D) là ánh xạ u.s.c và β-nén,thỏa mãn điều kiện biên

x − a 6∈ λ(F (x) − a)với mọi x ∈ ∂UD và 0 < λ 6 1 Khi đó Fix F là tập khác rỗng vàcompact

Định nghĩa 1.6 Giả sử G : [0, T ] → K(E) là hàm đa trị và p > 1.Khi đó G được gọi là

• Lp-khả tích, nếu nó có hàm chọn khả tích bậc p theo nghĩa Bochner.Nghĩa là có hàm g : [0, T ] → E, g(t) ∈ G(t) với hầu khắp

t ∈ [0, T ] sao cho

Z T 0kg(s)kpEds < ∞;

• Lp-bị chặn, nếu có hàm ξ ∈ Lp([0, T ]) sao cho

kG(t)k := sup{kgkE : g ∈ G(t)} 6 ξ(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ]

Tập các hàm chọn khả tích bậc p của G được ký hiệu là SGp

Hàm đa trị G gọi là đo được nếu G−1(V ) đo được (ứng với độ

đo Lebesgue trên J := [0, T ]) với mỗi tập mở V của E Ta nói G

là đo được mạnh nếu có một dãy các hàm bậc thang Gn : [0, T ] →K(E), n = 1, 2, sao cho

limn→∞H(Gn(t), G(t)) = 0 với hầu khắp t ∈ [0, T ],

trong đó H là khoảng cách Hausdorff trên K(E)

Ta biết rằng, khi E là không gian tách được, ta có các khẳng địnhsau tương đương (xem [22]):

1 G là đo được;

2 với tập đếm được trù mật {xn} của E, hàm ϕn : [0, T ] → R, địnhnghĩa bởi

gn(t) = G(t)với hầu khắp t ∈ [0, T ];

4 G là đo được mạnh

Ngoài ra, nếu G đo được và Lp-bị chặn, thì nó Lp-khả tích Nếu G

là Lp-khả tích trên [0, d] với p ≥ 1, thì G cũng L1-khả tích Khi đó, ta

, ∀t ∈ [0, d]

Định nghĩa 1.7 Ta nói rằng hàm đa trị G : [0, T ] × X × B → K(X)thỏa mãn điều kiện Carathéodory nếu

1 hàm G(., η, ζ) : [0, T ] → K(X) là đo được mạnh với mỗi (η, ζ) ∈

Φ : [0, T ] → K(X), Φ(t) = G(t, u(t), ut)

Theo định nghĩa không gian pha, ta có t 7→ ut ∈ B là một hàm liêntục Do đó Φ là khả tích Phần chứng minh có thể xem trong [22, Định

lí 1.3.5]

Vậy, với τ ∈ (0, T ], ta có thể định nghĩa hàm hợp

PG(u) := SΦ1 = {φ ∈ L1(0, τ ; X) : φ(t) ∈ G(t, u(t), ut) for a.e t ∈ [0, τ ]}

CX(−∞, τ ) hội tụ về u∗ ∈ CX(−∞, τ ) Giả sử dãy {φn} ⊂ L1(0, τ ; X),

φn ∈ PG(un) hội tụ yếu về φ∗, khi đó φ∗ ∈ PG(u∗)

Chương 2

Bài toán tổng quát

Ký hiệu X0 = [R(E0)] ⊂ X Xét hàm đa trị F : [0, T ] × X × B →Kv(X0) cho trong bài toán (1.1)-(1.3) Do E0 là đơn ánh, ta có thểđịnh nghĩa hàm đa trị F0 : [0, T ] × X × B → Kv(X) như sau

ψ(Q) = sup

θ60

là mô-đun không compact theo phân thớ của Q

Nhận xét 2.1 Trong trường hợp X = Rm, điều kiện (F 3) suy ra từ(F 2) Thật vậy, điều kiện bị chặn tích phân suy ra tập F0(t, Ω, Q) bịchặn trong Rm với hầu khắp t ∈ [0, T ] và do đó nó là tiền compact.Nếu dim(X) = +∞, thì một trường hợp riêng đảm bảo cho (F 3)được thỏa mãn là:

F0(t, , ) : X × B → Kv(X)liên tục tuyệt đối với hầu khắp t ∈ [0, T ], tức là, F0(t, , ) biến các tập

bị chặn trong X × B thành tập compact tương đối trong X