Nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số (LV01640)

Trần Đình Kế, luận văntốt nghiệp “Nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp hàm bao thức vi phân cấp phân số” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thântác giả và không trùng vớ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đình Kế

HÀ NỘI, 2015

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Thọ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đình Kế, luận văntốt nghiệp “Nghiệm phân rã theo thời gian của một lớp hàm bao thức

vi phân cấp phân số” được hoàn thành bởi sự nhận thức của chính bản thântác giả và không trùng với bất kỳ luận văn nào khác

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 08 tháng 07 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Thọ

Mục lục

1.1 Giải tích bậc phân số 41.2 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén 7

3.1 Nghiệm phân rã 193.2 Áp dụng 27

Mở đầu

1.Lý do chọn đề tài

Chúng ta nghiên cứu bài toán sau trong một không gian Banach X

D0αBu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t 6= tk, tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (0.1)

∆u(tk) = Ik(u(tk)), (0.2)

u(0) = g(u), (0.3)

ở đâyDα0, α ∈ (0, 1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo,Avà B là nhữngtoán tử tuyến tính, đóng và không bị chặn trongX,Λ ⊂N,∆u(tk) = u(t+k)−u(t−k).Các hàm F, g và Ik là các hàm cho trước

Phương trình kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong các công trình của Barenblat

và các cộng sự [5], ở đó các tác giả là những người đầu tiên đưa ra một mô hìnhdòng chảy của chất lỏng trong môi trường đá nứt, đó là phương trình

∂t(u − ∂x2u) − ∂x2u = 0.

Mô hình này sau đó được phát triển và nghiên cứu trong các bài báo [7, 26] khi

đó các tác giả đã xét phương trình phi tuyến trừu tượng

d

dtBu(t) − Au(t) = f (t, u(t))

trong không gian Banach, với A và B là các toán tử không bị chặn Gần đây,khi giải tích bậc phân số trở thành một công cụ hữu dụng để miêu tả các hiệntượng vật lí khác nhau như dòng chảy trong môi trường rỗ thủng, các dao động

và điều khiển (xem, chẳng hạn [17, 24, 27]), phương trình vi phân bậc phân số

đã được đề xuất thay thế cho các phương trình vi phân bậc nguyên trong các

mô hình này Một số lớp phương trình vi phân bậc phân số kiểu Sobolev đãthu hút nhiều nghiên cứu trong vài năm gần đây Có thể kể đến các công trình[3, 4, 15, 19, 25], ở đó một số kết quả về sự tồn tại và điều khiển được đã đượcthiết lập

Liên quan tới hệ (0.1)-(0.3), ánh xạ phi tuyến đa trị F hình thành từ nhiềubài toán khác nhau, trong đó có bài toán chính quy hóa phương trình vi phânthường với vế phải không liên tục ([16]), các bất đẳng thức vi biến phân ([29]),các bài toán điều khiển phản hồi ([21]), Điều kiện xung trong (0.2) là mộthiệu ứng xuất hiện khi hàm trạng thái chịu sự thay đổi đột ngột, hiện tượngnày thường xuất hiện trong sinh học và kĩ thuật Điều kiện không cục bộ trong(0.3) lần đầu tiên được nghiên cứu trong [10], cho phép mô tả dữ kiện đầu vàotốt hơn các điều kiện ban đầu so với các bài toán Cauchy cổ điển Trong ứngdụng, điều kiện không cục bộ thường có các dạng sau

k(s)u(s)ds, b > 0, k là một hàm thực.

Một vấn đề quan trọng liên quan tới bài toán (0.1)-(0.3) là câu hỏi về dáng điệucủa các nghiệm khi thời giant lớn Chú ý rằng lý thuyết tập hút toàn cục (xem[11]) không thể áp dụng với bài toán này vì thiếu tính chất nửa nhóm của toán

tử nghiệm Ngoài ra, sử dụng hàm Lyapunov để phân tích sự ổn định của cácnghiệm là không thực tế do những khó khăn trong tính toán và ước lượng đạohàm bậc phân số, thậm chí ngay cả trong trường hợp hữu hạn chiều Bởi những

lí do trên, kết quả về dáng điệu nghiệm với các phương trình vi phân bậc phân

số khi thời gian lớn ít được biết đến Trong một số bài báo gần đây [12, 22, 23],các tác giả đã nghiên cứu một số mô hình phương trình vi phân bậc phân sốnửa tuyến tính trong các không gian Banach bao gồm các điều kiện không cục

bộ và các hiệu ứng xung, ở đó sự tồn tại các nghiệm phân rã được chứng minhbằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co Cách tiếp cận này được giới thiệu bởiBurton và Furumochi [8, 9] để nghiên cứu tính ổn định cho các bài toán phươngtrình vi phân thường và phương trình vi phân hàm Tuy nhiên, kĩ thuật dùngtrong [12, 22, 23] không sử dụng được trong bài toán các hàm phi tuyếnF, g và

Ik không có giả thiết Lipschitz

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết bao hàm thức vi phân bậcphân số, tôi chọn vấn đề "Nghiệm phân rã theo thời gian của một lớpbao hàm thức vi phân cấp phân số" cho đề tài nghiên cứu của luận văn.Các kết quả được trình bày dựa trên công trình (0.2)

Trong luận văn này, chúng tôi chứng minh bài toán (0.1)-(0.3) có một tậpcompact các nghiệm phân rã trongPC([0, +∞); X) Để làm được việc đó, chúngtôi xây dựng một độ đo không compact chính quy (MNC), gọi là χ∗ trên một

không gian con đóng của PC([0, +∞); X), sau đó chỉ ra rằng toán tử nghiệm đatrị liên kết với (0.1)-(0.3) là χ∗-nén.

Luận văn được trình bày trong ba chương Chương 1 bao gồm các kiến thứcchuẩn bị liên quan đến giải tích bậc phân số và độ đo không compact Chương 2trình bày tính giải được của bài toán (0.1)-(0.3) trên các đoạn compact Chương

3 sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm phân rã và trình bày một ví dụ áp dụng

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính giải được trên đoạn compact và sự tồn tại nghiệm phân rã khi

t → ∞ của hệ (0.1)-(0.3) Chứng minh chi tiết các kết quả trong các công trình[18, 22]

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tìm hiểu về độ đo không compact;

2 Tìm hiểu về giải tích bậc phân số;

3 Nghiên cứu tính giải được của hệ trên đoạn compact;

4 Nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm phân rã khi t → ∞ của hệ

4.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiêu cứu: Bao hàm thức vi phân bậc phân số suy biến

• Phạm vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tại nghiệm trên đoạn compact và điềukiện tồn tại nghiệm phân rã

5.Dự kiến đóng góp mới

Chứng minh chi tiết các kết quả trong các công trình [18, 22]

6.Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:

• Giải tích đa trị, giải tích bậc phân số, độ đo không compact;

• Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén

(t − s)α−1f (s)ds,

ở đó Γ là hàm Gamma, với điều kiện tích phân hội tụ

Định nghĩa 1.2 Cho hàm f ∈ CN([0, T ]; X), đạo hàm Caputo bậc phân số cấp

α ∈ (N − 1, N ) được định nghĩa

Dα0f (t) = 1

Γ(N − α)

Z t 0

(t − s)N −α−1f(N )(s)ds.

Chú ý rằng có nhiều khái niệm về đạo hàm bậc phân số, trong đó định nghĩacủa Riemann-Liouville và Caputo được sử dụng rộng dãi Nhiều bài toán ứngdụng, biểu diễn bởi phương trình vi phân bậc phân số, đòi hỏi các điều kiện đầu

u(0), u0(0), , và đạo hàm Caputo bậc phân số thỏa mãn các điều kiện xác định.Xét bài toán (1.1)-(1.3)

Dα0Bu(t) = Au(t) + f (t), t 6= tk, tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (1.1)

∆u(tk) = Ik(u(tk)), (1.2)

u(0) = g(u). (1.3)Giả thiết rằng D(B) ⊂ D(A), B là song ánh và có ánh xạ ngược bị chặn Ápdụng biến đổi Laplace cho phương trình (1.1), ta được

1 Γ(1 − α)BL[(·)

−α ∗ u0](λ) = AL[u](λ) + L[f ](λ),

với I là toán tử đồng nhất xác định trên X.

Cho {T (t)} là C0- nửa nhóm sinh bởi AB−1. Thế {T (t)} vào (1.4), ta được

BL[u](λ) =λα−1

Z ∞ 0

e−λαsT (s)Bu(0)ds + λα−1

Z ∞ 0

e−λαsT (s)BX

k∈Λ

e−λtk Ikds +

Z ∞ 0

e−λαsT (s)L[f ](λ)ds.

Do đó

L[u](λ) =λα−1

Z ∞ 0

B−1e−λαsT (s)Bu(0)ds + λα−1

Z ∞ 0

B−1e−λαsT (s)BX

k∈Λ

e−λtk Ikds +

Z ∞ 0

Z t 0

(t − s)α−1Pα(t − s)f (s)ds, t > 0, (1.6)

ở đâySα(t)và Pα(t)được gọi là các toán tử nghiệm đặc trưng cho bởi công thức

Sα(t)x =

Z ∞ 0

B−1φα(θ)T (tαθ)xdθ,

Pα(t)x = α

Z ∞ 0

B−1θφα(θ)T (tαθ)xdθ,

với φα là hàm phân bố xác suất xác định trên (0, ∞), nghĩa là, φα(θ) ≥ 0 và

Cho {U (t)}t≥0 là một họ các toán tử bị chặn trên X Ta nói U (·) liên tục theochuẩn nếu và chỉ nếu t 7→ U (t) là liên tục trên (0, ∞) Nếu U (t) ∈ L(X) là mộttoán tử compact với mỗi t > 0 thì U (·) gọi là compact

Bổ đề 1.1 Cho T (·) làC0-nửa nhóm sinh bởiAB−1.Nếu T (·) bị chặn đều, nghĩa

Bổ đề 1.2 Giả sử rằng Φ thỏa mãn các điều kiện sau:

(Φ1) Tồn tại một hàm ρ ∈ Lq(J ), q > 1 sao cho kΦ(t, s)k ≤ ρ(t − s) với mọi

Φ(t, s)g(s)ds

biến một tập bị chặn bất kì thành một tập liên tục đồng bậc, ở đây q0 là liên hợp

q (q0 = +∞ nếu q = 1)

Định nghĩa

Qα : Lp([0, T ]; X) → C([0, T ]; X),

Qα(f )(t) =

Z t 0

(t − s)α−1Pα(t − s)f (s)ds. (1.7)

Sử dụng hai bổ đề cuối, ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.3 Nếu nửa nhóm T (·) sinh bởi AB−1 bị chặn đều và liên tục theochuẩn, thì toán tử Qα xác định bởi (1.7) biến một tập bị chặn bất kì trong

Kv(E) = {B ∈ K(E) : B là tập lồi}.

Chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa độ đo không compact (xem [21])

Định nghĩa 1.3 Một hàm β : Pb(E) → R+ được gọi là một độ đo khôngcompact (MNC) trên E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ Pb(E),

với co Ω là bao lồi đóng của Ω Một MNC β được gọi là

i) đơn điệu nếu Ω0, Ω1 ∈ Pb(E), Ω0 ⊂ Ω1 thì β(Ω0) ≤ β(Ω1);

ii) không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi a ∈ E, Ω ∈ Pb(E);

iii) bất biến theo miền với tập compact nếuβ(K ∪Ω) = β(Ω)với mọi tập compacttương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb(E);

iv) nửa đại số cộng tính dưới nếu β(Ω0+ Ω1) ≤ β(Ω0) + β(Ω1) với mỗi Ω0, Ω1 ∈

Pb(E);

v) chính quy nếu β(Ω) = 0 thì tương đương với compact tương đối của Ω

Một ví dụ quan trọng của MNC là độ đo không compact Hausdorff MNC

χ(·), nó được định nghĩa như sau, với Ω ∈ Pb(E) đặt

χ(Ω) = inf{ε > 0 : Ωcó một hữu hạn ε-lưới}.

ChoT ∈ L(E), hayT là toán tử tuyến tính bị chặn trên E Ta có thể định nghĩachuẩn χ của T như sau

kT kχ = inf{β > 0 : χ(T (B)) ≤ β · χ(B)với mọi B ∈ Pb(E)}. (1.8)Như đã biết (xem [21])

• kT k χ = χ(T (B 1 )) với B 1 là hình cầu đơn vị trong E

• kT kχ ≤ kT kL(E)

• kT kχ = 0 khi và chỉ khi T là một toán tử compact

Ta cần một số kết quả sau, nó là một ước lượng MNC Việc chứng minh có thểxem trong [21]

w n (s)ds}) ≤ 2

Z t 0

D(s)ds) ≤ 4

Z t 0

q(s)ds,

ở đây

Z t 0

D(s)ds = {

Z t 0

ξ(s)ds : ξ ∈ D}.

Chúng ta phải sử dụng một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị Cho

Y là một không gian metric

Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ nhận giá trị đa trị (ánh xạ đa trị) F : Y → P(E)

iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F (y)} là một tập con đóng của Y × E;

iv) compact nếu F (Y ) là compact tương đối trong E;

v) tựa compact nếu hạn chế trên mọi tập con compact A ⊂ Y là compact

Bổ đề sau là một nguyên lý để kiểm tra khi nào ánh xạ đa trị là nửa liên tụctrên (nửa liên tục trên yếu)

Bổ đề 1.6 ([21], Định lí 1.1.12) Cho G : Y → P(E) là một ánh xạ đa trị đóngtựa compact với giá trị compact Khi đó G là nửa liên tục trên

Bổ đề 1.7 ([6], Mệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và Ω là một tậpcon khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử rằng G : Ω → P(X) làmột ánh xạ đa trị nhận giá trị lồi, compact yếu Khi đó G là nửa liên tục trên yếunếu và chỉ nếu {xn} ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn) suy ra yn * y0 ∈ G(x0),theo một dãy con

Chúng ta nhắc lại một số khái niệm của ánh xạ đa trị nén ([21])

Định nghĩa 1.5 Một ánh xạ đa trị F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là nén theomột MNC β (β-nén) nếu với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ Z, từ

β(Ω) ≤ β(F (Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω

Cho β là một MNC không suy biến, đơn điệu trong E Áp dụng lí thuyếtbậc tô pô cho các ánh xạ nén (xem, chẳng hạn [1, 21]) thu được nguyên lí điểmbất động sau đây, chúng sẽ được dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bàitoán (0.1)-(0.3)

Định lí 1.8 ([21, Hệ quả 3.3.1]) Cho M là một tập con đóng, lồi, bị chặn của

E và cho F : M → Kv(M) là một ánh xạ đa trị β-nén và nửa liên tục trên Khi

đó tập các điểm bất động Fix(F ) := {x ∈ F (x)} là một tập khác rỗng và compact

Chương 2

Tính giải được trên các đoạn

compact

Cho trước T > 0, ta định nghĩa PC([0, T ]; X) không gian các hàm u : [0, T ] → X

thỏa mãn u là liên lục trên[0, T ]\{tk : k ∈ Λ} và với mỗitk ∈ [0, T ], k ∈ Λ, tồn tại

• χ(D(t)) ≤ χPC(D), với mọi t ∈ [0, T ], ở đây D(t) := {x(t) : x ∈ D}

• Nếu D là một tập liên tục đồng bậc trên mỗi nửa khoảng (tk, tk+1] ⊂ [0, T ],thì

1 Ánh xạ đa trị F (·, v) thừa nhận một hàm chọn với mỗi v ∈ X và ánh

xạ đa trị F (t, ·) là nửa liên tục trên với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n;

2 Tồn tại các hàm m ∈ Lp(0, T ), p > α1 và ΨF là hàm không giảm và liêntục, nhận giá trị thực, thỏa mãn

(I) Toán tử Ik : X → D(B) thỏa mãn:

1 BIk : X → X liên tục và tồn tại một hàm không giảm, liên tục, nhậngiá trị thực ΨI và một dãy không âm {lk}k∈Λ thỏa mãn

kBIk(x)kX ≤ lkΨI(kxk), với mọi x ∈ X, k ∈ Λ;

2 Tồn tại một dãy không âm {µk}k∈Λ thỏa mãn

χ(BIk(D)) ≤ µkχ(D),

với mọi tập con bị chặn D ⊂ X;

3 Dãy {tk}k∈Λ thỏa mãn infk∈Λ{tk+1− tk} > 0

Với u ∈ PC([0, T ]; X), ta định nghĩa

PFp(u) = {f ∈ Lp(0, T ; X) : f (t) ∈ F (t, u(t))}.

Xuất phát từ công thức (1.6), chúng ta đưa ra định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1 Một hàm u ∈ PC([0, T ]; X) được gọi là một nghiệm tích phâncủa bài toán (0.1)-(0.3) trên đoạn[0, T ]nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm f ∈ PFp(u)

thỏa mãn

u(t) = Sα(t)Bg(u) + X

0<t k <t

Sα(t − tk)BIk(u(tk)) +

Z t 0

 Z t 0

Để ước lượng kết quả của sự tồn tại nghiệm, ta cần một số tính chất của PFp

Bổ đề 2.1 Dưới các giả thiết của (F), ánh xạ đa trị PFp hoàn toàn được xácđịnh và nửa liên tục trên yếu

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh tính nửa liên tục trên yếu nhờ sử dụng

Bổ đề 1.7 Lấy {un} ⊂ PC([0, T ]; X) thỏa mãn un → u∗, fn ∈ PFp(un) Ta thấyrằng{fn(t)} ⊂ C(t) := F (t, {un(t)}), vàC(t)là một tập compact với mọi t ∈ (0, T )

h.k.n Thêm vào đó, bởi (F)(2), {fn} là khả tích bị chặn (bị chặn bởi một hàmkhả tích Lp) Ta được {fn} là compact yếu trên Lp(0, T ; X) (xem [13]) Lấy

fn * f∗ Khi đó từ mệnh đề Mazur (xem [14]), có efn ∈co{fi : i ≥ n} thỏa mãne

fn → f∗ trong Lp(0, T ; X) và từ đó efn(t) → f∗(t) với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n, theo

một dãy con Vì F nhận giá trị compact, tính nửa liên tục trên của F (t, ·) cónghĩa là

với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n Vì  là tùy ý, chúng ta thu được f∗ ∈ PFp(u∗)

Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng với mỗi v ∈ PC([0, T ]; X), PFp(v) 6= ∅ Từ điềukiện (I)(3), ta thấy có nhiều nhất hữu hạn số tk ∈ [0, T ] Nên ta có thể tìm mộtdãy hàm bậc thang {vn} mà nó hội tụ đều tới v trên [0, T ] Từ đó với mỗi n tồntại một hàm đo được mạnh fn thỏa mãn fn(t) ∈ F (t, vn(t)), do điều kiện (F)(1).Nghĩa là, {f n (t)} ⊂ C(t), với C(t) = F (t, {v n (t)}) là một tập compact, nhờ tínhliên tục trên của F (t, ·) Sử dụng lí luận tương tự như phần trên, ta có {f n }

compact yếu trongLp(0, T ; X)và fn * f ∈ Lp(0, T ; X)và f (t) ∈ F (t, v(t)) với mọi

t ∈ (0, T ) h.k.n Hay f ∈ PFp(v) Bổ đề được chứng minh xong

Bổ đề 2.2 Với các giả thiết (A) và (F), hợp thành

(t − s)α−1P α (t − s)f n (s)ds



≤ 2

Z t 0

(t − s)α−1kPα(t − s)kχ({fn(s)})ds = 0,

theo Mệnh đề 1.4 Áp dụng Mệnh đề 1.3, {Qα(fn)} là liên tục đồng bậc Nêntheo định lí Arzela - Ascoli, ta thu được tính compact tương đối của {Qα(fn)}.

Vì fn(t) → f∗(t) với mọi t ∈ (0, T ) h.k.n, ta có Qα(fn) → Qα(f∗) Nên từ (2.3) tasuy ra

z∗(t) =

Z t 0

(t − s)α−1Pα(t − s)f∗(s)ds = Qα(f∗)(t),

với mọi t ∈ [0, T ], với f∗∈ PFp(u∗), vậyz∗ ∈ Qα◦ PFp(u∗)

Bước 2: Qα◦ PFp là một ánh xạ đa trị tựa compact Cho K ⊂ PC([0, T ]; X)

là một tập compact và {zn} ⊂ Qα ◦ PFp(K) Ta cần chứng minh {zn} compacttương đối trongC([0, T ]; X), và từ đó trongPC([0, T ]; X) Lấy {uk} ⊂ Kthỏa mãn

z n ∈ Q α ◦ PFp(u n ) Khi đó ta có thể giả thiết u n → u∗ trong PC([0, T ]; X) theomột dãy con Đặt fn ∈ PFp(un) thỏa mãn zn(t) = Qα(fn)(t), với mọi t ∈ [0, T ]

Vì {fn(s)} ⊂ F (s, {un(s)}), nên {fn(s)} là compact tương đối với mọi s ∈ (0, T )

h.k.n Do đó {Qα(fn)(t)} là một tập compact với mọi t ∈ [0, T ] Thêm vào đó,

{Qα(fn)} là liên tục đồng bậc do Mệnh đề 1.3, bởi vậy {zn} compact tương đốitrong C([0, T ]; X)

Kết hợp Bước 1, Bước 2 và Bổ đề 1.6 ta được điều phải chứng minh

Bổ đề 2.3 Cho các giả thiết (A), (F), (G) và (I) được đặt đúng Khi đó toán

Với z1, z2∈ F1(D), tồn tại u1, u2 ∈ D thỏa mãn

(t − s)α−1P α (t − s)PFp(D)(s)ds

≤ 4

Z t 0

(t − s)α−1χ Pα(t − s)PFp(D)(s)
ds. (2.6)