Phương trìn h kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong các công trìn h của B arenblat và các cộng sự [5], ở đó các tác giả là những người đầu tiên đưa ra một mô hình dòng chảy của chất lỏng tr
Trang 3Hà Nội, ngày 08 tháng 07 n ăm 2015
T á c g iả
N g u y ễ n V ă n T h ọ
Trang 5M ục lục
1.1 Giải tích bậc p hân s ố 41.2 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị n é n 7
2 T í n h g iả i được t r ê n c á c đ o ạ n c o m p a c t 10
3.1 Nghiệm p hân r ã 193.2 Áp dụng 27
Trang 6ở đây D0, a e (0,1), là đạo hàm bậc p hân số theo nghĩa C aputo, A và B là những toán tử tuyến tính, đóng và không bị chặn trong X , A c N , Ait(íjfc) = u(t£) — u(t^) Các hàm F, g và lỵ là các hàm cho trước.
Phương trìn h kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong các công trìn h của B arenblat
và các cộng sự [5], ở đó các tác giả là những người đầu tiên đưa ra một mô hình dòng chảy của chất lỏng trong môi trường đá nứt, đó là phương trình
Mô hình này sau đó được p h á t triển và nghiên cứu trong các bài báo [7, 26] khi
đó các tác giả đã xét phương trìn h phi tuyến trừ u tượng
trong không gian Banach, với A và B là các toán tử không bị chặn Gần đây,
khi giải tích bậc p hân số trở th à n h m ột công cụ hữu dụng để miêu t ả các hiện tượng vật lí khác n hau như dòng chảy trong môi trường rỗ thủng, các dao động
và điều khiển (xem, chẳng hạn [17, 24, 27]), phương trìn h vi phân bậc p hân số
đã được đề x u ấ t thay thế cho các phương trìn h vi p hân bậc nguyên trong các
mô hình này Một số lớp phương trìn h vi phân bậc p hân số kiểu Sobolev đã
th u hút nhiều nghiên cứu trong vài năm gần đây Có thể kể đến các công trình
[3, 4, 15, 19, 25], ở đó m ột số kết quả về sự tồn tại và điều khiển được đã được
th iết lập
dị{u - d ị u ) - dịu = 0.
dt —Bu(t) — A u ( t ) = ))
1
Trang 7Liên quan tới hệ (0.1)-(0.3), ánh xạ phi tuyến đa trị F hình th à n h từ nhiều
bài toán khác nhau, trong đó có bài toán chính quy hóa phương trìn h vi phân thường với vế phải không liên tục ([16]), các b ấ t đẳng thức vi biến p hân ([29]), các bài toán điều khiển p hản hồi ([21]), Điều kiện xung trong (0.2) là một hiệu ứng x u ấ t hiện khi hàm trạ n g th á i chịu sự th a y đổi đột ngột, hiện tượng này thường x u ấ t hiện trong sinh học và kĩ th u ậ t Điều kiện không cục bộ trong (0.3) lần đầu tiên được nghiên cứu trong [10], cho phép mô t ả dữ kiện đầu vào
tố t hơn các điều kiện ban đầu so với các bài toán Cauchy cổ điển Trong ứng dụng, điều kiện không cục bộ thường có các dạng sau
Một vấn đề quan trọng liên quan tới bài toán (0.1)-(0.3) là câu hỏi về dáng điệu
của các nghiệm khi thời gian t lớn Chú ý rằng lý thuyết tậ p hút toàn cục (xem
[11]) không thể áp dụng với bài toán này vì thiếu tín h chất nửa nhóm của toán
tử nghiệm Ngoài ra, sử dụng hàm Lyapunov để p hân tích sự ổn định của các nghiệm là không thực tế do những khó khăn trong tín h toán và ước lượng đạo hàm bậc p hân số, th ậ m chí ngay cả trong trường hợp hữu hạn chiều Bởi những
lí do trên, kết quả về dáng điệu nghiệm với các phương trìn h vi phân bậc phân
số khi thời gian lớn ít được biết đến Trong một số bài báo gần đây [12, 22, 23], các tác giả đã nghiên cứu m ột số mô hình phương trìn h vi p hân bậc phân số nửa tuyến tính trong các không gian Banach bao gồm các điều kiện không cục
bộ và các hiệu ứng xung, ở đó sự tồ n tại các nghiệm p hân rã được chứng minh bằng cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co Cách tiếp cận này được giới thiệu bởi
B urto n và Furumochi [8, 9] để nghiên cứu tín h ổn định cho các bài toán phương trìn h vi phân thường và phương trìn h vi p hân hàm Tuy nhiên, kĩ th u ậ t dùng
trong [12, 22, 23] không sử dụng được trong bài toán các hàm phi tuyến F,g và
I k không có giả th iết Lipschitz.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết bao hàm thức vi phân bậc phân số, tôi chọn vấn đề " N g h i ệ m p h â n r ã t h e o t h ờ i g i a n c ủ a m ộ t lớp
b a o h à m t h ứ c v i p h â n c ấ p p h â n số" cho đề tà i nghiên cứu của luận văn Các kết quả được trìn h bày dựa trên công trìn h (0.2)
Trong luận văn này, chúng tôi chứng m inh bài toán (0.1)-(0.3) có m ột tậ p
compact các nghiệm phân rã trong VC([ữ, + o o );X ) Để làm được việc đó, chúng
tôi xây dựng m ột độ đo không compact chính quy (MNC), gọi là X * trên một
771
u ( 0 ) = UQ + ^ 2 C ị u ( t i ) , C i e R , t ị > 0 ,
i= 1
u(0) = Uo + ■ k(s)u(s)ds, b > 0, k là m ột hàm thực.
Trang 8không gian con đóng của VC([0, +0 0) ; X ) , sau đó chỉ ra rằng toán tử nghiệm đa
t r ị l i ê n k ế t v ớ i ( 0 1 ) - ( 0 3 ) l à X * - Qé n
Luận văn được trìn h bày trong ba chương Chương 1 bao gồm các kiến thức chuẩn bị liên quan đến giải tích bậc phân số và độ đo không compact Chương 2 trìn h bày tính giải được của bài toán (0.1)-(0.3) trên các đoạn compact Chương
3 sẽ chứng minh sự tồn tạ i nghiệm p hân rã và trìn h bày một ví dụ áp dụng
2.M ục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được trên đoạn compact và sự tồn tại nghiệm phân rã khi
[18, 22]
3.N h iệm vụ n ghiên cứu
1 Tìm hiểu về độ đo không compact;
2 Tìm hiểu về giải tích bậc phân số;
3 Nghiên cứu tính giải được của hệ trên đoạn compact;
4 Nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm p hân rã khi t -> 00 của hệ
• Đối tượng nghiêu cứu: Bao hàm thức vi p hân bậc phân số suy biến
• P h ạ m vi nghiên cứu: Điều kiện tồn tại nghiệm trên đoạn com pact và điều kiện tồn tạ i nghiệm phân rã
5.D ự kiến đóng góp mới
Chứng minh chi tiết các kết quả trong các công trìn h [18, 22]
6.P hư ơng pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng m ột số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:
• Giải tích đa trị, giải tích bậc p hân số, độ đo không compact;
• Lý thuyết điểm b ấ t động cho ánh xạ nén
3
Trang 9Chương 1
K iến thức chuẩn bị
Cho L1(0, T \ X ) là không gian các hàm khả tích trên [0,T], theo nghĩa Bochner.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.1 Tích phân bậc phân số cấp a > 0 của hàm số f e L1(0 ,T ;X )
được định nghĩa bởi
ở đó r là hàm Gamma, với điều kiện tích phân hội tụ.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2 Cho hàm ỉ e C-^QO,T];X ) , đạo hàm Caputo bậc phân số cấp
a £ (N - 1, N ) được định nghĩa
Chú ý rằng có nhiều khái niệm về đạo hàm bậc p hân số, trong đó định nghĩa của Riemann-Liouville và C aputo được sử dụng rộng dãi Nhiều bài toán ứng dụng, biểu diễn bởi phương trìn h vi p hân bậc phân số, đòi hỏi các điều kiện đầu
Xét bài toán (1.1)-(1.3)
Giả thiết rằng D (B ) c D(A), B là song ánh và có ánh xạ ngược bị chặn Áp
dụng biến đổi Laplace cho phương trìn h (1.1), t a được
= í (t - s ) a - í ỉ { s ) d s
r ( a ) J ữ
D q B u ( ì ) = Au ( t ) + f ( t ) , t Ỷ t k , h € (0, + o o ), k € A,
A u ( t k ) = I k ( u( t k )), u(0) = g(u).
( 1.1)
(1.2)(1.3)
— i — B £ [ ( ) - “ * U'](A) = ^ [ « ] ( A ) + m ( A),
r ( l - a)
Trang 10do D q U = — y(-) a * u', ở đây c là kí hiệu biến đổi Laplace của hàm nhận
giá trị vector Suy ra
^ 1 _ B [ A £ [ « ] ( A ) - e~ xtkh - «(0)] = AC[u]{\ ) + £ [ / ] ( A).
fceA
Bởi vậy
BC[u}{\) =Xa~ 1(XaI - A B ~ l )~l B u{0)
+ A“_1(A“ 7 - A B ~ l )~l B 5 ^ e~MkI k + (XaI - A B ~ l )~l C[ĩ]{X), (1.4)
k e A
với I là toán tử đồng n h ấ t xác định trên X.
Cho {T(í)} là Co- nửa nhóm sinh bởi A B ~ l Thế {T(í)} vào (1.4), t a được
BC[ u \ { \ ) = A Q“ 1 í e - xasT ( s ) B u ( 0 ) d s
-'0Aa-1 / e- ^ sT ( s ) B ' Y ^ e~MkI kds + / e~xasT(s)C[f](X)ds.
Sử dụng lí luận như [15], t a th u được
Trang 11với ậa là hàm p hân bố xác suất xác định trên (0,oo), nghĩa là, </>a(ớ) > 0 và / 0°° ậa(6)dQ = 1 Hơn nữa, ậa có biểu diễn
Cho {U(t)}t> 0 là m ột họ các toán tử bị chặn trên X Ta nói [/(•) liên tục theo
chuẩn nếu và chỉ nếu í !-> u(t) là liên tục trên (0, oo) Nếu u(t) e L ( X ) là một toán tử compact với mỗi t > 0 th ì u(-) gọi là compact.
B ổ đ ề 1.1 Cho T(-) là Co-nửa nhóm sinh bởi A B ~ l N ếu T(-) bị chặn đều, nghĩa
Chứng minh Chứng minh phần th ứ n h ấ t giống như trong [22, Bổ đề 2.1], còn
Cho <Ê>(í, s) là m ột họ các toán tử bị chặn trên X với í , s Ễ [0,T],s < t Kết
quả sau được chứng minh trong [28, Bổ đề 1]
B ổ đ ề 1.2 Giả sử rằng $ thỏa mãn các điều kiện sau:
($1) Tồn tại m ộ t hàm p e L 9(J), q > 1 sao cho ||$(í,s)|| < p(t — s ) với mọi
Trang 12Định nghĩa
0
(1.7)
Sử dụng hai bổ đề cuối, t a có kết quả sau
M ệ n h đ ề 1.3 Nếu nửa nhóm T(-) sinh bởi A B ~ X bị chặn đều và liên tục theo
chuẩn, thì toán tử Qa xác định bởi (1.7) biến m ộ t tập bị chặn bất kì trong Lp(0,T-, X) thành m ộ t tập liên tục đồng bậc trong C([0,T];X).
Cho E là một không gian Banach Định nghĩa
Chúng t a sẽ sử dụng định nghĩa độ đo không compact (xem [21])
Đ ị n h n g h ĩ a 1.3 Mộ t hàm /3 : Vf,(E) -> R + được gọi là m ột độ đo không com pact (M NC ) trên E nếu
với cõíì là bao lồi đóng của ũ M ột M N C /3 được gọi là
i) đơn điệu nếu Q()j^i € V b ( E ) , íío c ííi thì /3(ũo) < /3(ííi);
ii) không suy biến nếu /3({a} u fi) = /9(fi) với mỗi a £ E , Q e Vb(E);
Ui) bất biến theo mi ền với tập compact nếu Ị3(KuQ) = /3(íì) với mọi tập compact tương đối K c E và íì e Vb(E);
iv) nửa đại số cộng tính dưới nếu /3(fỉo + í^i) < /3(íío) + yỡ(rỉi) với mỗi ÍÍO: ííi ẽ
V) chính quy nếu /3(rỉ) = 0 thì tương đương với compact tương đối của Í2.
Trang 13Một ví dụ quan trọng của MNC là độ đo không compact HausdorỊỊ MNC
x(-), nó được định nghĩa như sau, với e V b ( E) đặt
Cho T e L(E), hay T là toán tử tuyến tín h bị chặn trên E Ta có thể định nghĩa
chuẩn X của T như sau
T\\x = Ì J XĨ { P > 0 : x ( T ( B ) ) < p x ( B ) với mọi B e V b(E)} (1.8)
• ||T||X = 0 khi và chỉ khi T là một toán tử compact.
Ta cần một số kết quả sau, nó là m ột ước lượng MNC Việc chứng minh có thể xem trong [21]
M ệ n h đ ề 1.4 ([21]) Nếu {w„} c L l {Q,T]E) thỏa mẫn
x(íì) = inf{e > 0 : Í2 có m ột hữu hạn e-lưới}
Như đã biết (xem [21])
• ||T||X = x í ^ í B i ) ) với B i là hình cầu đơn vị trong E.
Trang 14Chúng ta phải sử dụng m ột số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị Cho
Y là một không gian metric.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.4 M ộ t ánh xạ nhận giá trị đa trị (ánh xạ đa trị) T : Y V{E) được gọi là:
i) nửa liên tục trên nếu J 7_1(V) = {y e Y : F{y) n V í 0} là m ộ t tập con đóng của Y với mỗi tập con đóng V c E;
ii) nửa liên tục trên yếu nếu J 7_1(vr) là m ộ t tập con đóng của Y với mỗi tập con đóng yếu V c E;
n i ) đ ó n g n ế u đồ t hị Tjr = { ( y , z ) : z € F ( y ) } là m ộ t t ậ p con đ ó n g c ủa Y X E\
iv) c o mp a c t n ế u T { Y ) là c o mp a c t t ương đối t rong E ;
v) tựa compact nếu hạn chế trên mọi tập con compact A c Y là compact.
Bổ đề sau là m ột nguyên lý để kiểm tr a khi nào ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên (nửa liên tục trên yếu)
B ổ đ ề 1.6 ([21], Định lí 1.1.12) Cho G : Y ->■ V{E) là m ộ t ánh xạ đa trị đóng
tựa compact với giá trị compact K h i đó G là nửa liên tục trên.
B ổ đ ề 1.7 ([6], Mệnh đề 2) Cho X là m ộ t không gian Banach và Í2 là một tập
m ộ t ánh xạ đa trị nhận giá trị ỉồi, compact yếu K hi đó G ỉà nửa ỉiên tục trên yếu
theo m ộ t dãy con.
Chúng t a nhắc lại một số khái niệm của ánh xạ đa trị nén ([21])
Đ ị n h n g h ĩ a 1.5 M ộ t ánh xạ đa trị T : z c E V ( E ) được gọi là nén theo
m ộ t M N C ß (ß-nen) nếu với mỗi tập bị chặn Q c z , từ
ß ( n ) < ạ ự m suy ra tính compact tương đối của Í2.
Cho ß là m ột MNC không suy biến, đơn điệu trong E Áp dụng lí thuyết
bậc tô pô cho các ánh xạ nén (xem, chẳng hạn [1, 21]) th u được nguyên lí điểm
b ấ t động sau đây, chúng sẽ được dùng để chứng minh sự tồ n tạ i nghiệm cho bài toán (0.1)-(0.3)
Đ ị n h lí 1.8 ([21, Hệ quả 3.3.1]) Cho M là m ộ t tập con đóng, lồi, bị chặn của
E và cho T : M -» K V( M ) là m ộ t ánh xạ đa trị ß -n e n và nửa liên tục trên Khi
đó t ập các đ i ể m bất độn g F ix (J 7) := { x e ^ ( x ) } là m ộ t t ập khác rỗng và c ompact
9
Trang 15Chương 2
T ính giải được trên các đoạn
com pact
Cho trước T > 0, t a định nghĩa VC{[ữ,T\,X) không gian các hàm u : [0,T] ->■ X
th ỏ a m ãn u là liên lục trên [0, T1] : k € A} và với mỗi tỵ e [0, T], k € A, tồn tại
• x(D(t)) < X v c( Đ ) , với mọi t € [0,T], ở đây D ự ) := {z(í) : X £ D}.
• Nếu D là m ột tậ p liên tục đồng bậc trên mỗi nửa khoảng (ífc,íjfc+i] c [0,T],
Trang 161 Á n h xạ đa t rị F( - , v ) t hừa n h ậ n m ộ t h à m c h ọ n với m ỗ i V G X và ánh
xạ đa trị F(t, ■) là nửa liên tục trên với mọi t € (0, T ) h.k.n;
2 Tồn tại các hàm m e Lp(0,T), p > - và ФF là hàm không giảm và liên tục, nhận giá trị thực, thỏa mẫn
(I) Toán tử Ik : X -» D ( B ) thỏa mãn:
1 B I k : X -> X liên tục và tồn tại mộ t hàm không giảm, liên tục, nhận giá trị thực ФỊ và m ộ t dãy không âm {Zfc}fceA thỏa mã n
\\BIk(x)\\x < h Ф/GNI), với mọi X £ X , к £ Л;
2 Tồn tại m ộ t dẫy không âm {nk}keЛ thỏa mẫn
x ( B I k ( D )) < fik X(D),
với mọi tập con bị chặn D с X ;
3 Dãy {ijfcheA thỏa mẫ n m ì k£A{tk+1 - t k} > 0.
11
Trang 17Với u € VC([0, T]; X ) , ta định nghĩa
vị{u) = {/ e ^ ( O T ; * ) : ỉ(t ) e F ( t , « ( í ) ) }
X u ất p h á t từ công thức (1.6), chúng t a đưa ra định nghĩa sau
Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 Mộ t hàm u e 'PC([0,T];X) được gọi là m ộ t nghiệm tích phân
của bài toán (0.1)-(0.3) trên đoạn [0,T] nếu và chỉ nếu tồn tại m ộ t hàm f e Vp(u) thỏa mã n
Vì F nhận giá trị lồi, nên Vp cũng nhận giá trị lồi Điều này dẫn tới T cũng
n hận giá trị lồi M ặt khác, u là một nghiệm tích phân của bài to á n (0.1)-(0.3) nếu nó là m ột điểm b ấ t động của toán tử nghiệm T
Để ước lượng kết quả của sự tồn tạ i nghiệm, t a cần m ột số tín h chất của Vp.
B ổ đ ề 2 1 Dưới các giả thiết của (F ), ánh xạ đa trị Vp hoàn toàn được xác
định và nửa liên tục trên yếu.
Chứng minh Trước tiên ta chứng minh tín h nửa liên tục trên yếu nhờ sử dụng
Bố đề 1.7 Lấy {u„} c VC([ữ,T]\X) th ỏ a m ãn un u*,fn G V p ( u n) Ta thấy
rằng {/„(í)} c C(t) F(t, {un (t)}), và C ( t ) là m ột tậ p compact với mọi t € (0,T)
h.k.n Thêm vào đó, bởi (F)(2), {/„} là khả tích bị chặn (bị chặn bởi một hàm
khả tích Lp) Ta được {/„} là compact yếu trên Lp(0, T \ X ) (xem [13]) Lấy /„ -*■ /* Khi đó từ m ệnh đề M azur (xem [14]), có /„ e co{/j : i > n} th ỏ a m ãn
ỉn /* trong Lp( 0 , T ; X ) và từ đó /n(í) ->■ f*(t) với mọi t e (0,T) h.k.n, theo
u(t) = S a {t)Bg(u) + Ỵ 2 S a ^ ~ t k )BI k(u( tk))
Trang 18m ột dãy con Vì F nhận giá trị compact, tín h nửa liên tục trên của F(t,-) có
với mọi t e (0,T) h.k.n Vì e là tù y ý, chúng t a th u được /* € Vp(u*).
Tiếp theo ta cần chỉ ra rằng với mỗi V € VC([0, Т]-X ) , Vp(v) Ỷ 0- T ừ điều kiện ( I ) (3), ta th ấ y có nhiều n h ấ t hữu hạn số t k £ [0,T] Nên t a có thể tìm một dãy hàm bậc th a n g {u„} m à nó hội tụ đều tới V trên [0,T] T ừ đó với mỗi n tồn tại m ột hàm đo được m ạnh /„ th ỏ a m ãn fn(t) € F ( t , v n (t)), do điều kiện (F)(1) Nghĩa là, {ỉn(t)} с C(t), với C(t) = F ( t , { v n (t)}) là m ột tậ p compact, nhờ tính liên tục trên của F ( t r ) Sử dụng lí luận tương tự như p hần trên, t a có {/„} compact yếu trong Lp( 0 , T ; X ) và / „ —>■/ e Lp(0, T-,X) và f ( t ) € F(t,v( t)) với mọi
B ổ đ ề 2.2 Với các giả thiết (A) và (F ), hợp thành
Bởi Bổ đề 2.1 t a được /„ -»■ /* € Lp( 0 , T ; X ) và /* e V p F (u*).
Thêm vào đó, C(t) = {fn(t) ■ n > 1} com pact tương đối, và
X ( { Q a ( / n ) ( í ) } J < x ( { J ( t - s ) ° ~ l p a { t - s ) ỉ n { s ) d s } S j
' 1 ° Jo
< 2 1 (t - s ) a 1\\Pa ( t - s ) \ \ x ( { f n (s)})ds = 0,
13
Trang 19theo Mệnh đề 1.4 Áp dụng Mệnh đề 1.3, {Qa(fn)} là Hên tục đồng bậc Nên
theo định lí Arzela - Ascoli, t a th u được tín h compact tương đối của {Qa(/n)}-
Vì f n ( t ) -> f*(t) với mọi t G (0,T) h.k.n, t a có Qa (f n) -> Nên từ (2.3) tasuy ra
với mọi t e [0, T], với /* e vậy z* e Qa o ? ^ ( n ' )
Bước 2: Qa о là m ột ánh xạ đa trị tự a compact Cho к, с VC([ữ,T\\X)
là m ột tậ p com pact và {zn} с Qa о Vp(IC) Ta cần chứng minh {zn} compact tương đối trong C([0, T ] \ X ) , và từ đó trong VC([ữ, T]; X ) Lấy с к th ỏ a mãn
m ột dãy con Đ ặt /„ e V p ( u n) th ỏ a m ãn z„(í) = Qa(fn)(t), với mọi t e [0,T]
Vì {/n(s)} С -F(s, {un (s)}), nên {/n(s)} là compact tương đối với mọi s £ (0,T) h.k.n Do đó {Qa(ỉn)(t)} là m ột tậ p compact với mọi t e [0,T] Thêm vào đó,
{Qa(fn)} là liên tục đồng bậc do Mệnh đề 1.3, bởi vậy {zn} com pact tương đối
trong C([0,T];X)
Kết hợp Bước 1, Bước 2 và Bổ đề 1.6 ta được điều phải chứng minh □
B ổ đ ề 2.3 Cho các giả thiết ( A ) ; (F ), (G ) và (I) được đặt đúng K hi đó toán