Đa thức ma trận và ứng dụng trong phương trình vi phân đại số tuyến tính

ịnh lí này cho thấy, tính chính qui của cặp ma trận E A,  đ ng i trò qu n tr ng, nhiều khi là quyết định, trong cấu trúc tập nghiệm củ hương trình i... Ngay cả các vấn đề về tồn t i, d

RƯỜN I HỌ SƯ PH M HÀ N I 2

LỜI CẢ N

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường i h c ư

h m i các n h c i n h 15 - Toán Giải t ch đã qu n tâm giú

đỡ tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Tôi xin y tỏ lòng iết ơn âu c t i thầy T T uy hư ng -

người đã tận tình hư ng dẫn cho tôi trong uốt quá trình tìm hiểu nghi n cứu

đề t i Đ uyế í

Do thời gian nghiên cứu có h n n n đề tài không tránh khỏi những h n chế, thiếu sót nhất định, kính mong nhận đư c sự quan tâm góp ý của các thầy cô và các b n để đề tài nghiên cứu đư c hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nộ , y 10 á 07 ă 2013

c i n

LỜ N

Tôi xin c m đo n rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận ăn n y

là trung thực và không trùng lặp v i các đề t i hác Tôi cũng xin c m đo n rằng m i sự giú đỡ cho iệc thực hiện luận ăn n y đã đư c cảm ơn các

thông tin trích dẫn trong luận ăn đã đư c chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nộ , y 10 á 07 ă 2013

c i n

Ả N R N H

PHƯ N R NH PH N S N NH P HAI 30

MỞ U

1 Lý do chọ đề tài

Nhiều i toán thực tế dẫn t i mô hình toán h c mô tả i các hương trình i hân hông giải đư c hiển thông qu đ o hàm cấp cao nhất ác

hương trình n y đư c g i l ẩn M t d ng thường gặp

củ hương trình i hân n là hệ gồm m t (hệ) hương trình i hân thường

và m t ràng bu c đ i số (không chứ đ o hàm) ác hương trình n y thường

n y dẫn đến tăng ố chiều củ iến do đ tăng á (cost) củ t nh toán đ

hức t t nh toán tăng l n cần nhiều ô nh

Lí thuyết ch m m trận đ ng i trò cơ ản trong iệc nghiên cứu lí thuyết cũng như hân t ch xây dựng thuật toán giải ố hương trình i hân tuyến t nh ậc m t Tuy nhiên lí thuyết n y nói chung không thật phù

h p cho các hương trình i hân đ i ố tuyến t nh ậc c o n i cách hác l thuyết chùm ma trận chỉ c thể d ng cho m t l h các hương trình bậc cao ể hân t ch các hương trình i hân đ i ố ậc cao t cần d ng

lí thuyết đ thức m trận m trix olynomi l )

Mặc dù m i đư c b t đầu nghiên cứu, lí thuyết đ thức m trận đã t đầu c đ ng g trong nghi n cứu định t nh cũng như xây dựng các thuật toán

tìm nghiệm ằng ố củ các hương trình i hân đ i ố ậc h i hoặc c o hơn

i toán uchy i toán giá trị i n)

Trong [ ] đã đư r m t số nghiên cứu m i về đ thức ma trận và ứng

d ng trong hương trình i hân đ i số tuyến t nh bậc c o để giải i toán giá trị n đầu giải ố i toán i n đối i hương trình i hân đ i ố tuyến

t nh ậc h i ậc c o hơn (xem [2], [5])

Nhằm tìm hiểu m t vấn đề thời sự c ý nghĩ ứng d ng, tôi ch n đề

tài cho luận ăn th c ĩ của mình là Đ

i s tuyến tính

Trong luận ăn n y tôi trình y các t nh chất củ l đ thức m trận dựa theo các bài báo [2]-[5] ác tính chất n y đư c d ng để hân rã

hương trình i hân đ i ố tuyến t nh ậc m thành m hệ con gồm các

hương trình i hân thường ậc m m,  1, 1 m t hệ hương trình đ i ố

tuyến t nh đây t hiểu hệ hương trình i hân đ i số ậc m l hệ hương trình i hân c đ o hàm đến ậc m i m trận hệ ố củ đ o h m ậc m l

uy iến

2 Mụ đí nghiên c u

Dự tr n các t nh chất củ đ thức m trận, luận ăn nghi n cứu m t ố

t nh chất định t nh, giải số i toán giá trị n đầu và giải số i toán i n hương trình i hân đ i ố tuyến tính ậc h i ậc c o

3 Nhi m vụ nghiên c u

Nghiên cứu các vấn đề sau:

1 hái niệm và các đặc thù củ hương trình i hân đ i số

2 hái niệm và các tính chất củ đ thức m trận

3 Giải số bài toán giá trị n đầu và bài toán biên của hương trình i hân đ i ố tuyến tính dự tr n các t nh chất củ đa thức m trận

ư c đầu nghiên cứu hương trình i hân đ i số

N H H N

Chương n y trình y m t ố đặc thù củ hương trình i hân đ i số tuyến tính, các iến thức cơ củ lí thuyết ch m m trận, đ thức m trận (matrix polynomials) ti u chu n h ng - ậc r n - degree) hương há đ ư c hương há i hân giải hương trình i hân thường cần thiết trong các chương u

đã đư c nghi n cứu há trong òng i ba trăm năm tr l i đây

T thường kí hiệu đ o hàm của hàm số x t( )t i điểm t b i m t trong ba kí

quát củ hương trình i hân thường, vì m i hương trình i hân thường ) đều có thể đư ề d ng n F t x x( , ,   ) 0 v i F t x x( , ,  ) :  x f t x( , ).

t d ng đơn giản nhất củ hương trình n F t x x( , ,   ) 0 l uyến tính d ng

trên ( , )a b sao cho F t x t( , ( ), x t ( ))  0 trên ( , ).a b

ư i đây t hân t ch uyế í

  v i detE 0, vì vậy không thể đư hệ (1.1.4) về

d ng hương trình i hân thường Thực chất (1.1.4) là hệ gồm m t hương trình vi phân (1.1.4a) (chứ đ o hàm) và m t ràng bu c đ i số (1.1.4b) (không chứ đ o hàm) Hệ (1.1.4) có thể viết dư i d ng

Hệ này có vô số nghiệm d ng x t1( ) 2 ( )x t2 v i x t là m t hàm số bất kì 2( )

ơn nữa, ta thấy dãy h m ctơ

( )

( ) 2

i i

Như vậy không gian nghiệm của (1.1.4) là vô h n chiều

Thí d 1.1.1 cho thấy, không phải lúc nào không gian nghiệm củ hương

trình i hân đ i số tuyến tính cũng l hữu h n chiều ây l m t điểm khác

biệt củ hương trình i hân đ i số tuyến tính so v i hệ hương trình i hân thường: Hệ hương trình i hân thường tuyến tính thuần nhất d ng

ịnh lí này cho thấy, tính chính qui của cặp ma trận E A,  đ ng i trò qu n

tr ng, nhiều khi là quyết định, trong cấu trúc tập nghiệm củ hương trình i

0( ) ( )

ây cũng l m t đặc thù nữa củ hương trình i hân đ i số: hương trình i

hân đ i số tuyến tính có thể có duy nhất nghiệm không ph thuộc gì vào giá

gian nghiệm là vô h n chiều mặc dù

det(E t( ) A t( ))   1 0 

V i  1 thì

( ) ( ( ) ( )) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( 1) ( ) 0 ( ) 0

( ) ( ) 0

x t x t t

Hệ này đã đư c xét trong Thí d 1.1.2

Khi  1 thì hệ có duy nhất nghiệm x t( )0

Khi    ; 0; 0 thì

( ) ( ) ( ) 0(1.1.7)

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

ây cũng l điểm khác biệt củ hương trình i hân đ i số so v i hương trình i hân thường: nghiệm của hương trình i hân thường liên t c theo

vế phải, theo tham số và theo giá trị n đầu

Thí dụ 1.1.4 Xét hệ hương trình i hân đ i số tuyến tính không thuần nhất

Như vậy, nếu ta chỉ giả thiết f C a b , , tức là f liên t c nhưng không khả

vi thì hệ (1.1.8) là vô nghiệm, vì khi ấy x t2( ) không tồn t i ể hệ có nghiệm (c điển) ta phải đặt điều kiện, thí d , khá thô thiển, là 2 

( ) ;( ) ( ).

hư ậy, hệ (1.1.9) gi ợc (có nghiệm) khi và chỉ khi vế phải của phương

trình (1.1.9) thỏa mãn điều kiện f t2 ( ) f t1( ) V i điều kiện này hệ có vô số nghiệm d ng

1 1

( ) ;( ) ( ) ( )

K t luận Những ví d tr n đây cho thấy hương trình i hân đ i số là d ng

uy b ến hay thu c l p b á t không chỉnh Vì vậy nghiên

cứu hương trình i hân đ i số h hơn rất nhiều so v i nghiên cứu hương trình i hân thường Ngay cả các vấn đề về tồn t i, duy nhất nghiệm cũng l những câu hỏi h ể đảm bảo cho hương trình c nghiệm thường phải có

những điều kiện ràng bu c nhất định, g i là ều ki hích đặt lên hai

vế của phương trình đặt l n điều kiện n đầu

Khác v i hương trình i hân thường, cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình vi phân đ i số có hệ số biến thiên phức t p hơn rất nhiều so v i trường

h p hệ số hằng

T đã iết đối v i phương trình i hân thường tuyến tính không thuần nhất, không gian nghiệm luôn hữu h n và không ph thu c vào vế phải V i hương trình i hân đ i số, tính chất số chiều hữu h n của không gian nghiệm liên quan chặt ch v i tính giải đư c của hệ không thuần nhất

Nhiễu nhỏ của hệ hương trình i hân đ i số tuyến tính có thể s th y đ i chiều của không gian nghiệm, thậm chí ngay cả trong trường h p

rank ( ) E t hông th y đ i theo thời gian Tức là cấu trúc nghiệm của hương trình hông n định theo tham số

Nghiên cứu định t nh hương trình i hân đ i số, ngay cả trong trường h p

hệ tuyến tính, là m t đề tài thú vị cũng li n qu n đến rất nhiều bài toán khác (Lí thuyết n định nghiệm củ hương trình i hân đ i số điều khiển tối ưu hệ mô tả b i hương trình i hân đ i số).Tuy nhi n đ hông hải là

m c đ ch của Luận ăn n y đây chỉ đặt m c đ ch thông qua m t số ví d , làm rõ m t số đặc thù củ hương trình i hân đ i số

Có thể tham khảo lí thuyết hương trình i hân đ i số qua các sách chuyên khảo, thí d , [6], [7]

1.2 t ố đề t lí t t đ a t ậ

ể giải hệ hương trình đ i số tuyến tính hay hệ hương trình i hân tuyến

tính, t thường đư các hệ t ng quát về các hệ đơn giản thông qua phép biến

ổi ma tr n o n to n tương tự để giải hệ hương trình i hân đ i số tuyến

t nh t cũng hải biến đ i hương trình i hân đ i số tuyến tính t ng quát về

d ng giải đư c nhờ phép biến đ i ma trận M c này trình bày các kiến thức cơ bản nhất về biến đ i ma trận cần thiết cho h i chương u

uẩ – b (rank - degree) tr n hoảng [ ] nếu

rank ( )A t degdet(A t( )B t( )) k const, i m i t 0,1 (1.2.2)

Trong t i liệu [7], [8] các ch m m trận như tr n c t n l ỉ

( ) 00

(ii) rank ( ) A t  k const, t 0,1 ;

(iii) rank{ ( ) | ( )} A t B t   k l const, t 0,1 ;

ó E E k, l E n k l  l á ị ó b l

k l n k l J J1, 2 C i i, 1,2,3,4 l á ều

det( , , )  t det ( )(P t k l t( )k   l t k( )det(B ( )t C ( ))det ( ).t Q t

Theo giả thiết iii) i ) củ đề ch m m trận B22( )t C22( )t thỏ mãn

Nhân 2 1

1

0diag( , ( ))

k k

k k

đây trong toàn Luận ăn để đơn giản t ỏ qu hiệu các m trận h

thu c o t Th d th y ì iết B t thì t iết 11( ) B 11

d ng hệ thức (1.2.7) t iết l i ế hải củ hệ thức cuối c ng th o d ng chi tiết hơn

Nhân 3 21

31

00

k l

T đây t tìm đư c R S i R P P P 3 2 S = Q Q 2 Q 3 trong đ P, P 2 , P 3 ,

Q, Q 2 3 l các m trận đư c xác định như trong chứng minh

ậy B đề đư c chứng minh

1.3 P p áp đa giả p t p t ờng

t i toán uchy tìm nghiệm củ hệ hương trình

( ) ( , ( )),

x t  f t x t t 0,1 (1.3.1) thỏ mãn điều iện n đầu

V i k 1 ta có:

0x i 1 1x i h 0f t( i 1,x i 1) 1f t x( , ) i i

ây ch nh l t ng quát hóa của á Eule ẩn mộ b c

V i  0  1 1, 1  0 1 ta có phương há Eul r tiến

x hf t x Trong hương há n y giá trị của x t i thời điểm t i1 đư c tính trực tiếp theo

giá trị của x t i thời điểm t nhờ giá trị hàm số ( , ) i f t x Biết giá trị n đầu i i

ch nh xác hơn hương há hương há Eul r tiến Tuy nhiên, giá trị của

x t i thời điểm t i1 đư c tính bằng cách giải m t hương trình hi tuyến

h

x  f t x  f t x hương há hình th ng cũng l á ẩn

hư ậy, ta thấy hương há đ ư c là t ng quát h hương há m t

ư c, chứa khá nhiều các hương há c điển đã iết

V i i0, công thức (1.4.3) có d ng:

hư ậy để tính giá trị x i1 t i mỗi ư c i, ta cần tính giá trị của hàm f t i

thời điểm t 0t i1   i 1 k i t 1 k, là t h p của k vị trí t t0, , ,1 t i 1 k và theo

k giá trị x i1, , ,x i x i 1 k

hương há đ ư c n, cùng v i n l hương há m t tự l các hương pháp khá t ng quát và hiệu quả trong giải số hương trình i hân thường mà trong hương hương t cũng s d ng

1.4 Sai phân hữu hạn

ị a 4.1 ho dãy ố { },x n n0,1,2, T g i i ữu ế

ấ 1 củ h m ố x i n l hiệu

1

x x x

i hân cấ củ h m x l i hân củ i hân cấ củ n x t ng quát n,

i hân cấ k củ h m x l i hân củ i hân cấ n k1 củ h m ố đ

hư ậy i hân cấ củ h m x l n

Thế iểu thức tr n o hương trình thứ h i hi i2 t rút r đư c iểu diễn

củ x2 qua x3 ì thế t đi tìm nghiệm củ hệ trong d ng

hương há trình y tr n để giải hệ hương trình đường ch o đư c g i

l á uy uổ hương há n y c thể t m lư c l i o gồm h i

qu trình u:

uá trình truy đu i xuôi:

Ả N R N H PHƯ N R NH

PH N S N NH C P HAI 2.1 P t p đạ ố t n tính cấp hai

t i toán uchy cho hương trình i hân đ i ố tuyến t nh hông thuần nhất cấp hai

đư c g i l củ hương trình (2.1.1) v i điều kiện n đầu (2.1.2),

nếu khi thay x t( ) o hương trình ) thì ) đúng i m i t[0,1] điều iện n đầu 2.1.2) đư c thỏ mãn

ếu det ( ) 0A t  i m i t[0,1] thì nhân hương trình 2.1.1) i 1

hân thường cấp h i ể l m r điều n y trư c hết t x t hương tình i hân

trong đ ( ) E t A t l các m trận ậc n n( )  , det ( )E t 0 T giả dữ

kiện cho n đầu ỉ (tức l h h i ế hải để hương trình c

nghiệm)

hức t củ hương trình i hân đ i ố 2 ) đư c đặc trưng i ỉ

củ n hái niệm chỉ ố đã đư c định nghĩ th o nhiều cách hác nh u (xem, thí d , [7]), dư i đây t định nghĩ chỉ ố theo [6] như u

ị a 1.2 ([6], tr 496 – 506) iả tồn t i toán t i hân tuyến t nh

Số tự nhi n nhất r để toán t r thỏ mãn điều iện tr n đư c g i l ỉ

củ hương trình i hân đ i ố (2.1.4) v i điều iện n đầu (2.1.5)

N ậ t ách xây dựng củ toán t r c thể tìm thấy trong [6] Ý nghĩ của toán t tích phân r là: Tác đ ng toán t tích phân r vào vế trái của

hương trình ằng cách lấy t h p tuyến tính củ đ o h m đến bậc r ) t đư

đến hương trình i hân thường (v i ma trận thu c ( )x t không suy biến) Vì vậy định nghĩ chỉ số đây há gần v i khái niệm chỉ số vi phân: chỉ số của hương trình ) ch nh l ố lần lấy đ o h m để đư hương trình i hân

đ i số về hương trình i hân thường Trong [6] cũng đã chỉ r rằng định nghĩ tr n các định nghĩ hác ề chỉ ố (chỉ số Kroneker, chỉ số hình h c, chỉ số mềm ) củ hương trình i hân đ i ố 2.1 ) l tương đương cho trường h hương trình i hân đ i ố tuyến tính i hệ ố hằng

ối i hương trình i hân đ i ố tuyến tính cấ h i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [0,1]

A t x t B t x t C t x t  f t  t

v i điều iện n đầu x(0)a x, (0)b thì t cũng định nghĩ chỉ ố tương

tự như tr n Tuy nhi n định nghĩ n y cho rất t thông tin ề hả năng củ iệc d ng hái niệm chỉ ố trong hương há tìm nghiệm bằng hương pháp ố ể minh h cho điều n y t x t h i d đơn giản u

í ụ 1.1 t hương trình i hân đ i ố cấ h i d ng

1 12

hương trình 2.1.6) có chỉ số 2, b i vì khi ta lấy hai lần đ o h m t đư đư c

ề m t hương trình i hân thường

Thật vậy, t đư i toán (2.1.6) ề d ng tường minh