Phương pháp laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức

Nguyễn Văn Hào, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp Laplace giảiphương trình vi phân thường với hệ số đa thức” được hoàn thành bởinhận thức của bản thân t

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy côgiáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhhọc tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Anh Vũ

i

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luận vănThạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp Laplace giảiphương trình vi phân thường với hệ số đa thức” được hoàn thành bởinhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Anh Vũ

ii

Mở đầu 1

1.1 Hàm biến phức 4

1.1.1 Số phức và mặt phẳng phức 4

1.1.2 Các tập hợp trong mặt phẳng phức 5

1.1.3 Hàm chỉnh hình 6

1.1.4 Chuỗi lũy thừa 7

1.2 Tích phân phức 10

1.3 Lý thuyết thặng dư 16

1.3.1 Không điểm và cực điểm 16

1.3.2 Thặng dư và cách tính 18

1.3.3 Tích phân vòng 19

1.4 Hàm giai thừa 22

1.5 Hàm Zeta-Riemann 23

2 Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức 27 2.1 Ý tưởng của phương pháp Laplace 27

2.2 Đa thức Hermite 28

2.3 Hàm Hermite 30

2.4 Hàm Bessel 33

2.4.1 Biểu diễn tích phân 33

2.4.2 Hàm Bessel kiểu thứ nhất 35

2.4.3 Kiểu hàm thứ hai và thứ ba 37

2.5 Dạng tương tự của hàm Bessel 41

iii

1 Lý do chọn đề tài

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính ta xác định một

hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân thuần nhất cùng với việc tìm mộtnghiệm riêng của phương trình đó Nghiệm tổng quát của phương trình này làtổng nghiệm riêng của phương trình với nghiệm tổng quát của phương trình viphân tuyến tính thuần nhất tương ứng Nhưng cho đến nay, người ta cũng chỉđưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổng quát của phươngtrình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số Đối với phương trình vi phân tuyếntính mà hệ số không phải là hằng số, việc tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của cáchàm số sơ cấp của một số phương trình vi phân khá khó khăn (nếu không muốnnói là không thể) Điều này cũng xảy ra ngay cả khi phương trình vi phân códạng rất đơn giản Chẳng hạn, như phương trình dưới đây

y00− 2xy0+ y = 0.

Đó là phương trình vi phân cấp hai với hệ số là hàm số của một biến độc lập,nhưng ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới dạng một hàm số sơ cấp Tuynhiên, việc giải các dạng phương trình như phương trình trên đây là rất quantrọng vì đây là một trong rất nhiều các bài tán nảy sinh từ các vấn đề thựctiễn, chủ yếu là các bài toán trong lĩnh vực vật lý Điều đó, sẽ được chúng tôi

đề cập trực tiếp trong luận văn về các bài toán liên quan tới hàm Hermite, hàmBessel Một trong các phương pháp có thể giải quyết điều này là phươngpháp Laplace, cho ta biểu diễn nghiệm của các phương trình này dưới dạng tíchphân Với phương trình vi phân

phân như sau



(3)trong đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp tiệm cận của Laplace trong việc giải phương trình viphân thường với hệ số đa thức

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp tổng quan của Laplace giải phương trình vi phân với hệ số đa thức

và trình bày cụ thể qua một số các phương trình nổi tiếng xuất hiện từ các bàitoán vật lý như phương trình Bessel, phương trình Hermite

5 Những đóng góp của đề tài

Xây dựng cách tìm nghiệm từ ý tưởng của phương pháp Laplace giải phươngtrình vi phân thường với hệ số là đa thức

6 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, nghiên cứu các vấn đề liên quan, từ đó suy ra các kiến thức liênquan tới mục đính cần nghiên cứu

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo Phép cộng

và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phéptoán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1 Với z1 = x1+ iy1, z2 = x+iy2,

4

|z|2 = z.¯ z,1

z =

¯ z

|z|2, với z 6= 0.

Số phức khác0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ, vớir > 0, θ ∈R được gọi

là argument của số phức z và được ký hiệu là arg z (argument của số phức z

được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) Argumentcủa số phức z thỏa mãn 0 ≤arg z < 2π được gọi là argument chính, ký hiệu là

phz Ta có

eiθ = cosθ + i sin θ.

Bởi vì eiθ = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửađường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng, ta lưu ý rằngnếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở Điểm z ∈C được

gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm zn ∈ C sao cho

zn 6= z và lim

n→∞ zn = z Chúng ta có thể kiểm tra được rằng một tập Ω là đóngnếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω vàcác điểm giới hạn của nó, ký hiệu là Ω¯ Biên của Ω ký hiệu là ∂Ω = ¯ Ω\ int Ω

Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| ≤ M với mọi z ∈ Ω Nếu tập Ω là bịchặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số

diam(Ω)= sup {|x − y| : x, y ∈ Ω}

Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn Tập mở Ω ⊂ C được gọi

là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng Ω1 và Ω2 sao cho

Ω = Ω1∪ Ω2 Một tập mở liên thông trong C được gọi là một miền Tập đóng F

là liên thông nếu không thể viết F = F1∪ F2 ở đó F1 và F2 là các tập đóng rờinhau

khi h → 0, ở đó h 6= 0 và h ∈ C với z0+ h ∈ Ω Giới hạn trên được ký hiệu bởi

f0(z0) và gọi là đạo hàm của hàm f (z) tại điểm z0 Như vậy, ta có

f0(z0) = lim

h→0

f (z0+ h) − f (z0)

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω Nếu M

là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên mộttập mở nào đó chứa M Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.Hàm f (z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f0(z) = 1 Thậtvậy, ta có

không có giới hạn khi h → 0

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàmf (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ωnếu và chỉ nếu tồntại hằng số a sao cho

f (z0+ h) − f (z0) − a.h = h.ψ(h) (1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và

lim

h→0 ψ(h) = 0.

Dĩ nhiên, ta có a = f0(z 0 )

Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến có

sự khác biệt đáng kể Như ta đã thấy hàm

f (z) = ¯ z

không khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ

F : (x, y) → (x, −y)

khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh

xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạohàm riêng của các hàm tọa độ Mối quan hệ của hai hàm khả vi đó được phảnánh qua kết quả dưới đây

Định lí 1.1.1 ( Điều kiện Cauchy-Riemann) Điều kiện cần và đủ để hàmphức f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại điểm đó tồn tại cácđạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng thời các đạo hàm đó thoảmãn điều kiện Cauchy - Riemann

1.1.4 Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Định lí 1.1.2 (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ.

Hơn nữa, nếu ta quy ước 1

∞

P

n=0

a n zn xác định một hàm chỉnh hìnhtrong đĩa hội tụ của nó Đạo hàm của f (z) cũng là một chuỗi lũy thừa thu đượcbằng cách đạo hàm từng số hạng của chuỗi với hàm f (z), tức là

Hơn nữa, f0(z) có cùng bán kính hội tụ với f (z)

Chứng minh Bởi vì lim

EN(z0+ h) − EN(z0)

h

(z0+ h)n− z0n

h

= 2πemax

|t|=

ex ln −y arg(t)

< 2π1++Re(z)eπIm(z).

Cố định z trong khi  → 0, tích phân không tham gia vào điều kiện Re (z) > −1.Trong tích phân phía trên và phía dưới của nhánh cắt ta đặt t = r.exp(±iπ), tađược

Z 0+

−∞

tzetdt = −

Z ∞ 0

(re−iπ)ze−rdr +

Z ∞ 0

(reiπ)ze−rdr

= −2i sin πz

Z ∞ 0

rze−rdr.

(1.7)

1.4 Hàm giai thừa

Hàm giai thừa được định nghĩa

z! =

Z ∞ 0

xze−xdx; Re(z) > −1. (1.8)

Khi z = n là một số nguyên dương thì nó được tính n! = n.(n − 1) 2.1 Tíchphân trong công thức (1.8) là hội tụ khi Re(z) > 0, điểm kỳ dị tại z = −1 sẽ tạo

ra sự phân kỳ ở giới hạn cận dưới

Rễ ràng đưa ra kết quả thác triển giải tích của z! trên toàn bộ mặt phẳng phức,qua đó chứng minh nó là một hàm phân hình, và tạo ra sự đặc biệt của hàm số

Ta tách tích phân thành hai phần,

z! =

Z 1 0

xze−xdx +

Z ∞ 1

xze−xdx

=

Z 1 0

xze−xdx =

Z 1 0

∞

X

n=0

(−1)nxz+nn! dx

nó thừa hưởng cấu trúc đặc biệt của công thức (1.9)

Các mối quan hệ phương trình hàm Hàm giai thừa thỏa mãn một số hệthức, trong đó có ba hệ thức quan trọng

nó thừa hưởng cấu trúc đặc biệt công thức (1.9)

Các mối quan hệ phương trình hàm Hàm giai thừa thỏa mãn số h? ?thức, có ba hệ thức quan trọng

Bây với h đủ nhỏ cho z + h ∈ D γ, thương vi phân hàm f(n−1)(z)... bán nguyệt, giá trịnày tỷ lệ với  Điều giải biểu thức dấu tích phân sẽkhơng vấn đề gì.

Tích phân vịng Hankel Xét tích phân

Z 0+

−∞