Trình chiếu tính ổn định yếu của một lớp bao hàm thức vi phân cấp phân số với hiệu ứng xung

Tính ổn định yếu của một lớp bao hàm thức vi phâncấp phân số với hiệu ứng xung Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Trần Đình Kế Học viên : Quản Thị Bạch Mai Mã học viên : K24-0124... Cấu t

Trang 1

Tính ổn định yếu của một lớp bao hàm thức vi phân

cấp phân số với hiệu ứng xung

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS Trần Đình Kế

Học viên : Quản Thị Bạch Mai

Mã học viên : K24-0124

Trang 2

Mở đầu Chương 1 Chương 2

∆u(tk) = u(tk+) − u(tk−), k ∈ Λ ⊂ N,

Ik là hàm xung sẽ được định nghĩa cụ thể trong mục sau

Trang 3

trong đó CD0α, α ∈ (0, 1), là đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Caputo,

A là một toán tử tuyến tính đóng trong X sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh

W (·),

Trang 4

2 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 3: Tính ổn định yếu của điểm cân bằng

Trang 5

Chương 2: Tính giải được toàn cục

Trang 6

Trang 7

Xét bài toán

CD0αu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut), t > 0, t 6= tk, k ∈ Λ,

∆u(tk) = Ik(u(tk)),

u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

W (·),

F : R+× X × C ([−h, 0]; X ) → P(X ) là một ánh xạ đa trị,

∆u(tk) = u(tk+) − u(tk−), k ∈ Λ ⊂ N,

Trang 8

Xét bài toán

CD0αu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t), ut), t > 0, t 6= tk, k ∈ Λ,

∆u(tk) = Ik(u(tk)),

u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0],

W (·),

F : R+× X × C ([−h, 0]; X ) → P(X ) là một ánh xạ đa trị,

∆u(tk) = u(tk+) − u(tk−), k ∈ Λ ⊂ N,

Trang 9

Không gian hàm và độ đo

Với J = [a, b] ⊂ R, đặt E = PC (J; X )là không gian các hàm liên tục từng

khúc trên J và nhận giá trị trong X

Ký hiệu χPC là độ đo Hausdorff trên PC (J; X )

Trong trường hợp J = [−h, +∞), ta xét không gian

PC%([−h, +∞); X )= {u ∈ PC ([−h, +∞); X ) : lim

t→+∞

u(t)

%(t) = 0},trong đó % : R+→ [1, +∞) là một hàm liên tục và không giảm.Khi đó, PC%([−h, +∞); X ) cùng với chuẩn

Trang 10

Không gian hàm và độ đo

Với J = [a, b] ⊂ R, đặt E = PC (J; X )là không gian các hàm liên tục từngkhúc trên J và nhận giá trị trong X

Ký hiệu χPC là độ đo Hausdorff trên PC (J; X )

Trong trường hợp J = [−h, +∞), ta xét không gian

PC%([−h, +∞); X )= {u ∈ PC ([−h, +∞); X ) : lim

t→+∞

u(t)

%(t) = 0},trong đó % : R+→ [1, +∞) là một hàm liên tục và không giảm

Khi đó, PC%([−h, +∞); X ) cùng với chuẩn

Trang 11

Xây dựng độ đo trên không gian PC%([−h, +∞); X )

Với u ∈ PC%, ký hiệu πT(u) là hạn chế của u trên [−h, T ], đặt

Trang 12

2.2 Giả thiết

(A) C0-nửa nhóm {W (t)}t≥0 sinh bởi A là liên tục theo chuẩn và bị chặntoàn cục, tức là

kW (t)xk ≤ MAkxk, ∀t ≥ 0, x ∈ X (F) Thành phần phi tuyến F : R+× X × C ([−h, 0]; X ) → P(X ) thỏa

mãn:

1 ánh xạ đa trị (v , w ) 7→ F (t, v , w ) là nửa liên tục trên với mỗi t ∈ R + ;

2 ánh xạ đa trị t 7→ F (t, u(t), ut ) có hàm chọn đo được mạnh với mỗi

u ∈ PC%;

3 tồn tại hàm m ∈ Lploc(R + ) thỏa mãn

kF (t, v , w )k = sup{kξk : ξ ∈ F (t, v , w )} ≤ m(t)(kv k + kw kh), với mọi (t, v , w ) ∈ R + × X × C ([−h, 0]; X );

4 nếu W (·) không compact, tồn tại k ∈ Lploc(R+) sao cho

Trang 13

(I) Hàm Ik : X → X , k ∈ Λ, liên tục và thỏa mãn:

1 tồn tại dãy số thực không âm {lk }k∈Λ sao cho P

k∈Λ lk < ∞ và kIk (x )k ≤ lkkxk, với mọi x ∈ X , k ∈ Λ.

2 Tồn tại dãy số thực không âm {µk }k∈Λ sao cho

χ(Ik(B)) ≤ µkχ(B), với mọi tập bị chặn B ⊂ X ;

3 Dãy {tk : k ∈ Λ} thỏa mãn infk∈Λ(tk+1 − tk ) > 0.

Trang 14

Cố định ϕ ∈ C ([−h, 0]; X ), với u ∈ PC%, đặt

u[ϕ](t) =

(u(t) nếu t > 0,ϕ(t) nếu t ≤ 0

Ký hiệu

PFp(u) = {f ∈ Lploc(R+; X ) : f (t) ∈ F (t, u(t), u[ϕ]t) hầu khắp t ∈ R+}

Trang 15

(t − s)α−1Pα(t − s)f (s)ds, với t > 0.

Trang 16

Với ϕ ∈ C ([−h, 0]; X ) cho trước, xét F : PC%→ P(PC%) xác định bởi

(t − s)α−1Pα(t − s)f (s)ds : f ∈ PFp(u)

, t > 0

Khi đó, u là một điểm bất động của toán tử nghiệm F nếu và chỉ nếu nóu[ϕ] là một nghiệm tích phân của bài toán (1)-(3)

Trang 17

Bổ đề 2.4

Giả sử rằng (F) thỏa mãn Nếu {vn} ⊂ PC% với vn→ v∗ và fn∈ PFp(vn)

thì fn* f∗ trong L1loc(R+; X ) với f∗∈ PFp(v∗)

Bổ đề 2.5

Giả sử rằng (A), (F) và (I) thỏa mãn Khi đó, toán tử nghiệm F là đóng

Trang 19

(t − s)α−1kPα(t − s)kχk(s)ds < ∞, (7)

ta có

χ∞(F (D)) ≤ ` · χ∞(D),với mọi tập bị chặn D ⊂ PC%

Trang 21

(t − s)α−1kPα(t − s)k

%(t − s) m(s)ds <

1

Trang 22

(t − s)α−1kPα(t − s)km(s)

khi đó, bài toán (1)-(3) có ít nhất một nghiệm tích phân trong PC%

Trang 23

Chương 3 :Tính ổn định yếu của điểm cân bằng

Ký hiệu Σ(ϕ) là tập nghiệm của bà toán (1)-(3) ứng với điều kiện ban đầu

ϕ sao cho 0 ∈ Σ(0) Nghiệm không của bài toán (1)-(3) được gọi là ổnđịnh tiệm cận yếu nếu nó là

1 ổn định: với mọi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu kϕkh< δ thì

kutkh< với mọi u ∈ Σ(ϕ) và t > 0, ở đây k · kh ký hiệu chuẩn suptrong C ([−h, 0]; X );

2 hút yếu: với mọi ϕ ∈ B, tồn tại u ∈ Σ(ϕ) thỏa mãn kutkh→ 0 khi

t → +∞

Trang 24

3.1 Giả thiết

(A*) Nửa nhóm W (·) sinh bởi A là liên tục theo chuẩn và ổn định mũ,

kW (t)xk ≤ MAe−βtkxk, ∀t ≥ 0, x ∈ X (F*) Hàm phi tuyến đa trị F thỏa mãn ( F) với m ∈ L1(R+) ∩ Lploc(R+)

Trang 26

Xét không gian

PC0 = {u ∈ PC ([0, +∞); X ) : lim

t→+∞u(t) = 0},với chuẩn

Trang 27

Định lí 3.2

Giả sử (A*), (F*), và (I) thỏa mãn Khi đó, bài toán (2.1)- (2.3) có

nghiệm tích phân thỏa mãn ku(t)k = o(1) khi t → +∞, với điều kiện

(t − s)α−1kPα(t − s)km(s)ds < 1 (16)

Định lí (3.3)

Trang 29

Hệ trên cũng có thể được coi như một mô hình nửa rời rạc của bao hàmthức:

Trang 30

(N1) Các hàm f1i, f2i : R+× R2→ R, i ∈ Z, liên tục và thỏa mãn

max{|f1i(t, y , z)|2, |f2i(t, y , z)|2} ≤ m2(t)(|y |2+|z|2), ∀(t, η, z) ∈ R+×R2,trong đó m ∈ C (R+; R+) thỏa mãn

m(t) ≤ Cm

1 + tα+1 với Cm> 0

(N2) Các hàm Iik : R → R, i ∈ Z, k ∈ N, là các hàm liên tục và

|Iik(y )| ≤ lk|y |,với {lk : k ∈ N} là một dãy không âm thỏa mãnP

k∈Nlk < ∞

Trang 31

Từ giả thiết N1N2 dẫn đến các điều kiện (15)-(16) thỏa mãn với các hệ số

Cm, lk, cj nhỏ, ta thu được tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm khôngcủa hệ (17)-(20)

Trang 32

Kết luận

Luận văn trình bày một số kết quả về tính giải được và tính ổn định yếucủa một hệ vi phân bậc phân số chứa xung và trễ hữu hạn Việc chứngminh tính giải được và tính ổn định yếu của điểm cân bằng sử dụng

nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén và việc lựa chọn độ đo khôngcompact trên không gian nghiệm đóng vai trò quan trọng

Các kết quả được trình bày dựa trên các công trình của nhóm tác giả TrầnĐình Kế–Đỗ Lân, nhưng em xem xét một mô hình đơn giản hơn Từ đó,các điều kiện đặt ra được giảm nhẹ

Các kết quả trình bày trong luận văn có thể mở rộng cho các hệ vi phânbậc phân số chứa xung với trễ vô hạn

Trang 33

EM XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN!

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	463,12 KB