Hoành độ cong bán kính cong tâm cong của đường cong trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN NGUYỄN LÊ NGÂN HOÀNH ĐỘ CONG – BÁN KÍNH CONG – TÂM CONG CỦA ĐƯỜNG CONG TRONG MẶT PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYỄN LÊ NGÂN

HOÀNH ĐỘ CONG – BÁN KÍNH CONG – TÂM CONG CỦA ĐƯỜNG CONG TRONG

MẶT PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học ThS ĐINH THỊ KIM THÚY

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của thầy cô trong tổ Hình học, các thầy cô trong khoa Toán – Trường đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trực tiếp giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Đinh Thị Kim Thúy – giảng viên khoa Toán trường đại học Sư phạm Hà Nội 2 người trực tiếp hướng dẫn em luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều xong thời gian và kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể thiếu khỏi nhiều thiếu sót rất mong sự đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của

em được hoàn thiện

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2014

SINH VIÊN

Nguyễn Lê Ngân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình của tới cô Đinh Thị Kim Thúy – giảng viên khoa Toán trường đại học Sư phạm

Hà Nội 2 cùng với sự cố gắng của bản thân em Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 Trong quá trình nghiên cứu khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của các nhà Toán học

Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài“Hoành độ cong- Bán kính

cong - Tâm cong của đường cong trong mặt phẳng” không có sự trùng lặp

với các đề tài khác

Hà Nội, Ngày……tháng… năm 2014 Sinh viên

Nguyễn Lê Ngân

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 2

Chương I: Kiến thức cơ bản về đường cong trong mặt phẳng 2

1.1 Cung tham số hóa 2

1.1.1 Đại cương 2

1.1.2 Khảo sát một cung tham số hóa 3

1.2 Đường cong trong tọa độ cực 10

1.2.1.Toạ độ cực 10

1.2.2 Biểu diễn một đường cong trong tọa độ cực 11

1.2.3 Khảo sát một đường cong trong tọa độ cực 13

1.3 Bài tập đề nghị 16

Chương 2: Hoành độ cong - Bán kính cong - Tâm cong của đường thẳng trong mặt phẳng 22

2.1 Hoành độ cong 22

2.1.1 Định nghĩa 22

2.1.2 Biểu diễn tham số theo hoành độ cong 24

2.2 Bán kính cong 27

2.3 Tâm cong 35

2.4 Bài tập đề nghị 37

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài:

Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tế, cũng như trong nghiên cứu khoa học Toán học là cơ sở, là nền tảng đề nghiên cứu các môn học khoa học khác

Trong quá trình học tập em được nghiên cứu về chuyên ngành Hình học, một bộ môn quan trọng và tương đối khó trong chương trình toán học phổ thông Với mong muốn được nghiên cứu sâu về Hình học và tìm hiểu sâu hơn nữa về đường cong trong mặt phẳng nhất là hoành độ cong, bán kính

cong, tâm cong Em đã chọn “Hoành độ cong- Bán kính cong - Tâm cong

của đường cong trong mặt phẳng” làm đề tài khoá luận

2 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu về hoành độ cong – bán kính cong – tâm cong của đường cong trong mặt phẳng

3 Đối tượng nghiên cứu:

Kiến thức về đường cong mặt phẳng, hoành độ cong, bán kính cong, tâm cong

4 Phạm vi nghiên cứu:

Một số bài toán về khảo sát đường cong trong mặt phẳng, tính hoành

độ cong, bán kính cong, tâm cong của đường cong trong mặt phẳng

5 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trình bày lí thuyết về đường cong trong mặt phẳng và một số lược đồ khảo sát đường cong, cách tính hoành độ cong, bán kính cong, tâm cong

6 Phương pháp nghiên cứu:

Nghiên cứu sách giáo giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu liên quan

NỘI DUNG Chương I: Kiến thức cơ bản về đường cong trong

mặt phẳng 1.1 Cung tham số hóa

*Biểu diễn tham số

Định nghĩa 1 Cho là một cung tham số hóa Ta gọi bộ phận { } của là quỹ đạo của f

Ta cũng nói rằng { } là một đường cong nhận f làm biểu diễn tham số

Định nghĩa 2 Cho là một cung tham số hóa (thuộc lớp )

1.Phép đổi tham số (thuộc lớp ) của f là mọi ánh xạ , trong đó J

là một khoảng của , sao cho:

1.1.2 Khảo sát một cung tham số hóa

1)Tiếp tuyến tại một điểm

Một điểm không chính quy cũng được gọi là điểm dừng

Nhận xét: Các khái niệm về điểm chính quy và điểm song chính quy là bất biến

1)Ta nói rằng Γ nhận một bán tiếp tuyến tại (tương ứng: )

khi và chỉ khi vectơ đơn vị AM

AM (nếu tồn tại) có giới hạn khi t tiến đến (tương ứng: ) Trong trường hợp đó, nửa tiếp tuyến tại (tương ứng: ) với Γ là nửa đường thẳng có gốc A được định phương vả định hướng bởi giới hạn đó

2) Ta nói rằng Γ nhận một tiếp tuyến tại khi và chỉ khi Γ nhận hai bán tiếp tuyến bằng nhau hay đối nhau tại và Trong trường hợp

đó, ta gọi đường thẳng đi qua A và mang hai nửa tiếp tuyến là tiếp tuyến với Γ tại

Định lý Cho là một cung tham số hóa thuộc lớp , Γ là quỹ đạo của

nó Tại mọi điểm chính quy A(t) của Γ, Γ nhận một tiếp tuyến và tiếp tuyến này được định hướng bởi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Định nghĩa 4 Cho là một cung tham số hóa thuộc lớp , Γ là quỹ đạo của nó, A(t) là một điểm chính quy của Γ Vectơ tiếp tuyến đơn vị (định hướng) của V tại A(t) là vectơ, kí hiệu là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (hoặc: ⃗ ), xác định bởi:

) ( '

t x

t y

+Nếu (và do đó ), thì T(t) song song với (y’y)

2)Dáng điệu của đường cong tại lân cận một điểm

Mệnh đề 2 Cho là một cung tham số hóa thuộc lớp , Γ là quỹ đạo của nó, M(t) là một điểm chính quy của Γ, D là một đường thẳng đi qua

và không được định phương bởi ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Khi đó, Γ xuyên qua d tại , tức là tại lân cận của với và t gần , Γ nằm hoàn toàn về phía đối với D, với và t gần , Γ nằm hoàn toàn về phía kia đối với D

Mệnh đề 3 Cho là một cung tham số hóa thuộc lớp , Γ là quỹ đạo của nó, M(t) là một điểm song chính quy của Γ Tại lân cận t, Γ thuộc nửa mặt phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến với Γ tại M(t) nằm về phía của ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Ta nói rằng

Γ quay phía lõm của nó theo hướng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Mệnh đề 4 Cho là một cung tham số hóa thuộc lớp thích hợp, Γ là quỹ đạo của nó, , ta kí hiệu:

p là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng 1 sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

q là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn p sao cho ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) độc lập

(ta giả thiết p và q đều tồn tại)

Trong lân cận của M(t), Γ có dáng điệu như sau, tùy theo tính chẵn lẻ của

3)Lược đồ khảo sát một cung tham số hóa

Cho Γ là một đường cong có biểu diễn tham số { ,

3)Khảo sát tại cận của các khoảng đó

4)Khảo sát đạo hàm của x, y, xác định các điểm làm triết tiêu x’, y’ và dấu của x’, y’

5)Lập bảng biến thiên gồm năm dòng t, x’, x, y’,y để ghi lại các kết quả trên đây

b)Khảo sát Γ

1)Xác định các nhánh vô tận và thể loại của chúng

2)Xác định các điểm không chính quy, loại của chúng, và dáng điệu của đường cong tại lân cận các điểm ấy

3)Xác định các điểm bội và các tiếp tuyến tại các điểm này

4)Khảo sát các điểm đáng chú ý (điểm dừng, …)

5)Khảo sát các điểm uốn, nếu ngữ cảnh cho phép

t x

t t y

(1 ) 0;1 ;

(3 ) '( )

(1 )

t

x t

t t

1 1

t x

t t

1 2

y

x

O

 x và y đều khả vi trên [0;  ) và:

2 2

4 '( )

(1 )

0, ,

1 4 '( )

(1 )

t

x t

t t

với t  1 và t = 1, tại các tiếp tuyến

với Γ tại O là hai đường phân giác, vì

1.2 Đường cong trong tọa độ cực

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Với mọi M thuộc , nếu là một hệ tọa độ cực của M trong R, thì

hệ tọa độ cực của M trong R’ là , theo hệ thức Chasles đối với góc

1.2.2 Biểu diễn một đường cong trong tọa độ cực

Giả sử với M(t) = f(t) là một cung tham số hóa thuộc lớp , Ґ

là quỹ đạo của nó Ta giả thiết:

Ta kí hiệu (x(t),y(t)) là tọa độ của M(t) trong Ánh xạ định nghĩa bởi :

( ) ( ) , ( )

 thuộc lớp , trên I Tồn tại một

ánh xạ trên thuộc lớp sao cho: Khi đó ta có:

{ √

√ Vậy là góc cực của M(t)

Ta kí hiệu J= (là một khoảng của ), và giả thiết Vậy là một - vi phôi, tức là một phép biến đổi tham số, vì thế

là một biểu diễn tham số thuộc lớp chấp nhận được của Ґ Đường cong C khi

đó được biểu diễn bởi , trong đó thuộc lớp Ta nói rằng Ґ nhận phương trình cực Trong hệ thức , có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0

Y

1

Ngược lại, với mọi a thuộc *, phương

trình cực biểu diễn đường tròn

2) Cho C là đường tròn đi qua O Phương trình Descartes của nó có dạng:

Các đường cônic có tiêu điểm tại gốc tọa độ

Đường conic C với tiêu điểm O, đường chuẩn liên kết D, tâm sai e, có phương trình cực là:

1 cos

p e

1.2.3 Khảo sát một đường cong trong tọa độ cực

1) Khảo sát một đường cong xác định bởi một phương trình cực trong lân cận một điểm

Cho Ґ là một đường cong nhận một phương trình cực , trong đó thuộc lớp thích hợp

a)Khảo sát tại điểm O

Giả thiết tồn tại sao cho và liên tục tại (và rằng là một không điểm cô lập của )

Vectơ chuẩn hóa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , là vectơ định hướng (OM), có giới hạn là ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ khi tiến tới ; vậy Ґ nhận đường thẳng đi qua O và có góc cực làm tiếp tuyến tại O

b)Khảo sát tại một điểm khác O

Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , suy ra, nếu thuộc lớp C1

2) Lược đồ khảo sát một đường cong cho bởi phương trình cực

Cho Γ là một đường cong có phương trình cực

4)Khảo sát (không bắt buộc) sự biến thiên của

5)Bảng ghi lại các kết quả trên đây

4) Khảo sát (không bắt buộc) về tính lõm và các điểm uốn

Bài tập 1: Cho C là một đường tròn, O là tâm của nó Một điểm P chạy trên C;

đường vuông góc tại O với (OP) và đường thẳng (AP) cắt nhau tại một điểm được kí hiệu là M Xác định quỹ tích điểm M khi P vạch trên C (trừ A)

Hướng dẫn giải:

Ta chọn hệ quy chiếu trực chuẩn  A i j ; ,  sao cho khi kí hiệu R( R > 0) là

bán kính của C, thì O sẽ có tọa độ (- R,0) Kí hiệu t là hệ số góc của (AP) và (X,Y) là tọa độ của P

R X

t Rt Y

1

t

t t

Bài tập 2: Cho C là một đường tròn, O là tâm của nó, A C , M là một điểm chạy khắp C

Xác định quỹ tích trực tâm của tam giác OAM

Hướng dẫn lời giải:

Ta chọn một hệ quy chiếu trực chuẩn  O i j ; ,  sao cho A R ( ,0) trong đó

R > 0 là bán kính của C

Tọa độ của M là

Có (OH) là đường phân giác của AOM và MH / / ' y y, ta suy ra tọa độ

1

t t

Bài tập 3: Xác định quỹ tích của các chân đường pháp tuyến hạ từ O đến các

tiếp tuyến của hypebol vuông C có phương trình xy  1.

Ta có x  0, y  0 suy ra ta có thể viết 1

y x

4

2 0

.

2 1

t x

 là 6 - tuần hoàn; ta sẽ cho  biến thiên trong một khoảng có độ dài

6 để thu được cả đường cong

  lẻ; ta sẽ cho  biến thiên trong 3

0, 2



khi lấy đối xứng)

Bài tập 5: Một điểm P vạch đường tròn C tâm O bán kính OA Xác định quỹ

tích các điểm tiếp xúc M của đường tròn nội tiếp tam giác OAP với đường tròn (OP)

Hướng dẫn giải:

Trong hệ quy chiếu trực chuẩn có gốc là điểm O(0,0)

Và điểm A có tọa độ (a,0), điểm P có tọa độ là P ( a cos  , a sin  ), trong

đó  là góc cực của P, do đó cũng là của M

Kí hiệu U, V là các hình chiếu trực giao của tâm đường tròn nội tiếp thứ

x

O

Chương 2: Hoành độ cong - Bán kính cong - Tâm cong

f I  là một cung tham số hóa, là quỹ đạo của

nó Ta gọi mọi ánh xạ thuộc lớp C1

trên I sao cho:

‖ ‖

là hoành độ cong trên Γ

Nhận xét:

1) Vì ánh xạ với ‖ ‖ liên tục trên I, nên một ánh

xạ là hoành độ cong trên Γ khi và chỉ khi tồn tại sao cho:

∫‖ ‖

Như vậy, Γ nhận vô số hoành độ cong, được suy ra từ một trong chúng bằng cách cộng thêm một hằng

Việc tính s được gọi là phép cầu trường Γ

Khi ta chọn một phần tử của I để định nghĩa một hoành độ cong

∫ ‖ ‖ trên Γ, ta nói rằng M( )(hoặc đúng hơn là ) là gốc hoành độ cong trên Γ

2) Ta thừa nhận rằng việc khảo sát có thể mở rộng trong trường hợp f thuộc lớp C1 từng khúc trên I

3) Tác động của một phép đổi tham số chấp nhận được

Giả sử J là một khoảng, là phép đổi tham số của f, tức là một ánh xạ sao cho:

Khi đó ta biết rằng: hoặc

Cho là một hoành độ cong trên Γ; ta kí hiệu là một ánh xạ thuộc lớp C1 trên J Ta có, với mọi u thuộc J:

Nếu , thì ta suy ra:

Vậy là một hoành độ cong trên Γ

Cũng vậy, nếu thì là một hoành độ cong trên Γ

4)Với kí hiệu trong định nghĩa 1, ta có:

f I  là một cung tham số hóa, là quỹ đạo của

nó Cho s là một hoành độ cong trên Γ, .Ta gọi:

 Độ dài(đại số) của cungAB trên Γ, và kí hiệu ở đây là l AB ( ), là số thực , tức là:

Mệnh đề 1 (Cộng tính của độ dài cung)

Cho là hai đường cong thuộc lớp C1 sao cho mút của là gốc của

Khi đó độ dài đường cong Γ có được do nối và là tổng các độ dài của

và

Chứng minh

Đường cong Γ nhận một biểu diễn tham số f thuộc lớp C1

từng khúc trên khoảng (sao cho mút của là gốc của ), và là các khoảng sao cho | và | là các biểu diến tham số của và .Ta có:

Mệnh đề 2 (Tính hoành độ cong trong tọa độ cực)

Cho Γ là một đường cong có phương trình cực , trong đó thuộc lớp C1 Khi đó, nếu ký hiệu s là hoành độ cong trên Γ, ta có:

f I  là một cung tham số hóa, là quỹ đạo của

nó Ta gọi mọi biểu diễn tham số chấp nhận được thuộc lớp C1

 Với mỗi biểu diễn tham số hóa chuẩn g của f, tồn tại một hoành độ cong s trên Γ sao cho: hoặc

Ta nói một cách đơn giản hơn rằng s và –s là những biểu diễn tham số của Γ

Chứng minh

Ta giả thiết f chính quy, tức là

Kí hiệu: là hoành độ cong

Ánh xạ f thuộc lớp C1 trên I, J = S(I) là một khoảng của và:

‖ ‖

Từ đó suy ra rằng là song ánh và rằng thuộc lớp C1

trên J Như vậy là một biểu diễn tham số chấp nhận được của f

Hơn nữa, khi kí hiệu , ta có:

‖ ‖ ‖

‖

‖ ‖ Vậy g là một biểu diễn tham số chuẩn của f

Ngược lại, cho là một biểu diễn tham số chuẩn của f Vì g là một biểu diễn tham số chấp nhận được của f Vì g là một biểu diễn tham số chấp nhận được của f, nên tồn tại sao cho:

{

ộc lớp ê

à á

ộc lớp ê

Định nghĩa 2 Vectơ tiếp tuyến đơn vị (định hướng) của Γ tại M(s) là vectơ:

 ⃗

 ⃗⃗ ⃗

 ⃗ ⃗⃗ là một hệ quy chiếu trực chuẩn thuận, được gọi là hệ quy chiếu Frenet tại M của Γ

Nhận xét: Bằng một phép biến đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng:

nghịch), ⃗ ⃗⃗ được bảo toàn (tương ứng: đổi thành đối của chúng)

Mệnh đề 2 Cho là một biến đổi tham số chuẩn thuộc lớp Ck

( của Γ Tồn tại một ánh xạ thuộc lớp Ck-1

Hơn nữa, nếu là ánh xạ như vậy, thì là ánh xạ hằng và là bội của 2

Nhận xét: 1) Với các giả thiết và các kí hiệu của mệnh đề trên, ta có:

Γ

M