Đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong En

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày và làm sáng tỏ những vấn đề cơ bản nhất về đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong không gian Euclid n-chiều và chỉ ra một số ví dụ

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC……… 0

MỞ ĐẦU ………. 1

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: ÁNH XẠ WEINGARTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n 3 1.1 Một số kiến thức về siêu mặt trong En……….………… 3

1.2 Ánh xạ Weingarten trên siêu mặt trong En……… 6

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG CHÍNH KHÚC TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n 15 2.1 Đường chính khúc trên siêu mặt trong En 15

2.2 Một số tính chất của đường chính khúc trên siêu mặt 17

2.3 Đường chính khúc trên một số mặt thường gặp trong E3 25

CHƯƠNG 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n 31 3.1 Đường tiệm cận trên siêu mặt trong En 31

3.2 Một số tính chất của đường tiệm cận trên siêu mặt 32

3.3 Đường tiệm cận của một số mặt trong E3 38

KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

Trong bộ môn Hình học vi phân, lí thuyết về đường và mặt có thể nói là một vấn đề rất quan trọng, nó có rất nhiều ứng dụng không chỉ trong toán học, vật lý, trong thực tiễn cuộc sống mà còn trong cả những ngành khoa học khác

có liên quan Vì vậy, việc tiếp tục tìm hiểu các nội dung liên quan đến các kiến thức toán về đường và mặt trên siêu mặt trong không gian Euclid n-chiều cần được quan tâm, nghiên cứu nhiều hơn nữa

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về đường và mặt trong hình học vi phân

cổ điển, với mục đích tập dượt nghiên cứu khoa học, đề tài đi sâu vào nghiên cứu một số đường đặc biệt trên mặt trong không gian 3 chiều và tổng quát hơn là trên siêu mặt trong không gian nhiều chiều

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn và nghiên cứu đề tài:

“Đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong E n ”

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày và làm sáng tỏ những vấn đề

cơ bản nhất về đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong không gian Euclid n-chiều và chỉ ra một số ví dụ về đường chính khúc và đường tiệm cận trên các mặt trong không gian Euclid E3

Nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Ánh xạ Weingarten trên siêu mặt trong En

Chương 2 Đường chính khúc trên siêu mặt trong En

Chương 3 Đường tiệm cận trên siêu mặt trong En

- Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản trên siêu mặt, các khái niệm liên quan đến siêu mặt trong En như: mảnh tham số, mảnh hình học, tích

có hướng trong không gian vectơ E n



, ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ cong trung bình, các dạng cơ bản I, II, công thức Meusnier, Euler trên siêu

mặt trong En và chứng minh một số tính chất liên quan để tạo thuận lợi cho việc trình bày các chương tiếp theo

- Chương 2: Trình bày định nghĩa và xây dựng phương trình dạng vi phân của họ các đường chính khúc trên siêu mặt trong En Chứng minh một số tính chất của đường chính khúc trên siêu mặt Minh họa một số ví dụ cụ thể

Từ đó áp dụng để tìm đường chính khúc và để viết phương trình đường chính khúc trong En và trên một số mặt thường gặp trong E3

- Chương 3: Trình bày định nghĩa và phương trình dạng vi phân của họ các đường tiệm cận trên siêu mặt Chứng minh một số tính chất của đường tiệm cận trên siêu mặt Minh họa một số ví dụ cụ thể Từ đó áp dụng để tìm đường tiệm cận và để viết phương trình đường tiệm cận trong En và trên một

số mặt thường gặp trong E3

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Quý thầy,

cô giáo và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

CHƯƠNG 1 ÁNH XẠ WEINGARTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n 1.1 Một số kiến thức về siêu mặt trong E n

1.1.1 Mảnh tham số k - chiều trong E n

Định nghĩa: Ánh xạ r từ một tập U mở trong Rk (k ≤ n-1) vào không gian Euclid n chiều En

r nếu tại điểm đó r là một dìm, tức là

(u ,u , ,u n )U được gọi là điểm không chính quy (điểm

kỳ dị) của mảnh tham số r nếu

gọi là siêu phẳng tiếp xúc của S tại P

1.1.2 Mảnh hình học k - chiều trong E n

Định nghĩa: Tập con S của En được gọi là mảnh hình học k-chiều

trong En nếu nó là ảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r: n

Ta gọi đa tạp n-1 chiều (được định nghĩa như trên) là một siêu mặt

trong En hay siêu mặt

1.1.4 Tích có hướng trong không gian vectơ E n

trực giao với các vectơ ai, i  1, n  1



(hay a ai

)

1.1.5 Vectơ tiếp xúc với siêu mặt S tại p

Cho S là siêu mặt trong E n

thì

i i

u u

Không gian vectơ tiếp xúc của S tại p được ký hiệu là TpS

Đường thẳng đi qua điểm p0 thuộc S và vuông góc với siêu phẳng tiếp xúc của S tại p0 gọi là pháp tuyến của S tại p0

1.1.6 Mặt định hướng

Mặt định hướng được khi trên không gian tiếp xúc của nó tại mỗi điểm có thể xác định một hướng sao cho mặt được phủ bởi một họ các mảnh hình học với tham số hóa địa phương : k n,

r U   R E I mà

ánh xạ tiếp xúc của chúng ánh xạ hướng chính tắc trên R k thành hướng đã xác định trên không gian tiếp xúc của mặt Một mặt định hướng được và khi đã xác định hướng trên mỗi không gian tiếp xúc như trên được gọi là

(TpS là không gian vectơ tiếp xúc của S tại p)

được gọi là ánh xạ Weingarten tại p

Lưu ý:

Cho cung tham số  : J S

t t và ' 

o t

là ánh xạ Weingarten tại p Vì hp là ánh xạ tuyến tính, đối xứng nên có các giá trị riêng là số thực

Các giá trị riêng của hp gọi là các độ cong chính của S tại p Mỗi

vectơ riêng của hp xác định một phương gọi là phương chính của S tại p

Nếu hp có n-1 giá trị riêng thực khác nhau đôi một k1, k2, , kn-1, (ki kj , i ≠ j ) thì khi đó n-1 phương chính hoàn toàn xác định và đôi một vuông góc với nhau nên tồn tại {e1, e2, ,en-1} là hệ (n-1) vectơ riêng trực chuẩn của TpS:

Nếu hp có các giá trị riêng thực bội n-1, k1 = k2 =… = kn-1

thì mọi vectơ trong TpS đều là vectơ riêng hay mọi phương đều là phương chính

Khi đó, với mọi cơ sở trực chuẩn {e1, e2, ,en-1} của TpS thì:

p

t h

n  gọi là độ cong trung bình của S tại p và ký hiệu là H(p)

 Định thức của hp gọi là độ cong Gauss của S tại p và được ký

Đặc biệt, trong trường hợp hp có 1 giá trị riêng (bội n-1) thì:

H(p) = k1 và K(p) = (k1)n-1

 Điểm p mà tại đó k1 = k2 = = kn-1 gọi là điểm rốn của S

Nếu k1 = k2 = = kn-1 = 0 thì p gọi là điểm dẹt

Nếu k1 = k2 = = kn-1 ≠ 0 thì p gọi là điểm cầu

1.2.4 Ví dụ

S là siêu cầu bán kính R, n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng

ra ngoài của S, với α TpS – {0}

1.2.5 Các dạng cơ bản I và II trên siêu mặt S

Định nghĩa: Cho S là siêu mặt n-1 chiều, định hướng trong En Với mỗi ρS ta xác định ánh xạ:

I p : T p S  T p S → R

( α , β )  α β

II p : T p S  T p S → R

( α , β ) h p ( α ) β

là những dạng song tuyến tính, đối xứng trên TpS, chúng được gọi theo thứ

tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p

Ta thường ký hiệu: I p ( α , α ) = I p ( α ); II p ( α , α ) = II p ( α ) và khi p thay đổi

dùng ký hiệu I, II

Giả sử r : (u1, u2, ,un-1)  r (u1, u2, ,un-1) là tham số hóa địa phương của S;

 là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên S

Khi đó, gij và hij được gọi theo thứ tự là các hệ số của dạng cơ bản I và II trong tham số hóa địa phương r

1.2.6 Độ cong pháp dạng Công thức Meusnier trên siêu mặt

Cho S là một siêu mặt có hướng trong En, γ là một cung chính quy nằm trong S, γ có tham số hóa tự nhiên là:

trong đó: k(t0) là độ cong của cung γ tại điểm t0;

N(t0) là vectơ pháp tuyến chính của γ tại điểm t0;

n(ρ(t0)) là vectơ pháp tuyến đơn vị của S tại ρ(t0);

T(t0) là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc ρ

Công thức (3) dẫn đến định nghĩa:

Định nghĩa : α là vectơ khác không của TpS, đặt    

 

II k

không đổi khi thay α bằng α (với R và  tùy ý khác 0) nên nó được gọi

là độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi α

Khi đó, theo định nghĩa trên thì công thức (3) trở thành:

 0  0   0    0 

và được gọi là công thức Meusnier trên siêu mặt

1.2.7 Công thức Euler trên siêu mặt

Ta gọi {e1, e2, ,en-1} là một cơ sở trực chuẩn của TpS gồm những vectơ riêng của hp ứng với các độ cong chính của S tại p: k 1 ,k2 , ,kn 1

n

i i i

a k





Từ công thức Euler, ta thấy: Nếu các độ cong chính   

CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG CHÍNH KHÚC TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n 2.1 Đường chính khúc trên siêu mặt trong E n

2.1.1 Định nghĩa

Đường trên siêu mặt S trong En mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là

phương chính của S tại điểm đó gọi là một đường chính khúc của S

Theo định nghĩa và theo cách đặt thì:

u

D n r

r d

Vì mọi điểm của siêu mặt S là điểm rốn;

 hp có đúng một giá trị riêng thực bội n-1, sao cho:

hp (α) = kα với α;

 Mọi phương đều là phương chính;

 Mọi đường trên S đều là đường chính khúc∎

2.2.2 Ví dụ

a) S là siêu phẳng thì mọi đường trên S đều là đường chính khúc Thật vậy, vì S là siêu phẳng nên trường vectơ pháp tuyến đơn vị n của S là trường vectơ song song nên hp = 0, với pS

 Mọi điểm của S đều là điểm rốn

Do đó, theo mệnh đề 2.2.1 thì mọi đường trên S là đường chính khúc

b) S là siêu cầu thì mọi đường trên S đều là đường chính khúc

Thật vậy, vì S là siêu cầu bán kính R, khi đó n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của S



 Mọi điểm của S đều là điểm rốn

Do đó, theo mệnh đề 2.2.1 thì mọi đường trên S là đường chính khúc

2.2.3 Mệnh đề

Các đường tọa độ của siêu mặt S là các đường chính khúc khi và chỉ khi h ij = g ij = 0, với i  j , trong đó h ij , g ij theo thứ tự là hệ số của dạng cơ bản I và II trong tham số hóa địa phương r

Chứng minh:

Từ ij

ij

0 0

h g

r r

D n r

r dx

D n r

r dx

2.2.4 Ví dụ

Giả sử mặt S trong E3 được cho bởi tham số hóa:

r : R2  E3 ( , )u v r u v( , )( ( ) cos , ( )sin , ( )) u v  u v  u

     Khi đó các đường kinh tuyến và vĩ tuyến là các đường chính khúc Thật vậy, ta có:

u

v

D n r

r du

D n r

r dv

2.2.5 Ví dụ

Giả sử mặt S trong E3 được cho bởi tham số hóa:

r : R2  E3 ( , )u v r u v( , )(3u3uv2 u3,3v3u v v2  3,3(u2 v2))

Khi đó các đường tọa độ của mặt S là đường chính khúc

(M là hệ số của dạng cơ bản II)

Theo mệnh đề 2.2.3, suy ra các đường tọa độ của mặt S là đường chính khúc

Nếu các vectơ tiếp xúc của đường trên siêu mặt là phương chính thì

độ cong pháp dạng theo phương tiếp xúc tại mỗi điểm của đường bằng một trong các độ cong chính

Chứng minh:

Giả sử α là một vectơ tiếp xúc bất kỳ của đường trên siêu mặt S tại p

Do α là phương chính nên tồn tại k  r sao cho: hp(α) = kα

Độ cong pháp dạng:

 

II k

Trong E n cho 2 siêu mặt S và S có hướng xác định tương ứng bởi

các trường vectơ pháp tuyến đơn vị n và n Nếu đường chính khúc γ

thuộc vào S S thì góc tạo bởi 2 siêu mặt S và S dọc  γ là không đổi

Chứng minh:

Giả sử γ là đường chính khúc của S, γ được xác định bởi cung tham số ρ: t ρ(t)

Khi đó: D n r  '

dt 

// Mặt khác ta có:   '

Ta có  là đường chính khúc củaS nên 1   ' 

Vậy γ cũng là đường chính khúc của S2 ∎

2.3 Đường chính khúc trên một số mặt thường gặp trong E 3

Trong E3, nếu mặt S có tham số hóa địa phương là:

r : U  S ( , )u v r u v( , )

thì phương trình vi phân của họ các đường chính khúc trong tham số hóa địa phương của mặt S là:

với E, F, G và L, M, N theo thứ tự là các hệ số của dạng cơ bản I và dạng

cơ bản II của S trong tham số hóa r

du dv

1 2

 2 2 22

CHƯƠNG 3 ĐƯỜNG TIỆM CẬN TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n

3.1 Đường tiệm cận trên siêu mặt trong E n

3.1.1 Định nghĩa

Phương xác định bởi α  T p S - {0} gọi là phương tiệm cận của S

tại p nếu độ cong pháp dạng của S theo phương đó là 0, tức k  0 Đường trên siêu mặt S trong En mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là

phương tiệm cận của S tại điểm đó gọi là một đường tiệm cận của S

3.1.2 Phương trình dạng vi phân của họ các đường tiệm cận trong tham số hóa địa phương của siêu mặt S

Giả sử r : U → S (u1, u2, ,un-1)  r (u1, u2, ,un-1) là một tham số hóa địa phương của siêu mặt S trong En

và (*) được gọi là phương trình dạng vi phân họ các đường tiệm cận

của siêu mặt S trong En

3.2 Một số tính chất của đường tiệm cận trên siêu mặt

 là phương tiệm cận của S tại (u 1,u2, ,un-1);

 ui là đường tiệm cận của S, i  1, n  1∎

3.2.2 Mệnh đề

Dọc đường tiệm cận γ của siêu mặt S, tồn tại độ cong chính không

âm và độ cong chính không dương,  P 

1

n i i a

(trong đó k k 1, 2, ,kn1 là các độ cong chính của S tại p)

Dọc đường tiệm cận γ của S, độ cong pháp dạng theo phương tiếp

3.2.4 Mệnh đề

Nếu đường cong γ trên siêu mặt S trong E n có độ cong khác 0 tại mọi điểm thì khi đó γ là đường tiệm cân của S khi và chỉ khi 2-phẳng mật tiếp của γ thuộc vào siêu phẳng tiếp xúc của S

Vì γ là đường tiệm cận nên k T s  0   0

Theo công thức Meusnier thì:

 vuông góc với 2-phẳng mật tiếp của γ tại s0 ;

 2-phẳng mật tiếp của γ tại s0 thuộc vào siêu phẳng tiếp xúc với S tại s0

() Giả sử 2-phẳng mật tiếp của γ tại s0 thuộc vào TpS

Giả sử S là siêu mặt có các độ cong chính cùng dấu:

Gọi {e1, e2, .,en-1} là một cơ sở trực chuẩn của TpS gồm các vectơ riêng của hp

1

n i i

α không là phương tiệm cận của S;

 siêu mặt S không có đường tiệm cận∎

k k > (k k 1, 2 là các độ cong chính của S tại p)

Lấy cơ sở trực chuẩn {e1, e2} của TpS gồm những vectơ riêng hp

tương ứng với các giá trị riêng k k 1, 2

Với   cos e1  sin e2 T S p  0 , độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi α là:   2  2

α không là phương tiệm cận của S;

 mặt S không có đường tiệm cận

điểm dẹt thì tại mỗi điểm của S có duy nhất một đường tiệm cận đi qua

Thật vậy:

Giả sử S là mặt trong E3 mà mọi điểm pS là điểm Parabolic thì

k k  (k k 1, 2 là các độ cong chính của S tại p)

Lấy cơ sở trực chuẩn {e1, e2} của TpS gồm những vectơ riêng hp

tương ứng với các giá trị riêng k k 1, 2

Với   cos e1  sin e2 T S p  0 , thì độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi α là:   2

Vậy tại pS phương xác định bởi α =e 2 là phương tiệm cận của S

Do đó siêu mặt S có duy nhất một đường tiệm cận đi qua

k k là các độ cong chính của S tại p)

Lấy cơ sở trực chuẩn {e1, e2} của TpS gồm những vectơ riêng hp

tương ứng với các giá trị riêng  k k1, 2

Theo công thức Euler, tồn tại   cos e1  sin e2 T S p  0 để độ cong pháp dạng của S theo phương xác định bởi α là:

   1, 2 là hai phương tiệm cận của S tại p

Vậy tại mỗi điểm pS, siêu mặt S có hai phương tiệm cận

3.3 Đường tiệm cận của một số mặt trong E 3

Trong E3, nếu mặt S có tham số hóa địa phương là:

du1 = du và du2 = dv

Vậy phương trình (*) trở thành:

L(du) 2 + 2Mdudv + N(dv) 2 = 0

3.3.1 Đường tiệm cận của mặt trụ

Trong E3, mặt trụ có phương trình biểu diễn là:

cos sin

  , với C = const, a R

Vậy trên mặt trụ, đường tiệm cận là các đường tọa độ:

u  C , với C = const, a  R

3.3.2 Đường tiệm cận của mặt nón

Trong E3, mặt nón có phương trình biểu diễn là:

cossin