khai thác tính chất của hàm số

Vậy thì những học sinh khá giỏi toán có thể tạo ra được những bài toán như thế không?. Xin thưa rằng không những các em có thể tạo ra được những bài toán như thế mà còn có khả năng là “t

b a

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

≤ + +

+ + + + +

+ + + +

+

+

+

b a c

b a c a

c b

a c b c

hay một kỉ thuật “tinh xảo” nào đó không ? Xin trả lời rằng chỉ cần dùng một tính chất đơn giản của hàm số là ta có thể giải quyết được hai bài toán đó Vậy thì những học sinh khá giỏi toán có thể tạo ra được những bài toán như thế không ? Xin thưa rằng không những các em có thể tạo ra được những bài toán như thế mà còn có khả năng là “tác giả” của những bài toán hay và khó hơn Thiết nghỉ để các em có thể trở thành “chủ nhân” của những bài toán hay và khó thì ngoài việc truyền thụ kiến thức cơ bản cho học sinh giáo viên nên cho các em

học sinh tiến hành hoạt động “khai thác những vấn đề tưởng chừng như đơn giản” trong SGK Đây là hoạt động rất cần thiết để phát triển tư duy sáng tạo;

phát triển tính chịu khó tìm tòi, đào sâu suy nghỉ của học sinh để từ đó giáo viên phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu toán học Vì lí do đó mà tôi chọn viết đề tài này

I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Có rất nhiều vấn đề có thể “khai thác” được trong SGK, Sách Bài Tập,

Sách Tự Chọn Thiết nghỉ tôi và các đồng nghiệp phải thường xuyên chịu khó

“tìm tòi” những vấn đề đó rồi định hướng cho học sinh và yêu cầu các em tự mình “khai thác” để tìm ra những “cái mới” của riêng các em Nếu chúng ta làm tốt hoạt động này thì sẽ phát huy được năng lực của học sinh; các em sẽ chủ động hơn trong việc tiếp thu kiến thức và có thể các em sẽ tìm ra một phương pháp học hiệu quả nhất cho riêng mình Bài viết này không mong muốn thể hiện

hết các ý trên mà chỉ được xin phép đưa ra một dẫn chứng khi “Vận dụng hai tính chất của hàm số để sáng tạo và chứng minh các bài toán”.

I.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Học sinh lớp 12 (Chú trọng học sinh khá giỏi)

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT

PHẦN II NỘI DUNG

II.1 NHỮNG THUẬN LỢI VÀ KHÓ KHĂN

1 Thuận lợi

- Bản thân tôi được Nhà trường; Tổ chuyên môn quan tâm giúp đỡ, khuyến

khích động viên trong việc tổ chức các cuộc thi về Toán học như: “Giải toán có thưởng”; “Câu lạc bộ Toán học & Bạn yêu toán”; cuộc thi “Ai là tác giả của nhiều bài toán nhất”;…

- Bản thân tôi là giáo viên trẻ nhiệt tình, luôn chịu khó tìm tòi sáng tạo, có kinh nghiệm và nhiều ý tưởng trong việc tổ chức các cuộc thi về Toán học

- Có rất nhiều học sinh đặc biệt là những học sinh lớp chọn có tố chất; nhiệt tình và luôn mong muốn tìm hiểu, khám phá những vấn đề mới của Toán học

2 Khó khăn

Bên cạnh những thuận lợi thì tôi củng gặp một số khó khăn nhất định sau:

- Đặc thù của môn Toán là rất khó so với các môn học khác nên các em thường có tâm lý e ngại khi học Toán, chưa nói đến việc “khai thác, hiểu sâu” về môn Toán

- Phần lớn học sinh của trường đều có hoàn cảnh gia đình khó khăn nên các bậc phụ huynh chưa chú trọng vào việc học của con em mình; từ đó các em học sinh củng sao nhãng trong việc học tập của bản thân Đầu vào lớp 10 của các em còn rất thấp so với mặt bằng chung toàn Tỉnh đặc biệt là môn Toán

- Các em còn có tâm lý rụt rè khi tham gia các cuộc thi nói chung và các cuộc thi về Toán học nói riêng

II.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

- Có thể nói có không ít giáo viên đã “lãng quên” đi hoạt động “khai thác những vấn đề” trong SGK Nếu chúng ta chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản cho

học sinh mà bỏ qua hoạt động này thì không những bản thân chúng ta sẽ bị mai một kiến thức mà các em học sinh sẽ bị động trước một vấn đề “tưởng chừng như mới mẽ” của toán học; khả năng suy luận, tư duy, sáng tạo của học sinh sẽ

bị hạn chế Đây là thực trạng đáng buồn cho nhiều giáo viên

- Một số học sinh mang khuynh hướng “học đối phó, học để thi” nên không muốn “hiểu sâu, hiểu rộng” về một vấn đề nào đó của toán học Do vậy các em luôn “nói không” hoặc không nhiệt tình khi tham gia các cuộc thi về Toán học

II.3 KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI ĐỀ TÀI

Đề tài này có khả năng ứng dụng và triển khai rộng khắp cho môn Toán ở các trường THPT, trường BC, trường DL Tôi tin tưởng vào tính khả thi của đề tài này Hy vọng các đồng nghiệp sẽ triển khai và ứng dụng thành công./

II.4 LÝ THUYẾT CƠ SỞ

1 Hai tính chất hiển nhiên đúng của hàm số

Tính chất 1 Cho đồ thị hàm số y = f(x)

lồi trên khoảng (a; b) Cát tuyến AB có

phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm C có hoành độ x0

thuộc khoảng (a; b) có phương trình

y = ax + b Ta luôn có bất đẳng thức

Ax B f (x) ax b + < ≤ + với ∀ ∈ x ( )a;b .

( Xem hình 1) Hình 1

Tính chất 2 Cho đồ thị hàm số y = f(x)

lõm trên khoảng (a; b) Cát tuyến AB có

phương trình y = Ax + B, tiếp tuyến của

đồ thị hàm số tại điểm C có hoành độ x0

thuộc khoảng (a; b) có phương trình

y = ax + b Ta luôn có bất đẳng thức

ax b f (x) Ax B + ≤ < + với ∀ ∈ x ( )a;b .

( Xem hình 2) Hình 2

2 Nhắc lại một số kiến thức sử dụng trong đề tài

1 Nếu f (x) 0 '' > , ∀ ∈ x (a;b) thì đồ thị hàm số y = f(x) lõm trên khoảng (a; b)

2 Nếu f (x) 0 '' < , ∀ ∈ x (a;b) thì đồ thị hàm số y = f(x) lồi trên khoảng (a; b)

3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm C(x0; f(x0)) là

II.5 VẬN DỤNG HAI TÍNH CHẤT TRÊN

Ta sẽ áp dụng hai tính chất nêu trên cho các hàm số quen thuộc để tạo ra các bài toán về Bất đẳng thức và các bài toán về Phương trình

1 Vận dụng cho hàm số lượng giác

suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng ( )0; π Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0 ∈( )0; π có phương trình

'

y f x = x x − + f x = cos x x x − + sinx Theo tính chất 1 ta có bất đẳng

thức: sinx cos x x x ≤ 0( − 0) + sinx 0(1) Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = sinx lồi trên

khoảng (0;x 1) ( )⊂ 0; π Cát tuyến OA qua hai điểm O(0; 0) và A x ;sinx( 1 1) có

Bây giờ ta sẽ vận dụng BĐT(1) và BĐT(2) để tạo ra một số bài toán

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc A; B; C của tam giác ABC và x0

π (vì A B C+ + = π) Vậy là ta có bài toán

sau:

Bài 1 a) Chứng minh: sin A sin B sin C 3 3

2

+ + ≤ với mọi tam giác ABC

b) Chứng minh: sin A sin B sin C 2 + + > với tam giác ABC nhọn.

π

** Áp dụng BĐT(2) cho các góc A B C; ;

2 2 2 (với A; B; C là số đo các góc của

tam giác nhọn ABC) và x1

bài toán sau:

Bài 2 a) Chứng minh: sinA sinB sinC 3

2 + 2 + 2 ≤ 2 với mọi tam giác ABC b) Chứng minh: sinA sinB sinC 2

2 + 2 + 2 > với mọi tam giác nhọn ABC.

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc A B C; ;

4 4 4 (với A; B; C là các góc của tam giác ABC) và x0

bài toán sau:

Bài 3 a) Chứng minh: sinA sinB sinC 3 2 3

−

b) Chứng minh: sinA sinB sinC 2 2

4 + 4 + 4 > − với mọi tam giác nhọn ABC.

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc A B Cn ; n; n

2 2 2 (với A; B; C là các góc của tam giác ABC) và x 0 n

với mọi tam giác ABC và n N, n 2 ∈ ≥

b) Chứng minh: sin An sin Bn sin Cn 2 2 2

2 + 2 + 2 > − + + (n −dấu căn) với mọi tam giác nhọn ABC và n N, n 2 ∈ ≥ .

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc AB; BC; CA với A; B; C là các góc của tam giác ABC và x0

Bài 5 Chứng minh: sin AB sin BC sin CA 3 3

2

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc 3 A B; B C; C A 2 3 2 3 2 với A; B; C là các góc của tam giác ABC và x 0

tam giác ABC (n,k N;n 2;1 k n ∈ ≥ ≤ < ).

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc 2AB 2BC 2CA; ;

A B B C C A + + + (với A; B; C là số đo các góc của tam giác ABC) và x0

3

π

= ta có:

Bài 8 Chứng minh rằng: sin 2AB sin 2BC sin 2CA 3 3

giác ABC.

** Áp dụng BĐT(1) cho các góc 1 AB;1 BC;1 CA

2 2 2 với A; B; C là các góc của tam giác ABC và x0

2 + 2 + 2 ≤ 2 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

A B C

3

π

Bài 9 Chứng minh rằng: sin1 AB sin1 BC sin1 CA 3

2 + 2 + 2 ≤ 2 Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

2 + 2 + 2 ≤ 2 với mọi tam giác

hàm số tại điểm có hoành độ x 0 0;

y f x = x x − + f x = − sin x x x − + cosx Theo tính chất 1 ta có bất

đẳng thức: cosx ≤ − sin x x x 0( − 0) + cosx 0(3).

Dễ thấy đồ thị hàm số f(x) = cosx lồi trên khoảng (0;x 1) 0;

cosA+ B+ C ≤ với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 13 a) Chứng minh: cosA cosB cosC 3 3

2 + 2 + 2 ≤ 2 với mọi tam giác ABC b) Chứng minh: cosA cosB cosC 2

2 + 2 + 2 > với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 14 a) Chứng minh:cosA cosB cosC 3 2 3

+

b) Chứng minh: cosA cosB cosC 2 2

4 + 4 + 4 > + với mọi tam giác nhọn ABC.

căn) với mọi tam giác ABC và n N, n 2 ∈ ≥

b) Chứng minh: cos An cos Bn cos Cn 2 2 2

2 + 2 + 2 > + + + (n −dấu căn) với mọi tam giác nhọn ABC và n N, n 2 ∈ ≥ .

c Hàm số y = tanx

Xét hàm số f(x) = tanx trên khoảng 0;

tan A tan B tan C 4 A B C + + ≥ + + − π + 3 3 3 3 = (vì A B C + + = π) Đẳng thức

xãy ra khi và chỉ khi A B C

3

π

Bài 16 Chứng minh: tan A tan B tan C 3 3 + + ≥ với mọi tam giác ABCnhọn

** Áp dụng BĐT(5) cho các góc A B C; ;

2 2 2 (với A; B; C là số đo các góc của

tam giác ABC) và x0

Bài 17 a) Chứng minh: tanA tanB tanC 3

2 + 2 + 2 ≥ với mọi tam giác ABC b) Chứng minh: tanA tanB tanC 2

2 + 2 + 2 < với mọi tam giác nhọn ABC.

** Áp dụng BĐT(5) cho các góc A B C; ;

4 4 4 (với A; B; C là các góc của tam giác ABC) và x0

4 + 4 + 4 ≥ − với mọi tam giác ABC b) Chứng minh: A B C ( )

4 + 4 + 4 < − với mọi tam giác nhọn ABC.

** Áp dụng BĐT(5) cho các góc A B Cn ; n; n

2 2 2 (với A; B; C là các góc của tam giác ABC) và x0 n

Vậy là ta có bài toán tổng quát sau:

Bài 19 a) Chứng minh: tan An tan Bn tan Cn 3 2 2 3

căn) với mọi tam giác ABC và n N, n 2 ∈ ≥

b) Chứng minh: tan An tan Bn tan Cn 2 2 2 2

4 + 4 + 4 ≥ + với mọi tam giác ABC b) Chứng minh: A B C ( )

4 + 4 + 4 < + với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 23 a) Chứng minh: cot An cot Bn cot Cn 3 2 2 3

b) Chứng minh: cot An cot Bn cot Cn 2 2 2 2

− + + (n−dấu

căn) với mọi tam giác nhọn ABC và n N, n 2 ∈ ≥ .

** Áp dụng BĐT(7) cho các góc AB; BC; CA với A; B; C là các góc

của tam giác nhọn ABC và x 0

Bài 24 Chứng minh: cot AB cot BC cot CA + + ≥ 3với mọi tam giác ABC nhọn.

** Áp dụng BĐT(7) cho các góc 3 A B; B C; C A 2 3 2 3 2 với A; B; C là các góc của tam giác nhọn ABC và x 0

Bài 25 Chứng minh: cot A B cot B C cot C A 3 2 + 3 2 + 3 2 ≥ 3 với mọi tam giác nhọn ABC.

Bài 26 Chứng minh rằng: cot A B n n k − k + cot B C n n k − k + cot C A n n k − k ≥ 3 với mọi tam giác ABC nhọn (n,k N;n 2;1 k n ∈ ≥ ≤ < ).

** Áp dụng BĐT(7) cho các góc 2AB 2BC 2CA; ;

A B B C C A + + + (với A; B; C là số đo các góc của tam giác nhọn ABC) và x0

Bài 27 Chứng minh: cot 2AB cot 2BC cot 2CA 3

Bài 28 Chứng minh: cot1 AB cot1 BC cot1 CA 3 3

2 + 2 + 2 ≥ Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

với mọi tam giác ABC (n,k N;n 2;1 k n ∈ ≥ ≤ < ).

3 2

2

2

=

− + +

≤ + +

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a 1;b 1;c 2 = = = và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 31 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 4 + + = Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 ≤ 6 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

** Áp dụng BĐT(9) cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn a b c 5+ + = ta có

9 6 ) (

3 2

2

2

=

− + +

≤ + +

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a 1;b 2;c 2 = = = và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 32 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 5 + + = Chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 ≤ 9 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

** Áp dụng BĐT(9) cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 ta có

9 1 1 1 2 3

2

3 2

3 2

+ +

≤ +

≤ +

c b b a a

+ +

+ + +

≥

⇔

c b a c

b a c

b a c

b

( 10

2

25 1 1 1 ) 1

+ +

⇔

c b a c b

a và các hoán vị của ba số a; b; c Vậy là ta thu được bài toán

Bài 33 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 .Chứng minh:

2

25 1 1 1 ) 1

+ +

c b a c b

Đẳng thức xãy ra khi nào ?

− + +

≥

⇔

c b a c

b a c

b a c

b

( 8

⇔

c b a c b

a Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a và các hoán vị của ba số a; b; c Vậy là ta thu được bài toán

Bài 34 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 .Chứng minh: ( 1 ) 1 1 1 ≤ 8

c b a c b

b Hàm số bậc ba

Xét hàm số f (x) x = 3 trên đoạn [ ]1;2 ; ta có f (x) 6x 0 " = > với mọi x ∈[ ]1;2 suy

ra đồ thị hàm số lõm trên đoạn [ ]1;2 Cát tuyến AB đi qua hai điểm thuộc đồ thị

là A(1; 1) và B(2; 8) có phương trình y = 7x – 6 Theo tính chất 2 ta có BĐT:

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a 1;b 1;c 2 = = = và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 35 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 4+ + = Chứng

minh rằng: a 3 + + ≤ b 3 c 3 10 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(10) cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn a b c 5+ + = ta có

Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a 1;b 2;c 2 = = = và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 36 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn đẳng thức a b c 5+ + = Chứng

minh rằng: a 3 + + ≤ b 3 c 3 17 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(10) cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 ta có

2 3

+ +

+ + +

≥

⇔

c b a c

b a c

b a c

+ +

⇔

c b a c

b

a Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a 1;b 1;c 2 = = = và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 37 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 Chứng minh bất đẳng thức:

+ +

+ + +

≥

⇔

c b a c

b a c

b a c

+ +

⇔

c b a c

b

a Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

a 1;b 2;c 2 = = = và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 38 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 Chứng minh bất đẳng thức:

4 5

4 5

2 2 2 4

4 4 2

4

2

4

2 4

− + +

≤ + +

b a c

**Áp dụng BĐT(11) cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn a+b+c= 5 ta

4 5

4 5

4 5

2 2 2 4

4 4 2

4

2

4

2 4

− + +

≤ + +

b a c

2

2 +b +c ≤

a Kết hợp với (d) ta thu được:a4 +b4 +c4 ≤ 33 Đẳng thức xãy ra khi

và chỉ khi a 1;b 2;c 2 = = = và các hoán vị của ba số a;b;c Vậy là ta thu được bài toán:

Bài 40 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;2 thoả mãn đẳng thức a+b+c= 5 Chứng minh rằng: a 4 + + ≤ b 4 c 4 33 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

** Áp dụng BĐT(11) cho các số thực a;b;c;d ∈[ ]1;2 ta có

2 2

2 2

+

2 2 2 2 2

2 2

26

d c b a d

c b a d

c b a d

c b

a

2 2 2

+ +

+

⇔

d c b a d

+ + +

d c b a d

c b

Mặt khác ta thấy BĐT(e) tương đương với BĐT

+ +

+ +

+

2 2 2 2 2

2 2

4 2

1 1 1 1 4 20

d c b a d c b a d

c b a d

c b

+

+

⇔

d c b a d c

b

a Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi

2

; 2

Bài 42 Cho các số thực a;b;c;d ∈[ ]1;2 Chứng minh bất đẳng thức sau:

+ +

d c b a d c b

3 Vận dụng cho hàm số luỷ thừa

+ + ≤ Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(12) cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;4 thoả mãn điều kiện

x ∈ 1;8 suy ra đồ thị hàm số lồi trên đoạn [1; 8] Cát tuyến AB đi qua hai điểm

thuộc đồ thị là A(1; 1) và B 8;4( ) có phương trình y 3x 4

minh rằng: a23 + b23 + c23 ≥ 6 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

**Áp dụng BĐT(13) cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;8 thoả mãn điều kiện

minh rằng: a23 + b23 + c23 ≥ 9 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

Bài 48 Cho các số thực a;b;c ∈[ ]1;4 thoả mãn đẳng thức a b c 9+ + = Chứng

minh rằng: a32 + b32 + c32 ≤ 17 Đẳng thức xãy ra khi nào ?

4 Vận dụng cho hàm số mũ và hàm số lôgarit