Giải phương trình – bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số

Lí do chọn đề tài Đối với học sinh THPT thì khái niệm phương trình, bất phương trình thì lên lớp 10 mới được định nghĩa, nhưng trên thực tế thì phương trình, bất phương trình đã học và g

Mục lục

2.3

2.3.1 Giải phương trình , bất phương trình

2.3.2 Giải phương trình , bất phương trình chứa tham số

12

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với học sinh THPT thì khái niệm phương trình, bất phương trình thì lên lớp 10 mới được định nghĩa, nhưng trên thực tế thì phương trình, bất phương trình đã học và giải từ rất sớm bằng các bài toán tìm số chưa biết thỏa mãn các điều kiện cho trước Do đó khi học và giải các phương trình, bất phương trình thì học sinh đã quá quen thuộc, vấn đề là giải như thế nào cho hợp lôgic Những phương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phương trình, bất phương trình quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn Lớp 11 có phương trình lượng giác Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Đặc biệt ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Với tính năng ưu việt của việc ứng dụng đạo hàm vào giải toán, không những chỉ đơn thuần giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số như biện luận số nghiệm của phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mà còn có thể giải quyết được rất nhiều dạng toán như khảo sát nghiệm phương trình và bất phương trình vô tỉ, đặc biệt là các dạng phương trình, bất phương trình chứa tham số Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy bộ môn toán THPT tôi nhận ra rằng toán học nói riêng và bộ môn khoa học tự nhiên nói chung thật xa lạ, thậm chí là nỗi “khiếp sợ” đối với đông đảo học sinh Điều gì đã khiến học sinh suy nghĩ như vậy? Tôi nhận thấy, đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo

về sự vận dụng kiến thức, nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay mở rộng những kiến thức đã có vào từng dạng toán cụ thể Trong các kỳ thi, ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán, các

em luôn đặt ra câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy ? ’’ Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán - môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em học sinh THPT ta phải cần giải quyết các vấn đề sau:

Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình bằng những phép biến đổi tương đương thông thường thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10

và lớp 11, nhưng giải bằng ứng dụng tính đơn điệu và giá trị lớn nhất, giá trị

nhỏ nhất thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh lại lúng túng trong lời giải, dẫn đến sai kết quả

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về phương trình, bất phương trình hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có điều kiện mà trong lời giải

có bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện của nó, hoặc đã tìm chính xác điều của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ thì lại không xét trên điều kiện ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác

Ba là: Từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết phải giải quyết như thế nào

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình bằng việc ứng dụng tính chất của hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán về phương trình, bất phương trình sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy, ngắn gọn và

đơn giản Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “Giải phương trình – Bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giao điểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình Đặc biệt là phương trình, bất phương trình chứa tham số

Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình hoặc bài toán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức có điều kiện mà phải thực hiện việc đặt ẩn phụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụ thực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm số Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bài toán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩn phụ trên điều kiện của nó Đó là điều quan trọng

để chọn đặt hàm số tương ứng trên tập giá trị của ẩn phụ

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình

có tham số

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình và các bài toán tìm GTLN, GTNN đặc biệt là các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số

- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit

1.4 Kế hoạch nghiên cứu (Bỏ)

Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ

sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh THPT, chủ yếu là học sinh cuối cấp chuẩn bị bước vào các kì thi làm các bài toán về phương trình, bất phương trình Khi đó học sinh có thể làm được các bài toán

mà sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình, bất phương trình bậc hai có thể tính toán đơn thuần thông qua biệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta được một vế là hàm số bậc hai đối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không chính xác do không để ý tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc có tìm điều kiện của ẩn phụ nhưng tìm không chính xác

Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về phương trình, bất phương trình có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì học sinh không thể giải được vì các em chưa biết cách sử dụng các tính chất của hàm số hoặc có sử dụng nhưng còn máy móc, thiếu chính xác

Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứng dụng của đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó từ đầu năm học 2017 – 2018 tôi đã nghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chọn ôn thi và từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN của hàm số Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?” Phương pháp được sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề

tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn ôn thi, tôi đã lồng ghép các bài tập phương trình, bất phương trình mà khi giải phải cần đến hàm số Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em

về nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài

và một số học sinh khác nhận xét lời giải Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp

để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận:

2.1.1.Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên D.

Nếu f x ' ( ) ≥ ∀ ∈ 0, x Dthì hàm số f x( ) đồng biến (tăng) trên D

Nếu f x ' ( ) ≤ ∀ ∈ 0, x Dthì hàm số f x( ) nghịch biến (giảm) trên D

(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)

Nếu hàm f x( ) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình

f x =k k∈ ¡ có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

Nếu hàm f x( ) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có

( )

( )

f u = f v ⇔ =u v

Nếu hàm f x( ) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có

( )

( )

f u < f v ⇔ <u v ( f u( ) < f v( ) ⇔ >u v)

Nếu hàm f x( ) tăng và g x( ) là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b)

thì phương trình f x( ) =g x( )có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Cauchy : Nếu hàm số f x( ) liên tục trên [ ]a b; và f a f b( ) ( ) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm x0 ∈( )a b; để f x( )0 = 0

Nếu hàm số f x( ) đơn điệu và liên tục trên [ ]a b; và f a f b( ) ( ) < 0 thì tồn tại duy nhất một điểm x0 ∈( )a b; để f x( )0 = 0

Nếu f x( ) là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì

y = n f x n N n ( ), ∈ , ≥ 2 đồng biến (nghịch biến ), 1

( )

f x với f x( ) > 0là nghịch biến ( đồng biến), y= −f x( )nghịch biến (đồng biến ).

Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến ) trên D

Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến ) trên D

2.1.2 Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên D.

Số M được gọi là GTLN của hàm số y= f x( ) trên D nếu f x( ) ≤M, ∀ ∈x D

và ∃ ∈x0 Dsao cho f x( )0 =M Kí hiệu M =mDax ( )f x

Số m được gọi là GTNN của hàm số y= f x( ) trên D nếu f x( ) ≥ ∀ ∈m x D,

và ∃ ∈x0 Dsao cho f x( )0 =m Kí hiệu m= min ( )D f x

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số

* Từ việc lập BBT của hàm số ( )f x trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy

những điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN ( GTNN ) của hàm số

* Nếu hàm số ( )f x xác định và liên tục trên đoạn [ ]a b thì ta có thể tìm; GTLN và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên đoạn [ ]a b mà tại đó; f x bằng 0 hoặc'( ) '( )

f x không xác định.

- Tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 f x2 f x n

- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số ( )

f x trên đoạn [ ]a b ;

2.1.3 Các dạng toán liên quan

a) Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi

chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy

nhất

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi

dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng

suy ra phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu

khi đó ta có: u = v

Đối với bất phương trình thì biến đổi về dạng f u( ) < f v( ) rồi chứng minh f đơn

điệu để kết luận

b) Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLN-GTNN.

Xuất phát từ bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là dựa vào đồ thị hàm số ( )

y= f x biện luận số nghiệm của phương trình f x( ) =g m( )thì số nghiệm của phương trình f x( ) =g m( )chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( )với đường thẳng y g m= ( ) Ta giải các bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số theo các định hướng sau:

Biến đổi các phương trình, bất phương trình chứa tham số m về dạng : ( ) ( )

f x =g m với hàm số ( )f x có GTLN - GTNN trên tập xác định D Khi đó:

- Phương trình f x( ) =g m( ) có nghiệm trên D khi và chỉ khi

min ( )f x ≤g m( ) ≤max ( )f x .

- Bất phương trình ( )f x >g m( ) thỏa mãn x D∀ ∈ khi và chỉ khi

min ( ) ( )

D f x >g m .

- Bất phương trình ( )f x <g m( ) thỏa mãn x D∀ ∈ khi và chỉ khi max ( ) ( )

D f x <g m .

- Bất phương trình ( )f x >g m( ) có nghiệm x D∈ khi và chỉ khi

ax ( ) ( )

D

- Bất phương trình ( )f x <g m( ) có nghiệm x D∈ khi và chỉ khi

min ( ) ( )

D f x <g m

Trong trường hợp hàm số ( )f x không có GTLN hoặc GTNN trên tập

D ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp.

Nếu bất phương trình có dạng " " ≤ hoặc " " ≥ thì bổ sung thêm dấu " "=

cho các điều kiện

2.2 Thực trạng của đề tài:

Đối tượng học sinh tôi trực tiếp giảng dạy có học lực yếu, trung bình và trung bình khá nên khi giải phương trình , bất phương trình thì học sinh rất lúng túng không biết giải quyết vấn đề từ đâu

Qua việc khảo sát, kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường làm không đúng hoặc không làm được

2.3 Giải pháp thực hiện:

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên theo hướng

dễ tiếp cận đối với học sinh

Kiến thức cơ bản:

2.3.1 Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số

a) Các ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x− + 1 4x2 − = 1 1 (1)

Nhận xét:

Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng Từ đó suy ra vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 1 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu.

Giải

Điều kiện: x≥12

Đặt f x( ) = 4x− + 1 4x2 − 1 Ta có '( )

2

0, ;

2

4 1 4 1

x

 

= + > ∀ ∈ +∞÷

Do đó hàm số f x( ) = 4x− + 1 4x2 − 1 đồng biến trên 1;

2

+∞÷

 , nên phương trình ( ) 1

f x = nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất Hơn nữa, 1 1

2

f  = ÷

  nên 1

2

x= là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 2: Giải phương trình: x+ x− + 5 x+ + 7 x+ 16 14 = (2)

Nhận xét:

Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử căn thức bằng cách bình phương, lập phương hoặc nhân lượng liên hợp Trong bài này chỉ có thể nhân liên hợp là hợp lí.

Giải

Cách 1: Dùng lượng liên hợp

Điều kiện: x≥ 5 Khi đó

Vậy x= 9 là nghiệm của phương trình

Cách 2: Dùng hàm số

Điều kiện: x≥ 5 Đặt f x( ) = x+ x− + 5 x+ + 7 x+ 16

Do đó hàm số f x( ) = x+ x− + 5 x+ + 7 x+ 16 đồng biến trên [5; +∞).

Mà f(9) 14 = nên x= 9 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3 2 x + + 1 3 2 x + + 2 3 2 x + = 3 0 (1)

Giải

Cách 1:

3

3

Ngược lại với x= − 1 thay vào (1) thỏa mãn Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= − 1

Cách 2: Đặt f x ( ) = 3 2 x + + 1 3 2 x + + 2 3 2 x + 3

) 3 2 (

2 )

2 2 (

2 )

1 2 (

2 )

(

'

+

+ +

+ +

x x

x x

f

Do đó hàm số f x( ) đồng biến

→±∞

nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 4: Giải phương trình : 5x3 − + 1 3 2x− + = 1 x 4

Giải

Điều kiện: 31

5

x≥

Đặt f x( ) = 5x3 − + 1 3 2x− + 1 x

Ta có ( ) 15 32 3 2 2 1 0,

2 5 1 3 (2 1)

x

1 ( ; ) 5

∈ +∞ nên hàm số đồng biến

trên [31 ; )

5

∈ +∞ Mà f ( )1 = 4nên x= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 5 : Giải phương trình : 3 2

2x + 3x + 6x+ 16 2 3 = + 4 −x (1)

Nhận xét :

Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện

Điều kiện:

x

Khi đó, (1) ⇔ 2x3 + 3x2 + 6x+ 16 − 4 − =x 2 3

Xét hàm số f x( ) = 2x3 + 3x2 + 6x+ 16 − 4 −x trên [− 2; 4]

Ta có ( ) 3(3 2 2 1) 1 0, ( 2; 4)

2 4

x x

x

+ +

−

Do đó hàm số f x( ) = 2x3 + 3x2 + 6x+ 16 − 4 −x đồng biến trên [− 2; 4].

Mà f ( )1 = 2 3 nên x= 1là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 6 Giải phương trình : 3 (2x + 9x2 + + 3) (4x+ 2)(1 + 1 + +x x2 ) 0 =

Giải

Cách 1:

Viết lại phương trình dưới dạng (2x+ 1)(2 + (2x+ 1) 2 + = − 3 ( 3 (2x) + − ( 3 )x 2 + 3) Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3x(2x+1)<0 1 0

2 x

⇔ − < < .

Nhận thấy nếu 2x+1 = -3x x= -1

5

⇔ thì hai vế của phương trình bằng nhau Vậy

1

5

x = − là nghiệm của phương trình .Hơn nữa ta thấy nghiệm

;0

x = − ∈ − 

Ta chứng minh 1

5

x= − là nghiệm duy nhất

− < < − ⇒ < − − < ⇒ > + nên ta có

( )

2 + (3 )x + > + 3) 2 (2x+ 1) + ⇒ − 3 3 (2x + − ( 3 )x + > 3) (2x+ 1)(2 + (2x+ 1) + 3

hay (2x+ 1)(2 + (2x+ 1) 2 + + 3 3 (2x + (3 )x 2 + < 3) 0 suy ra phương trình vô nghiệm trên khoảng 1 1

;

− − 

 

•với 1

0

− < < làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên

1

;0

5

− 

  Vậy nghiệm của phương trình là

1 5

x= − Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất

Cách 2:

Viết lại phương trình dưới dạng:

(2x+ 1)(2 + (2x+ 1) 2 + = − 3 ( 3 (2x) + − ( 3 )x 2 + 3) (1)

Xét hàm số f t( ) =t(2 + t2 + 3)trên ¡ Ta có

2

2

3

t

t

Do đó hàm số đồng biến trên ¡

5

⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = − Vậy phương trình có nghiệm

duy nhất là 1

5

x = −

Ví dụ 7: Giải phương trình x2 +15 3= x− +2 x2 +8

Giải

Nhận xét: x2 +15> x2 + ∀ ∈8, x ¡ nên khi 3 2 0 2

3

x− ≤ ⇔ ≤x thì phương trình

vô nghiệm

Viết phương trình về dạng x2 +15− x2 + −8 3x+ =2 0

Xét hàm số f x( ) = x2 +15− x2 + −8 3x+2 trên 2;

3

 +∞

 

3

f x = x + − x + − x+ nghịch biến trên 2;

3

 +∞

 .

Mà f ( )1 = 0 nên x= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 10: Giải phương trình 3 x+ −2 3 2x2 + =1 3 2x2 −3 x+1

Giải

Ta có:

3 x+ −2 2x + =1 2x −3 x+ ⇔1 3 x+ +2 3 x+ =1 2x + +1 2x (*)