Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số trong việc giải pt mũ và logarit

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.. Phương trình mũ và phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương trình Giải

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT.

Phương trình mũ và phương trình logarit là một phần quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12 Đây là một phần hay và tương đối khó, trong cấu trúc của đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng một vài năm gần đây loại toán này thường rất hay xuất hiện Để giải phương trình mũ và logarit có rất nhiều phương pháp, tuy nhiên trong phạm vi nhỏ của bài viết này tác giả chỉ đề cập đến phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số logarit.

I Kiến thức cơ bản cần nhớ.

1, Hàm số x,0 1

y a= < ≠a đồng biến khi a> 1 và nghịch biến khi 0 < <a 1, tức là:

* Nếu a> 1 thì 1 2

x >x ⇔a >a

* Nếu 0 < <a 1 thì 1 2

x >x ⇔a <a .

x =x ⇔a =a .

2, Hàm số y= log , 0a x < ≠a 1 đồng biến khi a> 1 và nghịch biến khi 0 < <a 1, tức là:

* Nếu a> 1 thì x1 >x2 > ⇔ 0 loga x1 > loga x2.

* Nếu 0 < <a 1 thì x1 >x2 > ⇔ 0 loga x1 < loga x2.

* x1 =x2 > ⇔ 0 loga x1 = loga x2.

II Các ví du minh hoạ.

Thí dụ 1 Giải phương trình 2 3 2 1.

x

x = +

Lời giải Chia hai vế của phương trình cho 2x ta được: 1 3 1

= ÷  ÷ ÷   +

Xét hàm số ( ) 23 12

÷  ÷

 

Mặt khác ( )2 3 1 3 1 1

÷  ÷

  Vậy phương trình có nghiệm x=1 Ta chứng

minh đây là nghiệm duy nhất của phương trình Thật vậy, do f x( ) là hàm số nghịch biến trên R nên 22 ( ) ( )( ) ( )22 ( )( ) 11

> ⇔ < ⇔ <

< ⇔ > ⇔ >

Thí dụ 2 Giải phương trình (6 4 2 − ) (x+ 17 12 2 − ) (x+ 34 24 2 − )x = 1.

Lời giải Ta có ( )2

6 4 2 − = − 2 2 với 0 2 < − 2 1 <

( )2

17 12 2 − = − 3 2 2 với 0 3 2 2 1< − <

( )2

34 24 2 − = 3 2 4 − với 0 3 2 4 1 < − <

Phương trình đã cho trở thành ( ) (2 ) (2 )2

2 − 2 x+ − 3 2 2 x+ 3 2 4 − x = 1

Xét hàm số ( ) ( ) (2 ) (2 )2

2 2 x 3 2 2 x 3 2 4 x

' 2 2 2 xln 2 2 2 3 2 2 xln 3 2 2 2 3 2 4 xln 3 2 4 0,

Nhận xét rằng 1

2

x= là nghiệm của phương trình Do vế trái là một hàm số nghịch biến,

vế phải luôn bằng 1, suy ra 1

2

x= là nghiệm duy nhất của phương trình.

Thí dụ 3 Giải phương trình

2

1 1

2

x

Lời giải Điều kiện x≠ 0

Nhận thấy rằng

2

Đưa phương trình đã cho về dạng

− − − =  − − − ⇔ − + − = − + −

Xét hàm số ( ) 2

2

t t

f t = + có '( ) 2 ln 2 1 0,

2

t

biến Mặt khác từ phương trình ta có

{ 2

0

2

x

x x

≠

− =

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 2

Thí dụ 4 Giải phương trình 22x +32x =2x +3x+1+ +x 1

Lời giải Đưa phương trình về dạng

2 x +3 x +2x =2.2x +3x+ + + ⇔x 1 2 x +3 x +2x =2x+ +3x+ + +x 1

và đặt 2 ,x 1

u= v x= + khi đó ta được phương trình 2u+ + = + + 3u u 2v 3v v

xét hàm số ( ) 2t 3t

đồng biến trên R, từ phương trình ta có f u( ) = f v( ) ⇔ =u v và phương trình ban đầu

tương đương với 2x = + ⇔x 1 2x− − =x 1 0.

Xét hàm số ( ) 2x 1

' 2 ln 2 1 ' 0 2 log

ln 2 ln 2

Lại có lim 2( x 1)

Suy ra bảng biến thiên của hàm số g x( ) là

x

−∞ 0 2

1 log ln 2 1 +∞

g’(x) - 0 +

+∞ +∞

0 0

g( 2

1 log

ln 2)

ln 2

Căn cứ vào bảng biến thiên ta nhận thấy phương trình g x( ) =0 chỉ có nhiều nhất là hai nghiệm Mặt khác g( )0 = g( )1 =0, vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0

hoặc x=1

Thí dụ 5 Giải phương trình log 2x= − 3 x

Lời giải Điều kiện x>0

Phương trình đã cho tương đương log 2 x x+ = 3

Xét hàm số f x( ) = log 2 x x+ với x> 0 có '( ) 1 1 0, 0

ln 2

x

Vậy f x( ) là hàm số đồng biến, mặt khác f ( )2 = 3 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Thí dụ 6 Giải phương trình 2 2

3

x x

Lời giải Đưa phương trình về dạng

log x + + −x 3 log 2x +4x+ =5 2x +4x+ −5 x + +x 3

Đặt u x= 2 + +x 3,v= 2x2 + 4x+ 5 ta được phương trình

Xét hàm số f t( ) =log3t t t+ , > 0 ta có '( ) 1 1 0, 0

ln 3

t

= + > ∀ > suy ra f(x) là hàm

số đồng biến, từ tính đơn điệu của f(x) suy ra f u( ) = f v( ) ⇔ = ⇒u v x2 + + =x 3 2x2 + 4x+ 5

2 1

2

x

Cả hai nghiệm trên đều thỏa mãn bài toán, vậy phương trình có hai nghiệm x = − 1

hoặc x = − 2

Thí dụ 7 Giải phương trình ( 2 ) 2

log x + + −x 1 log x= 2x x−

Lời giải Điều kiện x>0

log x x 1 1 2x x log x 1 1 x 1

 + + = − + − ⇔  + + = − −

Dễ dàng nhận thấy ( )2

3

  hay VT ≥1.

Dấu bằng xảy ra khi 1 (1 1)2 1

x x x

x

− − = + =



⇔ =



 Vậy phương trình có một nghiệm x= 1

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau

sin

1, 3 x = cos x

2, 2 x+ 2 x = + 3 sin 2 x

2 6 10 2

3, 3x − +x = − +x 6x− 6.

4, 3 x+ 3 x = 2x+ 2 −x+ 2.

5, 8 3x x+ = 1 4.

( )

6, 3 x − 2.3x+ +x + 3 x+ = 0.

7, 2 − 3 x+ 2 + 3 x = 2 x

8, log x+ = 2 log x

9, log x+ x = log x.

10, log x − − 3x 13 = log x

( log 6 )

11, log x+ 3 x = log x

12, log x+ log x+ = 1 log x+ + 2 log x+ 3

2

2 1

1

x

x

+

−

14, log x − − + =x 6 x log x+ + 2 4.