Trong chương trình toán THPT, nghiên cứu về phương trình là một trong những dạng toán phổ biến và đa dạng, đa số các dạng phương trình đã được đề cập trong chương trình đều có công thức
Trang 1A> XÁC ĐỊNH ĐỀ TÀI:
Toán học có vai trò to lớn trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học nói chung và cho bộ môn khoa học tự nhiên nói riêng Có người đã xem “Toán học là nền tảng của mọi môn khoa học” bởi tính quan trọng và phong phú của nó Nghiên cứu, khai thác, vận dụng, làm sáng tỏ các vấn đề liên quan trong toán học là một nhiệm vụ không thể thiếu trong nhà trường ở tất cả các cấp học
Trong chương trình toán THPT, nghiên cứu về phương trình là một trong những dạng toán phổ biến và đa dạng, đa số các dạng phương trình đã được đề cập trong chương trình đều có công thức nghiệm và phương pháp giải khá chi tiết Tuy nhiên để chứng minh một phương trình có nghiệm thì một vài dạng không thể áp dụng các công thức nghiệm bình thường mà cần áp dụng một số tính chất khác của hàm số như: Tính liên tục, tính đơn điệu để giải
Trong thực tế giảng dạy Toán tại trường THPT, bản thân tôi nhận thấy phần lớn học sinh giải quyết chưa tốt các dạng toán này Học sinh thường lúng túng chưa nắm vững phương pháp giải khi đề bài yêu cầu chứng minh phương trình có nghiệm Do đó thường giải sai bài toán hoặc bế tắc trong nhiều trường
hợp đề bài yêu cầu phức tạp Điều này thúc đẩy tôi lấy đề tài “Ứng dụng tính
chất của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm” cho bài viết của
mình
B> NHỮNG KHÓ KHĂN HỌC SINH THƯỜNG GẶP :
Trong quá trình giải một bài toán chứng minh phương trình có nghiệm, học sinh thường gặp phải những khó khăn cơ bản sau đây:
• Nắm không vững kiến thức nên lúng túng, không định hướng được cách giải toán và chưa biết phân tích được dạng toán đề bài yêu cầu dẫn đến thường
giải sai Hiểu sai vấn đề giữa giải quyết yêu cầu Tìm điều kiện để phương trình
có nghiệm với việc Giải phương trình.
• Chưa biết cách vận dụng liên hệ kiến thức liên quan để áp dụng vào giải toán mà chỉ rập khuôn, máy móc theo sự hiểu biết còn hạn chế của mình
Từ những khó khăn trên, tôi đưa ra hướng giải quyết vấn đề như sau:
C> HƯỚNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Để giải một bài toán chứng minh phương trình có nghiệm trước tiên ta cần xác định 3 điều cơ bản sau:
• Cần xem mỗi phương trình đều có thể biểu diễn dưới dạng các hàm số, từ đó có thể dùng các tính chất của hàm số để làm phương pháp giải bài toán
• Cần xác định lượng kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp đã chọn
Trang 2• Cần đặt vấn đề: Theo yêu cầu của đề bài, vận dụng lượng kiến thức ấy như thế nào, khi nào ?
Trên cơ sở phân tích chi tiết các yếu tố liên quan và định hướng phương pháp giải quyết, liên hệ đến yêu cầu của bài toán sẽ giúp cho ta có cách nhìn tổng quát bài toán hơn Mỗi một phương pháp vận dụng cần có những lượng kiến thức khác nhau Trong đề tài của mình, tôi nêu theo hướng như sau:
+ Nêu một số tính chất quan trọng của hàm số có liên quan đến việc vận dụng (Tính liên tục, tính đơn điệu, tính lồi lõm)
+ Định hướng chung để giải toán tìm điều kiện phương trình có nghiệm + Phương pháp giải liên quan trong từng trường hợp
+ Giải các bài toán minh họa
+ Phân tích tìm hướng giải các dạng toán khác liên quan
PHẦN I:
CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ LIÊN QUAN 1> Tính liên tục của hàm số:
a/ Định nghĩa hàm số liên tục: (SGK Đại số và Giải tích 11 – NXB GD)
* Hàm số liên tục tại một điểm:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục tại điểm
x0∈(a; b) nếu: lim ( ) ( 0)
0
x f x f
x
→
Hay: lim ( ) lim ( ) ( 0)
0 0
x f x f x
f
x x x
→
* Hàm số liên tục trên khoảng:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy
* Hàm số liên tục trên đoạn:
Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và:
) ( ) ( lim );
( ) (
b x a
→
→
b/ Tính chất của hàm số liên tục:
Tính chất 1: Các hàm số đa thức, hàm hữu tỉ, hàm số lượng giác, hàm số
mũ là hàm liên tục trên tập xác định của chúng
Tính chất 2 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì
tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0 Hay phương trình f(x) = 0 có
ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b)
Trang 32> Một số tính chất khác của hàm số:
* Tính chất của hàm số đơn điệu: (Giải tích 12)
Nếu có f’(x) < 0 (hay f’(x) > 0) trong khoảng (a; b) thì đồ thị của f(x) đồng biến (nghịch biến) trong khoảng (a; b)
* Tính chất của hàm số lồi lõm: (Giải tích 12)
Nếu có f”(x) < 0 (hay f”(x) > 0) trong khoảng (a; b) thì đồ thị của f(x) lồi (lõm) trong khoảng (a; b))
Khai thác tính chất:
Ta căn cứ vào đồ thị của hàm số đơn điệu và hàm số lồi lõm sau đây để phân tích tìm kết quả liên hệ:
a> Đồ thị hàm số đơn điệu:
Đồ thị hàm số đồng biến Đồ thị hàm số nghịch biến Rõ ràng đồ thị hàm số đơn điệu luôn cắt Ox tại 1 điểm, điều này giúp ta có thể biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số đơn điệu thì có thể chứng minh phương trình luôn có 1 nghiệm
Kết quả trên cho ta hệ quả quan trọng sau:
Nếu Hàm số y = f(x) có f’(x) < 0 hay f’(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong (a; b).
b> Đồ thị hàm số lồi, lõm:
Đồ thị hàm số lồi Đồ thị hàm số lõm
Trang 4Từ đồ thị hàm số lồi lõm, ta nhận thấy (C) cắt Ox tại không quá 2 điểm, điều này giúp ta có thể biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số lồi (lõm) thì có thể chứng minh phương trình có không quá 2 nghiệm
Kết quả trên cho ta hệ quả quan trọng sau:
Nếu Hàm số y = f(x) có f”(x) < 0 hay f”(x) > 0 trong khoảng (a; b) thì phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong (a; b).
PHẦN II:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TOÁN MINH HOẠ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Phương pháp 1: Vận dụng tính liên tục của hàm số.
+ Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = 0.
+Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b].
+ Tính f(a), f(b).
+Chứng minh f(a).f(b) < 0
+ Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b)
Bài toán 1: Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm trong đoạn [0; 1]:
a> x3 + 5x – 3 = 0
b> 3x + 4x = 9x
Giải: a> Đặt f(x) = x3 + 5x – 3
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác định trên R
Ta có: ⇒
>
=
<
−=
0 3 )1(
0 3 )0 (
f
f
f(0).f(1) < 0
Vậy có ít nhất một số c ∈ (0; 1) để f(c) = 0
Hay phương trình x3 + 5x – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trong đoạn [0; 1]
b> Đặt f(x) = 3x + 4x - 9x
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác định trên R
<
−=
− +
=
>
=
− +
=
0 2 9 4 3 )1(
0 1 1 1 1 )0 (
f
f
f(0).f(1) < 0
Vậy có ít nhất một số c ∈ (0; 1) để f(c) = 0
Trang 5Hay phương trình 3x + 4x = 9x có ít nhất một nghiệm trong đoạn [0; 1].
Bài toán 2:
Chứng minh phương trình 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trên đoạn [-2; 2]
Giải: Đặt f(x) = 2x3 - 6x + 1
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác định trên R
>
=
<
−=
−
0 1 )0 (
0 3 )2 (
f
f
f(-2).f(0) < 0
⇒
<
−=
<
=
0 3 )1(
0 1 )0 (
f
f
f(0).f(1) < 0
⇒
>
=
<
−=
0 5 )2 (
0 3 )1(
f
f
f(1).f(2) < 0
Mà f(x) cũng liên tục trên các đoạn [-2; 0], [0; 1] và [1; 2] Do đó phương trình f(x) = 0 hay phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm trên đoạn [-2; 2]
Vì phương trình f(x) = 0 là phương trình bậc ba nên nó có nhiều nhất ba nghiệm ⇒phương trình có đúng ba nghiệm trong đoạn [-2; 2]
Bài toán 3: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a> cosx + mcos2x = 0
b> m(x -1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0
Giải: a> Đặt f(x) = cosx + mcosx.
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác định trên R
<
−
=
>
=
0 2
2 ) 4
3 (
0 2
2 ) 4 (
π
π
f
f
f(π4 ).f(34π ) < 0
Vậy có ít nhất một số c ∈ (π4 ;34π ) để f(c) = 0
⇒ PT cosx + mcos2x = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (π4 ;34π ) b> Đặt f(x) = m(x -1)3(x + 2) + 2x + 3
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác định trên R
Trang 6Ta có: ⇒
<
−=
−
>
=
0 1 )2 (
0 5 )1(
f
f
f(1).f(-2) < 0
Vậy có ít nhất một số c ∈ (-2; 1) để f(c) = 0
Hay phương trình : m(x -1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 0)
Bài toán 4 : Chứng minh với 0 < a < b phương trình sau có ít nhất một nghiệm:
(x – a).(x – b) + 2x2 – a2 – b2 = 0
Giải : Đặt f(x) = (x -a)(x - b) + 2x2 – a2 – b2
Hàm số f(x) liên tục trên R vì là hàm số sơ cấp xác định trên R
>
>
−
=
<
<
−
=
a b vì a
b b f
b a vì b
a a f
: 0 )
(
: 0 )
(
2
2
2 2
f(a).f(b) < 0
Vậy có ít nhất một số c ∈ (a; b) để f(c) = 0
Hay phương trình (x - a)(x - b) + 2x2 – a2 – b2 = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b)
Phương pháp 2: Vận dụng tính lồi, lõm của hàm số.
+ Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = 0.
+ Tìm đạo hàm f’(x) trên khoảng (a; b).
Hướng 1:
+ Chứng minh f’(x) < 0 hoặc f’(x) > 0 trên khoảng (a; b).
+ Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trong khoảng (a; b) Hướng 2:
+ Tìm đạo hàm f”(x) trên khoảng (a; b).
+ Chứng minh f”(x) < 0 hoặc f”(x) > 0 trên khoảng (a; b).
+ Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm trong khoảng (a; b)
Bài toán 1: Chứng minh rằng các phương trình sau có không quá 1 nghiệm Tìm
nghiệm đó
a> 3x + x = 4 (1)
b> 6x – 2x = 32 (2)
Giải: a> Xét hàm số: f(x) = 3x + x – 4
Ta có: f’(x) = 3xln3 + 1 > 0 ; ∀x ∈ R
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm
Mà f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm của phương trình (1)
Trang 7Vậy: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 1.
b> Xét hàm số: f(x) = 6x - 2x – 32
Ta có: f’(x) = 6x.ln6 - 2x.ln2
Vì 6x – 2x = 32 > 0 nên 6xln6 - 2xln2 > 0 hay f’(x) > 0 ; ∀x∈ R
Suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm
Mà f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm của phương trình (2)
Vậy: Phương trình (2) có nghiệm duy nhất là x = 2
Bài toán 2: Chứng minh rằng phương trình sau có không quá 1 nghiệm.
4x – x.2x + x – 1 = 0 (3)
Giải: Đặt t = 2x > 0 ⇔ t2 – x.t + (x – 1) = 0
⇔
−
=
=
⇔
−
=
=
1 2
1 2 1
1
x x
t
t
x x
+ 2x = 1 ⇔ x = 0
+ Xét hàm số f(x) = 2x – x + 1 ⇒ f’(x) = 2x ln2– 1
Ta có: x – 1 = 2x > 0 ⇒ x > 1
⇒ f’(x) = 2x ln2– 1 > 2.ln2 – 1 > 0 ; ∀x > 1
Mà f(1) = 2 > 0 ⇒ f(x) > 0 ; ∀x > 1⇒ 2x = x – 1 vô nghiệm
Vậy (3) có nghiệm duy nhất x = 0
Bài toán 3: Chứng minh rằng phương trình sau có không quá 2 nghiệm.
3.4x + (3x – 10).2x + 3 – x = 0 (4)
Giải: Đặt t = 2x > 0 ⇔ 3t2 + (3x – 10).t + (3 – x) = 0
=
− +
−=
⇔
+−
=
=
⇔
+−
=
=
0 3 2
3 log 3
2 3
1 2 3 3
1
2
x
x x
x t
t
x x
x
Xét hàm số f(x) = 2x + x – 3 ⇒ f’(x) = 2x ln2 + 1> 0 ; ∀x ∈ R
⇒ f(x) = 0 có không quá một nghiệm
Ta có : f(1) = 0 ⇒ f(x) = 0 ⇔ x = 1
Vậy (4) có 2 nghiệm x = -log23 ; x = 1
Bài toán 4: Chứng minh rằng phương trình sau có không quá 2 nghiệm.
3x + 5x = 6x +2 (5)
Giải: Xét hàm số f(x) = 3x + 5x – 6x – 2
⇒ f’(x) = 3x ln3 + 5x ln5 – 6
⇒ f”(x) = 3x (ln3)2 + 5x (ln5)2 > 0 ; ∀x ∈ R
Trang 8Suy ra (3) có không quá 2 nghiệm.
Mà f(0) = 0 và f(1) = 0
Vậy (5) có 2 nghiệm x = 0 ; x = 1
Bài toán 5 : Chứng tỏ rằng, với mọi giá trị a, b phương trình sau không thể có ba
nghiệm phân biệt:
(x + a)3 + (x + b)3 - x3 = 0 (6)
Giải: Xét hàm số : f(x) = (x + a)3 + (x + b)3 - x3 trên (-∞ ; +∞)
Ta có hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên (-∞ ; +∞)
f'(x) = 3(x + a)2 + 3(x + b)2 - 3x2
Để phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số f(x) phải có cực đại, cực tiểu trái dấu Khi đó phương trình f'(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
Mà 3(x + a)2 + 3(x + b)2 - 3x2 = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔∆' > 0
⇔ (a + b)2 - (a2 + b2) = 2ab > 0
Mặt khác, với ab > 0 thì phương trình (1) không có nghiệm x = 0, vì thế ta giả thiết x ≠ 0 Khi đó:
3 3
=
+ +
+
x
b x
Xét hàm số g(x) = 1 3 1 3
+ +
+
x
b x
a
với x ≠ 0
2
2 1 3 1
3
+
−
+
−
x
b x
b x
a x
a
Vì ab > 0 nên g'(x) > 0 hoặc g'(x) < 0 với mọi x ≠ 0
Suy ra (7) có không quá 1 nghiệm hay (6) có không quá 1 nghiệm - mâu thuẩn với giả thiết
Vậy: (6) không thể có quá 3 nghiệm phân biệt
Bài toán 5: Cho các số dương a, b, c thoả điều kiện: a2 + b2 = c2
CMRằng phương trình: ax + bx = cx (*) có duy nhất một nghiệm
Giải: Ta có pt (*) ⇔ = 1
+
c
b c
a
Xét hàm số f(x) = c a x b cx
+
trên (-∞ ; +∞)
Ta có: f'(x) = a c c a x c b b cx
+
ln
Từ điều kiện
= +
>
2 2 2
0 , ,
c b a
c b
a
⇒ 0 < < 1 ; 0 < < 1
c
b c
a
Trang 9
Do đó: ln < 0 , ln < 0
c
b c
a
⇒ f’(x) < 0, ∀x ∈ (-∞ ; +∞)
Do đó phương trình f(x) = 0 có không quá 1 nghiệm trên (-∞ ; +∞)
Mà f(2) = 0 nên x= 2 là nghiệm duy nhất của (*)
D> KẾT QUẢ GIẢNG DẠY
Khi giúp học sinh tiếp xúc phần kiến thức này, với cách trình bày như trên tôi đã thu được những kết quả rất khả quan Từ những khó khăn tưởng chừng như bế tắc, học sinh đã tự tin hơn trong việc phân tích, hình thành phương hướng giải Đặc biệt là vận dụng các tính chất của hàm số để khai thác phương trình Tôi hiểu được rằng việc nhận thức, tiếp thu, hiểu và vận dụng một kiến thức khoa học là điều không thể dễ dàng đối với học sinh Tuy nhiên qua các tiết trình bày tôi nhận thấy đã tạo cho các em hứng thú, đa số học sinh đã biết nhìn bài toán theo từng dạng và áp dụng tương đối tốt các phương pháp giải Từ các bài toán cụ thể, học sinh đã biết cách phát triển bài toán bằng cách thay đổi các dữ kiện, biến đổi bài toán để có các bài tập tương tự, và từ đó tìm tòi vận dụng một số kết quả khác làm công cụ để giải một số bài toán các dạng khác
E> BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Muốn giải quyết tốt dạng toán chứng minh phương trình có nghiệm, cần phân loại ra theo từng dạng toán, từ đó khi gặp các bài toán tương tự, ta dễ dàng định hướng được cách giải nhanh chóng Trong việc trình bày cho học sinh, người giáo viên cần tập trung rèn luyện cho học sinh phân tích kỹ bài toán, liên hệ đến các tính chất của hàm số, đặc biệt các điều kiện liên tục, các giá trị đầu mút của đoạn, để tìm các hướng giải quyết thích hợp
Từ thực tiễn vận dụng vào giảng dạy cho học sinh, tôi rút ra được một số kinh nghiệm sau:
+ Khi hướng dẫn cho học sinh giải quyết một dạng toán trong sách giáo khoa, người giáo viên cần tìm tòi, nghiên cứu thêm để khai thác dạng toán, cung cấp thêm cho học sinh nhiều dạng để các em yên tâm, tự tin hơn trong việc khám phá những kiến thức mới và vận dụng vào giải quyết bài toán một cách chủ động
+ Trước khi vận dụng một kiến thức nào đó làm cơ sở giải toán, người giáo viên cần đặt ra vấn đề cho học sinh suy nghĩ, tìm tòi, phát huy được khả năng sáng tạo và hiểu biết của mình, từ đó người giáo viên kịp thời bổ sung lượng kiến thức cần thiết, tạo đà cho học sinh khám phá, gây hứng thú trong học tập
+ Người giáo viên cần tìm tòi nghiên cứu những kiến thức ứng dụng phù
Trang 10toán mới, giúp các em có thể giải quyết những bế tắc trong việc tìm hướng giải cho một bài toán một cách khoa học và chính xác
F> KẾT LUẬN
Mỗi lượng thông tin khoa học khi cung cấp cho học sinh cần đảm bảo tính chính xác và có mối liên hệ với thực tiễn Do đó khi khai thác một dạng toán chúng ta cần vận dụng linh hoạt các bài tập trong sách giáo khoa và những bài tập liên hệ phù hợp để nâng cao khả năng tư duy của học sinh
Trên đây là một số kinh nghiệm của cá nhân tôi về một vấn đề được rút
ra từ thực tiễn giảng dạy của bản thân Hy vọng quý đồng nghiệp sẽ đồng cảm nhận với tôi trong việc trình bày đề tài này Là kinh nghiệm của bản thân cho nên khi viết chắc chắn sẽ có nhiều hạn chế và đề cập vấn đề còn nhiều phiếm diện Rất mong quý đồng nghiệp góp ý kiến đề bài viết của tôi hoàn thiện hơn
Hà Tiên, ngày 05 tháng 04 năm 2005
TÁC GIẢ NHẬN XÉT CỦA ĐƠN VỊ
Huỳnh Ngọc Quí