skkn một số PHƯƠNG PHÁP tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT và GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của hàm số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I.. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những bài toán

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

        Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là một trong những bài toán quen thuộc, thường xuyên xuất hiện trong cấu trúc đề thi tuyển sinh của 

Bộ Giáo dục, xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh Thành trong cả Nước. Tuy nhiên đây lại là một dạng bài toán khó đối với học sinh bởi vì các dạng bài  toán  rất  phong  phú,  phạm  vi  nghiên  cứu  của  vấn  đề  lại  rất  rộng.  Thế  nhưng, sách giáo khoa lại có rất ít các bài tập dạng này và đồng thời do những điều kiện khách  quan  mà  sách  giáo  khoa  không  hệ  thống  lại  các  phương  pháp  giải  cụ  thể. Chính  vì  vậy  việc  cần thiết phải  cung  cấp  cho học  sinh  các  phương pháp  cơ bản giải dạng toán “tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số”, việc này sẽ giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận được các bài toán này. 

       Trong quá trình dạy học, tôi thấy không phải học sinh nào cũng tự nghiên cứu hay đọc hiểu được tài liệu  một cách dễ dàng. Với  mong muốn bằng kinh nghiệm trong  vận  dụng  phương  pháp  của  mình,  tôi  viết  chuyên  đề  này  với  mục  đích  là hướng  dẫn  cho  học  sinh  của  lớp  mình  giảng  dạy  một  cách  chi  tiết  nhất,  dễ  hiểu nhất để các em có thể vận dụng và giải các bài toán thuộc dạng này một cách hiệu quả. 

       Trong chuyên đề này các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số được vận dụng theo từng phương pháp cụ thể. Các ví dụ được phân tích và có lời giải chi tiết, ví dụ được áp dụng từ mức độ cơ bản tới nâng cao, để mọi học sinh có thể tham khảo và từ đó có thể giải quyết các bài toán tương tự. 

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

hành”,  nếu  việc  học  không  được  vận  dụng  vào  thực  tế,  không  giải  quyết  được 

những vấn đề mà thực tế đặt ra thì việc học cũng trở nên vô ích.  

        Trên  những  tiêu  chí  đổi  mới  đó,  đồng  thời  với  việc  nắm  bắt  thực  trạng  học sinh trong trường THCS-THPT Bàu Hàm, tôi thấy đa phần các em chỉ mới áp dụng các  dạng  toán  cơ  bản  của  sách  giáo khoa,  khi gặp  các  bài  toán  nâng  cao  các  em thường bối rối, sợ hãi. Việc sợ hãi này nguyên nhân sâu xa là do các em chưa tìm được  phương  pháp  tốt  nhất  hoặc  là  có  phương  pháp  nhưng  quá  trình  vận  dụng phương pháp còn khó khăn. Chính vì thế  mà mỗi  khi dạy  học về vấn đề này  bản thân tôi luôn cố gắng tìm những giải pháp đơn giản và hiệu quả để truyền đạt cho các  em.  Mỗi  nội  dung  của  chuyên  đề  này  cũng  là  một  trong  những  giải  pháp  đã được  tôi  thực  hiện  tại  trường  THCS-THPT  Bàu  Hàm  trong  các  năm  học  2013-

2014, năm  học 2014-2015, năm  học  2015-2016.  Trong quá  trình áp dụng  chuyên 

đề  “MỘT  SỐ  PHƯƠNG  PHÁP  TÌM  GIÁ  TRỊ  LỚN  NHẤT  VÀ  GIÁ  TRỊ  NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ” tại trường THCS-THPT Bàu Hàm mặc dù đã đem lại hiệu 

quả trong giảng dạy. Tuy nhiên phương pháp trên cũng chỉ thay thể một phần các  giải pháp khác

2 Các biện pháp thực hiện

        Để đề tài thực hiện tốt và có hiệu quả, trong quá trình giảng dạy từng nội dung đối với các khối lớp 9, khối lớp 10 và  khối lớp 12. Bản  thân tôi cùng các  em  rất nghiêm túc tiến hành từng bước thực hiện các nội dung đề tài đó là: thứ nhất khi giảng dạy tới nội dung nào và phù hợp với đối tượng học sinh nào, tôi gửi tới học sinh  trong  lớp  bản  tài  liệu  của  từng  nội  dung  chuyên  đề  để  cho  các  em  về  nhà nghiên cứu kỹ các nội dung lý thuyết. Thứ hai, trong các tiết học trên lớp giáo viên cùng học sinh hệ thống các kiến thức lý thuyết cơ bản. Thứ ba, sau khi nắm được 

lý thuyết tôi yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị bài tập. Thứ tư, trong những tiết học bài tập tôi cùng các em sửa bài tập để các em nắm được phương pháp. Sau khi nắm được phương pháp và kiến thức cơ bản giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán, biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ giúp học sinh có khả năng tổng hợp, khái quát hoá các vấn đề.  

III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

1 PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ

       Trong  chương  trình  Toán  học  Phổ  thông,  khi  nghiên  cứu  về  hàm  số  thường người ta chỉ quan tâm nhiều về tập xác định của hàm số mà ít chú ý đến miền giá trị (tập giá trị của hàm số) của nó. Vậy miền giá trị của hàm số là gì ? Miền giá trị của hàm số y f x( )xác định trên D là tập hợp tất cả các giá trị của y sao cho xD 

mà  y f x( ).  Đối  với  hàm  số  cho  bởi  công  thức  để  tìm  miền  giá  trị  của  hàm  số, thường ta tiến hành theo cách sau: coi đẳng thức y f x( )là một phương trình ẩn x còn y là tham số rồi đi tìm điều kiện của y để phương trình có nghiệm xD. 

       Do đặc thù của trường là trường học hai cấp (cấp 2 và cấp 3) nên việc áp dụng phương pháp thuận lợi cho cả học sinh khối THCS và khối THPT. Sau đây tôi xin 

1.1 Một số ví dụ áp dụng phương pháp miền giá trị

Bài toán thường gặp: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  ( )

( )

A x y

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số    

1 x

1 x

x y x

2

1 x

1 x

0 0

P P

P P

P P

t x )        2

P P

Bài tập đề nghị

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 

2 2

1

x x y

3 x sin 2 x cos y

x y x





1.2 Kết quả áp dụng nội dung chuyên đề tại cơ sở trong các năm học (2013-

2014 và 2014- 2015)

 Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, bản thân 

tôi  có  tham  gia  bồi  dưỡng kiến  thức  cho  học  sinh  lớp  9  của  trường,  để  chọn  đội tuyển  dự  thi  môn  toán  9  cấp  huyện.  Trong  quá  trình  bồi  dưỡng  và  lựa  chọn  đội tuyển  tôi  có  hướng  dẫn  các  em  phần  kiến  thức này.  Tôi  thấy  đa  số  học  sinh  đều hiểu dạng toán và vận dụng tốt. Kết quả thi chọn học sinh giỏi cấp trường thì tổng 

số 10 học sinh dự thi, tất các các em đều làm đúng phần bài tập dạng này. Kết quả học sinh tham gia thi cấp huyện cũng khả quan. 

      Năm  2013-2013  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến khích. 

      Năm  2014-2015  số  học  sinh  tham  dự  thi  06  học  sinh  và  đạt  03  giải  khuyến khích và 01 giải ba. 

Đề bài (Trích đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 cấp trường THCS-THPT Bàu

Hàm năm 2013-2014). 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ của hàm số  8 2 3

x y x

4y x o 8x y o 3 0

0, 25  

x u x u x u )  ta  đưa  biểu  thức  và  điều  kiện  của  bài  toán  về  dạng lượng giác. Từ đó dựa vào phép tính lượng giác ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của bài toán ban đầu. 

       Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số có thể sử dụng phương pháp lượng giác hóa thường có các dấu hiệu dễ nhận biết là: 

      1. Nếu trong bài toàn có điều kiện x2 + y 2 = 1 thì ta có thể đặt 

usinx

2.2 Một số ví dụ minh họa phương pháp

Ví dụ 1: (trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

xy2y21

)xxy6(2

)usinucosusin6(2

1u2cosu2sin6P

3y

ucos2

1x

usin3

y4

ucos3

x6

xy1yxP

Từ điều kiện x, y  R  và sự có mặt của biểu thức: 1+ x2 và 1+ y2 ,  

Ta đặt: x tanu và y tanv, với  , ;

2

. 

Ví dụ 4: Tìm a và b sao cho hàm số 

1x

bax

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  2 2 2

c1

3b

1

2a

1

2P

cab

ytanxtan)yxtan(

3)

yx(tan1

2x

    = cos2x c os(2x2 ) 3cosy  2y 

    = 2sin(2xy).sin y 3 3sin2y 

3

13)yx2(sin3

1ysin)yx2sin(

2y

3

1ysin

1)yx2sin(

1)

k3

1arcsin2

14

Bài tập đề nghị

Bài 1: Cho hàm số yx 4 x2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm 

số trên miền xác định. 

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 

(Trích đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008)

2.3 Kết quả áp nội dung phương pháp tại cơ sở

        Nội  dung  này  trong  năm  học  2015- 2016  này  tôi  mới  viết  thành  chuyên  đề, 

         Do  đặc  thù  học  sinh  trường  THCS-THPT  Bàu  Hàm,  đối  tượng  học  sinh  đa 

phần  là  học  sinh  người  dân  tộc  thiểu  số,  đa  phần  trình  độ  học  sinh  ở  mức  trung 

đẳng  thức  vectơ.  Dựa  vào  các  tính  chất  bất  đẳng  thức  này,  chúng  ta  có  thể  xây 

dựng  được  một  phương  pháp  để  giải  quyết  các  dạng  toán  như:  chứng  minh  bất 

, v cùng phương ax = by. 

Tính chất 3:  u v   u v 

, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u

, v cùng hướng. 

 cùng hướng 1xx  1 x 1 Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 5 khi x 1. 

Lời giải 

3.3 Kết quả áp dụng nội dung tại cơ sở trong các năm học (2015- 2016)

  Vận  dụng  phương  pháp  vectơ  trong giải phương  trình,  chứng  minh  bất  đẳng 

thức,  tìm giá trị lớn nhất  hoặc nhỏ nhất, cũng là kiến thức khó, nhưng  rất thú  vị. 

Trong năm học 2015 – 2016, tôi được tổ chuyên môn giao cho bồi dưỡng học sinh 

giỏi toán lớp 10, trong quá trình bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh ôn tập nội dung 

Vectơ và phương pháp chứng  minh bất đẳng thức, tôi có giới thiệu phương pháp 

        f x( )  (x 1) 2  2 2  (x 1) 2  3 2 

0, 25   

       Có  rất  nhiều  bất  đẳng  thức  có  thể vận  dụng để tìm giá trị  lớn nhất và  giá  trị 

nhỏ  nhất  của  hàm  số  f x( ),  tuy  nhiên  trong  giới  hạn  kiến  thức  chương  trình  phổ 

thông, cũng như thời  gian nghiên  cứu  chuyên  đề còn ít, tôi chỉ trọng tâm hai bất 

đẳng  thức  thường  gặp  đó  là:  bất  đẳng  thức  AM-GM  (arithmetic and geometric

ac    ; dấu “=” xảy ra 

d

b c

       Từ  bất  đẳng  thức  BCS  tổng  quát  nếu  ta  chọn  i ;  

      Dấu “=” xảy ra khi:  1 2

n n

b b

a

111 

này tôi hệ thống một số dạng cơ bản sau. 

Dạng 1:  Tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  biểu  thức  S A m

B

  ,  trong  đó  (m  là  hằng  số dương, A và B là các biểu thức dương). 

S x y z  Lời giải 

+ Ta dự đoán x yz, từ giả thiết  2 2 2

x y z  x yz  +Ta sẽ đi hạ bậc 5 xuống bậc 2 ( từ x5 x2) 

Bài tập đề nghị

Cho a b c, ,  là các số thực thỏa a b c   0. Chứng minh rằng 8a 8b 8c  2a 2b 2c 

4.2.2 Sử dụng AM-GM tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

       Từ  bất  đằng  thức  AM-GM  với  n  số  không  âm  ta  viết  lại  như  sau  

i i



  , với M i là tổng đối xứng của các biến. 

x x

3 2

Nhận xét:chứng minh 1

a bcb cac ab , và chỉ được dấu “=” xảy ra cũng như ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

        6 4 9 2 1

y = x - 3x + x +

4 4 trên đoạn [ 1; 1]  Lời giải 

f'(t) = 3t - 6t + = 0

3 4

2

t

x x         Hàm số đã cho viết lại thành: 

  (hoặc lập BBT của hàm số t x( )  x  1 3 x trên D   1;3 để suy ra    2 t 2.) 

x y z xyz

3

+

+

f(t) f'(t)

t

2 t



   , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên (0; ]3

2  Bảng biến thiên 

2 2

1

-3 2 -

5.1.4.Kết quả áp dụng tại cơ sở trong các năm học:(2013- 2014 và 2014- 2015)

Trong năm học 2013 – 2014, cũng như trong năm học 2014 – 2015, nhận thấy 

lực học của học sinh các lớp mình trực tiếp giảng dạy còn ở mức độ trung bình, do 

đó đối với các lớp không phải là lớp 12A1, chỉ hướng dẫn cho các em trong 2 tiết 

và  giới  thiệu  tài  liệu  để  học  sinh  tự  nghiên  cứu  và  tham  khảo.  Còn  đối  với  lớp 

12A1  học  sinh  có  học  lực  khá  giỏi  thì  các  em  được học  một  cách đầy  đủ  và  kết 

Suy ra  

[0;1]

0,5 Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là  7, đạt khi xk  0,5 

Bài  toán  tương  đương  với  tìm  giá  trị  nhỏ  nhất  của  hàm  số 

2

2 t



nên f(t)là hàm số nghịch biến trên đoạ 1

;1 2

Suy ra 

1 [ ;1]

Số điểm Giỏi  Đạt được (%) 

81 64

-1 v

Ví dụ 2: ( Trích đề thi tuyển sinh cao đẳng năm 2008) 

Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn x 2  y 2  2. Tìm giá trị lớn nhất và giá 

5.2.3.Kết quả áp dụng phần kiến thức tại cơ sở trong các năm học:(2013- 2014

Trong  biểu  thức  P  ta  thấy  có  sự  xuất  hiện  của  hai  đại  lượng (xyz)và 

(xy yzzx),  đến  đây  ta  cố  gắng  biểu  diễn  biểu  thức  giả  thiết  theo  hai  đại  lượng 

Từ giả thiết ta có:  2 2 2 2

x y z   xyz  xyyzzx   Đặt txyz. Kết hợp giả thiết suy ra 

( 2 3

Ta có  ' ( ) 5 5 0

2 3

Suy ra  f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ]. Do đó  .

3

14 ) 3 ( ) (t  f 

Ví dụ 3 (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B-2010) 

Cho  các  số  thực không  âm  a,  b,  c  thỏa  mãn a b c   1.  Tìm  giá trị  nhỏ  nhất của 

Suy ra  ( ) 2, 0;1 ;

3

P f t    t  

    Dấu bằng xảy ra khi ab=bc=ca, ab+bc+ca=0 và a+b+c=1 

3 4

3 2

-3

0

f(t) f'(t)

t

33 4

1 2

-0

f(t) f'(t)

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

      Qua  quá trình  thực dạy,  khi vận dụng  các phương pháp trên tôi đã thấy  được 

2 Đối với nhà trường

 Khuyến  khích  các tổ chuyên  môn, nhóm  bộ  môn  thảo luận  và  góp  ý 

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỤC LỤC

NỘI DUNG      Trang       

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI  1

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1 

1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 1

2. Các biện pháp thực hiện 2

III NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ 2

1 PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ 2

1.1. Một số ví dụ áp dụng phương pháp miền giá trị 3

1.2. Kết quả áp dụng nội dung chuyên đề tại cơ sở  6

2 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 7

2.1. Kiến thức cơ bản  ……… 7

2.2. Một số ví dụ minh họa phương pháp 7

2.3. Kết quả áp nội dung phương pháp tại cơ sở  11

3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ 11

3.1. Kiến thức cơ bản  11

3.2. Một số ví dụ áp dụng phương pháp 12 

3.3. Kết quả áp dụng nội dung tại cơ sở  13

4 PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC  14 

4.1. Kiến thức cơ bản   14

4.1.1. Bất đẳng thức AM-GM… 15

4.1.2. Bất đẳng thức BCS  15 

4.2. Vận dụng bất đẳng thức AM-GM 16

4.2.1 Sử dụng AM-GM tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  16

4.2.2. Sử dụng AM-GM tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  24 

4.3. Vận dụng bất đẳng thức BCS 27

4.3.1 Một số ví dụ vận dụng trực tiếp bất đẳng thức BCS 27

4.3.2. Một số ví dụ vận hệ quả của bất đẳng thức BCS 30

4.4. Kết quả áp dụng nội dung tại cơ sở  31

5 PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM 32

5.1 ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 33        

5.1.1. Phương pháp chung 33

5.1.2. Đổi biến số, đối với hàm số hoặc biểu thức một biến 33

5.1.3. Đổi biến số, đối với biểu thức có nhiều biến… 35

5.1.4.Kết quả áp dụng tại cơ sở … 39

5.2 TÌM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC HAI BIẾN ĐỐI XỨNG 40

5.2.1. Phương pháp chung 40

5.2.2. Một số ví dụ minh họa… 41

5.2.3.Kết quả áp dụng phần kiến thức tại cơ sở  43

5.3 TÌM GTLN-GTNN CỦA BIỂU THỨC BA BIẾN ĐỐI XỨNG  44

5.3.1. Phương pháp chung… ………44

5.3.2. Một số ví dụ minh họa… ………44

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI …… ………49

V ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ…… ………50

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO……… ……… 51