skkn ứng dụng hình học giải tích phẳng để giải một số câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát hàm số

Tuy nhiên, hầu hết các em học sinh khi học môn Toán lại học theo dạng bài, thiếu sự vận dụng linh hoạt giữa các phần: Đại số, Hình học, Giải tích…Do đó, các em thường hay lúng túng khi g

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO T.T.HUẾ

TRƯỜNG THCS & THPT HÀ TRUNG

- -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ CÂU HỎI PHỤ TRONG

BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Lĩnh vực/Môn: TOÁN

Người thực hiện : TÔN THẤT ĐÔN

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn tổ Toán-Tin

Vinh Hà, tháng 03 năm 2015

MỤC LỤC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI……… Trang 1

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ……… Trang 2

chung……… Trang 2

đề……… Trang 2

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề……… Trang 3

III KẾT LUẬN……… Trang 11 Tài liệu tham khảo……… Trang 12

PHẦN I: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1 Lý do chọn đề tài:

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng nếu học tốt môn toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác Tuy nhiên, hầu hết các em học sinh khi học môn Toán lại học theo dạng bài, thiếu sự vận dụng linh hoạt giữa các phần: Đại số, Hình học, Giải tích…Do đó, các em thường hay lúng túng khi gặp các bài toán mà trong đó cần có sự vận dụng kiến thức tổng hợp

Trong chương trình giải tích 12- Ban cơ bản, các câu hỏi sau phần khảo sát sự

biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (thường được gọi là các câu hỏi phụ trong bài toán

khảo sát hàm số) là một câu hỏi bắt buột trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi tuyển

sinh ĐH-CĐ hàng năm Để giải các bài toán dạng này, ngoài phần kiến thức thuần túy

về giải tích còn có các kiến thức về Hình học giải tích phẳng Oxy ( phần này học sinh

được học ở lớp 10) Vì vậy khi làm bài tập dạng này học sinh thường hay lúng túng và đôi khi vận dụng nhầm công thức Do đó để giúp học sinh học tốt phần này, tôi đã

mạnh dạn chọn đề tài:” Ứng dụng hình học giải tích phẳng để giải một số câu hỏi

phụ trong bài toán khảo sát hàm số ”.

2 Nhiệm vụ của đề tài:

Nghiên cứu phương pháp giảng dạy để giúp học sinh rèn luyện tư duy, khả năng giải toán, nhằm nâng cao chất lượng dạy học

3 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài sáng kiến kinh nghiệm là các

câu hỏi phụ trong bài toán khảo sát hàm số thuộc chương trình giải tích 12 mà có sử dụng đến kiến thức hình học giải tích phẳng Oxy

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Những vấn đề lý luận chung:

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “ Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” việc giúp học sinh học tập môn Toán một cách khoa học, hiệu quả sẽ góp phần rèn luyện cho các em đức tính, phẩm chất của người lao động mới: tính kỉ luật, tính kế thừa, tính phê phán, sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và kết hợp giữa các phân môn: Đại số, Giải tích, Hình học…giáo viên cần định hướng cho học sinh học môn Toán một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Trong chương trình toán THPT, đường thẳng () trong mặt phẳng thường cho dưới các dạng :

 y ax b  (a b,  ;a: hệ số góc ) :dạng này hay sử dụng ở phần mang nhiều

“màu sắc” Đại số, giải tích

 ax by c    0 (a b c  , , ; a2 b2 0 ; n a b  ( ; ) là một vectơ pháp tuyến của

) : dạng này hay sử dụng ở phần Hình học giải tích

Tuy nhiên, hệ trục tọa độ sử dụng trong phần giải tích, đại số hay hình học giải tích phẳng đều ngầm quy ước là hệ trục tọa độ Oxy Do đó có thể sử dụng kiến thức về

hình học giải tích phẳng để giải quyết các bài toán về Đại số, Giải tích ( chỉ cần viết : y ax b : ax y b 0

        ) Ví dụ các bài toán lên quan đến góc giữa hai đường thẳng , khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng… Trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này, chúng ta sẽ phân tích một số bài toán để làm rõ ý tưởng đó

2 Thực trạng của vấn đề:

Qua nhiều năm giảng dạy ở các lớp 12 ( Ban Cơ bản), tôi nhận thấy rằng trong các câu hỏi phụ phần khảo sát hàm số, nếu giáo viên chỉ trình bày lời giải từng bài toán

cụ thể mà không nêu ra được bản chất tổng quát thì khi gặp một bài toán mới học sinh

sẽ rất lúng túng Đặc biệt, trong những năm gần đây các dạng bài tập liên quan đến phương trình đường thẳng trong các bài khảo sát hàm số thường xuyên xuất hiện trong

đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng Đa phần các em khi làm loại toán này thường gặp khá nhiều khó khăn Nguyên nhân là do các em quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức về hình học giải tích phẳng đã học ở lớp 10 để giải các bài toán giải tích lớp 11, 12

3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Với những nguyên nhân trên, qua nghiên cứu, trao đổi và đúc rút kinh nghiệm, tôi mạnh dạn đưa ra và phân tích một số bài toán trong chương khảo sát hàm số thuộc chương trình Giải tích 12 mà khi giải cần phài sử dụng đến kiến thức hình học phẳng trong hệ trục tọa độ Oxy.

3.1) Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học giải tích phẳng cần nắm vững:

 Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M x y ( ; )0 0 và có vectơ pháp tuyến

( ; )

n a b  là: a x x (  0)  b y y (  0) 0 

 Khoảng cách từ điểm M x y ( ; )0 0 đến đường thẳng :ax by c  0 là:

0 0

2 2 ( ; ) ax by c

d M

a b

 



 Diện tích tam giác ABC : 1

( ; ).

2

ABC

S  d A BC BC

 d a x b y c1: 1  1  1  0 có vectơ pháp tuyến n  1 ( ; ) a b1 1

d a x b y c2: 2  2  2  0 có vectơ pháp tuyến n  2  ( ; ) a b2 2

Lúc đó 1 2 1 2

1 2

cos( ;d d ) n n

n n



 

 

3.2) Phân tích một số ví dụ:

Nếu cho đường thẳng dưới dạng  : y kx b   thì ta viết lại :kx y  1 0 Lúc đó

 có vectơ pháp tuyến n  ( ; 1) k 

và có thể áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng…

Ví dụ 1: Cho hàm số 2 1( )

1

x

x







Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2

Phân tích: Tiếp tuyến của (C)tại điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0  C có phương trình:

yf x x x  f x  f x x x  y f x  (*) Từ đây có thể áp dụng

công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải bài toán

Giải: Tiếp tuyến của (C)tại điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0  C có phương trình:

yf x x x  f x  x x  y x  x   (*)

Khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2

0

0

2 2

2

2

1 ( o 1)

x x

x x



    

Suy ra các tiếp tuyến cần tìm: x y 1 0 và x y  5 0

Ví dụ 2: Cho hàm số 2

1

x y x





 ( )C

Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )C sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng yx

bằng 2

Giải: Ta có ( ) ( ; 2), 1

1

a

a





( ) : yx ( ) : x y 0.  Suy ra

2 1 ( ; )

2

a a a

d M







 

Do đó

2 2

2

2 4 0

2 0

a a

a a

   

      



 a2 2a 4 0 : phương trình vô nghiệm

2 0

2 0

2

a

a a

a





    

 Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là M(0; 2) hoặc M ( 2;0)

Ví dụ 3 : Cho hàm số 2 1( )

1

x

x





Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng hai điểm A(2; 4), ( 4; 2)B   cách đều tiếp tuyến

Phân tích: Tiếp tuyến của (C)tại điểm M x f x( ; ( )) ( )0 0  C có phương trình:

yf x x x  f x  f x x x  y f x  (*) Từ đây có thể áp dụng

công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x 0 1) Khi đó phương trình tiếp tuyến ( )d của

(C)tại

0

0

0

2 1

1

x

M x

x



2 1 1

x



(A;d) d(B;d) 2 4( 1) 2 2 1 4 2( 1) 2 2 1

d    x   x  x     x   x  x 

 x0 1;x0 2;x0 0

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: 1 5; 1; 5

y x y x  y x 

Ví dụ 4 (B-2010): Cho hàm số 2 1

1

x y x





 ( )C

Tìm m để đường thẳng y2x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm A B, sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ)

Phân tích : Viết đường thẳng AB y: 2x m thành AB: 2 x y m  0 Lúc đó có thể áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm :2 1

2 1

x

x m x





2 x 1 ( x 1)( 2 x m )

      ( do x 1 không là nghiệm của phương trình )

2

2 x (4 m x ) 1 m 0

2 8 0

m

    với mọi m , suy ra đường thẳng y 2x m luôn cắt đồ thị ( )C tại

hai điểm phân biệt A B, với mọi m

Gọi A (x ; ), ( ; )1 y B x y1 2 2 trong đó x1 và x2 là các nghiệm của (1) ; y  2 x1 m và

2 2 2

y  x  m Ta có AB y :  2 x m   2 x y m    0

Suy ra ( ; )

5

m

( 1 2) ( 1 2)

2

m

AB x  x  y  y  

Do đó

2 8 1

OAB

m m

Ví dụ 5 (B-2012): Cho hàm số y x  3  3 mx2  3 (1) m3

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B, sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Giải: Ta có y ' 3  x2  6 mx ; y' 0  x0hoặc x2m

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 Các điểm cực trị của đồ thị là

(0;3m ), (2 ; )

A B m m 

Phương trình đường thẳng OA x : 0, suy ra ( ;d B OA) 2 m và OA3m3

Do đó S OAB 48 3m4 48 m2

Ví dụ 6 (B-2013): Cho hàm số y  2 x3 3( m  1) x2  6 mx (1), với m là tham số

thực Tìm mđể đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B, sao cho đường thẳng AB

vuông góc với đường thẳng y x 2

Phân tích: Chuyển cả hai đường thẳng AB và d y x:  2về dạng phương trình tổng quát của đường thẳng rồi áp dụng điều kiện vuông góc của hai đường thẳng

Giải: Ta có y ' 6  x2 6( m  1) x  6 m ; y ' 0   x  1; x m 

Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là m 1

Ta có :A (1;3 m  1), ( ; B m m  3  3 m2)   AB  (m 1; (m 1) )    3

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là 2

1 (( 1) ;1)

n  m 

(vì m 1 ) Đường thẳng d y x:  2 có vectơ pháp tuyến là n    2 (1; 1)

1. 2 0 ( 1) 1 0

AB d   n n     m    m 

hoặc m 1

Ví dụ 8 (A-2008): Cho hàm số 2 (3 2 2) 2

3

y

x m



 (1) , với mlà tham số thực Tìm các giá trị của tham số mđể góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 0

45

Phân tích: Chuyển phương trình của hai đường tiệm cận về dạng phương trình tổng

quát của đường thẳng rồi áp dụng công thức tính góc của hai đường thẳng

Giải: Ta có 2 (3 2 2) 2 2 6 2

3

m  : đồ thị hàm số không có tiệm cận

3

m  : đồ thị hàm số có hai tiệm cận:

d x m x m d y mx   mx y  

Vec tơ pháp tuyến của d d1, 2 lần lượt là n 1(1;0),n2 ( ; 1).m 

Góc giữa d d1, 2 bằng 450

khi và chỉ khi: 0 1 2 2 2

1 2

2

n n

m

 

 

Ví dụ 9 : Cho hàm số y x 42mx2m2m C( m) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C m)có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc bằng 1200

Giải : Ta có y' 4 x34mx ; 2 0





     





(m 0) (1)

Khi đó các điểm cực trị là : A(0; m2m B), ( m m C; ), ( m m; )

AB m m AC  m m

Do ABC cân tại A nên góc BAC 1200

4 0

4

120 cosA

BAC



 

4

4

3

0

1 2

3

m

m

m m















Từ (1), (2) suy ra 31

3

m 

Ví dụ 10:Cho hàm số 3 2 2 3

3 3( 1) ( m)

y x  mx  m  x m C Chứng minh rằng (C m) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên hai đường thẳng cố định song song nhau

Phân tích: Sau khi tính được tọa độ cụ thể của các điểm cực trị M, N Ta tìm phương

trình mỗi đường thẳng đi qua M, N sau đó chứng minh hai đường thẳng này song song nhau

Giải: Ta có y' 3 x2 6mx3(m2 1) với    9 0

' 0 1 ( 1; 2 3 )

1 ( 1; 2 3 )

y



       



Suy ra (C m) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu N,M

Điểm cực đại M m(   1; 2 3 )m chạy trên đường thẳng cố định 1

1 ( ) :

2 3

d

 





 



Điểm cực đại N m( 1; 2 3 ) m chạy trên đường thẳng cố định 2

1 :

2 3

x t d

 





 



Rõ ràng ( ),( )d1 d2 có cùng VTCP u(1; 3) và ( )d1 không trùng với ( )d2 nên

1 2

( ) ( )d  d

Ví dụ 11: Cho hàm số y x  3 3 x2  mx  2 (Cm ), với m là tham số thực.

Tìm mđể (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị

tạo với đường thẳng d x: 4y 5 0 một góc  450

Giải: Ta có y ' 3  x2 6 x m  Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y ' 0

có 2 nghiệm phân biệt     ' 9 3 m   0 m   3(*)

Lúc đó, gọi 2 điểm cực trị là A x y B x y ( ; ), ( ; ).1 1 2 2 Thực hiện phép chia y cho y' ta

y  x  y   x  

Suy ra đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 2

x

3

m

kx y

3

m

k  

 d x: 4y 5 0 có vec tơ pháp tuyến n   1 (1;4)

3

m

kx y

     có vec tơ pháp tuyến n  2  ( ; 1) k 

Ta có: 0 1 2 2

1 2

4

| | cos 45

k

n n





 

   2( k  4)2  17( k2  1)

2

15 k 16 k 15 0

3 5 5 3

k k







 

 



39 10 1 2

m m







 

 



Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là 1

2

m 

Nhận xét: Từ (1) có thể giải như sau:

Đặt 2

3

m

k   Đường thẳng d x: 4y 5 0 có hệ số góc bằng 1

4



Ta có: 0

1

4 tan 45

1

k

    



 Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là 1

2

m 

Nhận xét: Trong các dạng bài toán liên quan đến đồ thị hàm số, việc chuyển phương

trình đường thẳng : y kx b  (1)( sử dụng hệ số góc) về dạng :kx y b  0 (2) (sử dụng vec tơ pháp tuyến, kiến thức về hình học giải tích) có nhiều ưu điểm Bởi vì dạng (2) thì không cần chia ra các trường hợp: đường thẳng song song (không có hệ số góc k ) hay không song song với trục tung Oy( có hệ số góc k) mà có thể áp dụng trực tiếp ngay các công thức trong hình học giải tích để giải

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Đề tài này tôi đã triển khai ở các lớp 12 mà tôi đã trực tiếp giảng dạy trong các năm 2013-2014, 2014-2015 Kết quả là các em học sinh khi gặp dạng toán này đã biết định hướng tìm ra lời giải một cách chính xác Điều này được minh chứng trong bảng số liệu mà tôi đã thống kê qua các năm khi cho các em làm các đề kiểm tra:

Năm học Lớp Tổng số Số lượng học sinh làm được câu

hỏi dạng này

Ghi chú

đề tài SKKN

đề tài SKKN

đề tài SKKN

Với kết quả như trên, tôi thấy đề tài SKKN đã mang lại hiệu quả đáng khích lệ khi giảng dạy về phần khảo sát hàm số trong chương trình Giải tích 12

PHẦN III: KẾT LUẬN

Trong quá trình giảng dạy môn toán, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán là một việc làm cần thiết Tuy nhiên, bên cạnh đó phải giúp các em rèn luyện được tính sáng tạo, thấy được mối liên hệ giữa các phần: Đại số, giải tích, hình học… Có thể đem kiến thức phần hình học để giải các bài toán Đại số, giải tích và ngược lại Từ đó giúp các em rèn luyện được tính linh hoạt, tránh cứng nhắc khi suy nghĩ

Các câu hỏi trong chương khảo sát hàm số là một trong những nội dung quan trọng mà các em học sinh lớp 12 cần nắm vững Đề tài SKKN của tôi được viết dựa trên kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 các năm vừa qua, đã được các học sinh đồng tình

và mang lại hiệu quả đáng khích lệ Ngoài ra đây còn là một tư liệu nhằm giúp các em

ôn tập khi thi tốt nghiệp THPT cuối năm

Rất mong được quý đồng nghiệp, các em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài SKKN được hoàn thiện hơn, qua đó nâng cao hiệu quả dạy và học môn Toán trong nhà trường phổ thông