TRUONG THPT LE HOAN 22 Phương pháp chứng minh qui nạp 2... bXác định công thức tính un .Từ đó tính limun 46.. Chứng minh rằng: un là một dãy không đổi 63.. Xét tính đơn điệu của các dãy
Trang 1dcq
1 TRUONG THPT LE HOAN
22 Phương pháp chứng minh qui nạp
2 1.Chứng minh rằng :
a) 1 + 2 + 3 + … + n =
b) 12 + 22 + 32 + …+ n2 =
c) 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1) = n2
d) 12 + 32 + 52 + …+ (2n – 1)2 =
e) 13 + 23 + 33 + …+ n3 =
3 f) + + + + =
4 g) 1 + + + + = 1 –
5 h) (1 – )(1 – )…(1 – ) =
6 h) 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) =
i) 1.2 + 2.5 + 3.8 + …+ n(3n – 1) = n2(n + 1) n ∈ N
7 i) + + + + =
j) 1.2 + 2.5 + 3.7 + …+ n(3n – 1) = n2(n + 1)
k) 1.4 + 2.7 + 3.10 + …+ n(3n + 1) = n(n + 1)2
l) 1 + 4 + 7 + …+ (3n + 1) =
m) 2 + 5 + 8 + …+ (3n – 1) =
8 m) + + + + =
9 n) + + + + = –
10 p) 1 + 3 + 6 + 10 + + =
11 q) + + + + =
12 2.Chứng minh rằng :
13 a)n3 – n chia hết cho 6 ∀ n > 1 b) n3 + 11n chia hết cho 6 ∀ n
14 c) 42n +2 – 1 chia hết cho 15 ∀ n d) 2n+2 > 2n + 5
15 d) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 e) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9
16 e) 3n – 1 > n ∀ n > 1 f) 3n > 3n + 1 g) 2n – n >
17 f)11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133 g) 5.23n – 2 + 33n – 1 chia hết cho 19
18 g) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6 g) 3n > n2 + 4n + 5
19 f) ∀ n >1
20 g) ∀ n ≥ 1
21 h) … < i) 1 + + + …+ > ∀n ≥ 2
22 j) 1 + + + …+ < 2 ∀n ≥ 2
23 k) 1 + + + …+ < n
24 3 Chứng minh rằng = 2cos ( n dấu căn)
25 4 Chứng minh rằng (1 + a)n ≥ 1 + na với a > – 1
26 5 Chứng minh rằng
a) sinx + sin2x + sin3x + …+ sinnx =
b) 1 + cosx + cos2x + cos3x + …+ cosnx =
c) cos2x + cos22x + cos23x + …+ cos2nx = +
27 6.Cho n số thực dương x1,x2,…,xn thỏa mãn điều kiện x1.x2.…xn = 1
28 Chứng minh rằng: x1 + x2 + …+ xn ≥ n
29 7.Cho n số thực x1,x2,…,xn∈ (0;1) n ≥ 2 Chứng minh rằng:
30 (1 – x1)(1– x2)…(1 – xn) > 1 – x1 – x2 – …– xn
31 Dãy số
32 1.Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau :
33 a) un = b) un = c) un = d) un =
34 e) un = b) un = c) un = (1 + )n d) un =
35 2.Cho dãy số un =
a) Xác định 5 số hạng đầu tiên
b) số là số hạng thứ mấy của dãy số
c) số là số hạng thứ mấy của dãy số
36 2.Cho dãy số (un) với un = 5.4n – 1 + 3
Trang 2dcq
37 Chứng minh rằng: un + 1 = 4un – 9 ∀ n ≥ 1
38 3.Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
39 a) u1 = 3 ; un +1 = un + 4 b) u1 = 4 ; un +1 = 3un + 2
40 c) u1 = 2 ; u n +1 = un d) u1 = ; un +1 =
41 e) u1 = ; un +1 = f) u1 = ; un +1 =
42 g) u1 = 1 ; u n +1 = un + 1 g) u1 = 1 ; un +1 = un + ()n
43 4.Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 0 ; u2 = 1 ; un + 2 =
44 a)Chứng minh rằng: un + 1 = – un + 1
45 b)Xác định công thức tính un Từ đó tính limun
46 4.Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 2 ; u2 = 1 ; un =
47 a)Chứng minh rằng: 2un + un–1 = 4 và un – un– 1 = 3(– )n– 2
48 b) Tính limun
49 4.Tìm số hạng thứ 2005 của dãy số:
a) u1 = 1 ; u2 = – 2 ; un = 3un – 1 – 2un – 2
b) u1 = 1 ; u2 = 2 ; un = 4un – 1 – 3un – 2
50 5.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= un + 7 ∀ n ≥ 1
51 a)Tính u2, u4 và u6
52 b)Chứng minh rằng: un = 7n – 6 ∀n ≥ 1
53 6.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1= – un + un + 1 ∀ n ≥ 1
54 a)Tính u2, u3 và u4
55 b)Chứng minh rằng: un = un + 3 ∀n ≥ 1
56 7.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 5un ∀ n ≥ 1
57 a)Tính u2, u4 và u6
58 b)Chứng minh rằng: un = 2.5n – 1 ∀n ≥ 1
59 8.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= 3un + 2n – 1 ∀ n ≥ 1
60 Chứng minh rằng: un = 3n – n ∀n ≥ 1
61 9.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1= ∀ n ≥ 1
62 Chứng minh rằng: (un) là một dãy không đổi
63 9 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = và un + 1= 4un + 7 ∀ n ≥ 1
64 a)Tính u2, u3 và u4
65 b)Chứng minh rằng: un = ∀n ≥ 1
66 10.Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
67 a) un = b) un =
68 c) un = n – d) un =
69 3 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
70 a) un = b) un = n2 – 5 c) un = d) un = (– 1)n.n e) un = 2n
71 f) un = g) un = h) un = i) un = n + cos2n
72 h) un = 1 –
73 4 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
74 a) un = b) un = c) un = d) un =
75 e) un = n dấu căn f) un = 2n + cos
76 f) un = – 2 g) un = h) un = (– 1)n(2n + 1) k) un =
77 l) un = 2n + m) un =
78 5.Cho dãy số (un) xác định bởi un = a là một số thực.Hãy xác định a để: a) (un) là dãy số giảm b) (un) là dãy số tăng
79 5.Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) a) un = b) un = c) un =
80 d) un = e) un = f) un =
81 g) un = n dấu căn
82 6 Chứng minh rằng dãy số sau tăng và bị chặn trên:
83 un = + + …+
84 6 Chứng minh rằng dãy số sau giảm và bị chặn : un =
85 6.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
21 u1 = 0 và un +1 = un + 4 b) a)Chứng minh rằng un < 8 ∀ n
Trang 3dcq
c) b)Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn
86 7.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
a) u1 = 1 và un +1 =
a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số
b) b)Chứng minh rằng (un) bị chặn dưới bởi số 1 và
c) bị chặn trên bởi số 3/2
87 8.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1=
21 Chứng minh rằng un < 3 ∀ n
88 9.Cho dãy số (un) xác định bởi un =
a) a)Tìm 5 số hạng đầu tiên
89 10 Chứng minh rằng dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1=
90 tăng và bị chặn trên
91 10 Chứng minh rằng:các dãy số sau
92 a) un = + + … + (un) là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1
93 b) un = 1 + + + …+ tăng và bị chặn trên bởi 2
b) u1 = ;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi 2
c) u1 = 1;un + 1 = tăng và bị chặn trên bởi
94 11.Tìm số hạng lớn nhất của dãy số (un) với un =
95 Cấp số cộng
96 1.Cho cấp số cộng thoả mãn a10 = 15 ; a5 = 5 Tính a7
97.2.Cho cấp số cộng thoả mãn
= +
=
− +
8 a a
10 a a a
6 2
4 7 3
Tính a5 ;S9
98.3.Cho cấp số cộng thoả mãn
=
=
−
75 a a
8 a a
7 2
3 7
Tính a10 ;S100
99 4 Tìm cấp số cộng biết
= +
=
− +
26 a a
10 a a a
6 4
3 5 2
b)
= +
= +
1170 a
a
60 a
a
2 12
2 4
15 7
cấp số cộng có mấy số hạng,xác định cấp số cộng đó
102 5 Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng Chứng minh rằng :
a) a2 + 2bc = c2 + 2ab
b) 3 số a2 + ab + b2 ; a2 + ac + c2 ; b2 + bc + c2 cũng tạo
c) thành 1 cấp số cộng
d) a2 + 8bc = (2b + c)2
e) 3(a2 + b2 + c2) = 6(a – b)2 + (a + b + c)2
103 6 Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
105 7 Năm số a,b,c,d,e tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 10,
a) tích = 320.Tìm 5 số đó
3 số đó
đó
108 8 Ba số a,b,c tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 12,
cộng
111 9.Bốn số a,b,c,d tạo thành 1 cấp số cộng có tổng = 8,
113 10.Giữa các số 7 và 35 hãy thêm vào 6 số nữa để được 1 cấp
115 11.Cho các số a,b,c > 0 Chứng minh rằng :
Trang 4dcq
116 a)các số a2 , b2 , c2 lập thành 1 cấp số cộng
117 ⇔ các số , , lập thành 1 cấp số cộng
118 b)các số a,b,c lập thành 1 cấp số cộng ⇔ các số
119 , , lập thành 1 cấp số cộng
120 12.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng 3 cạnh a,b,c lập
122 13 Chứng minh rằng nếu cotg, cotg , cotg tạo thành
125 14.Môt đa giác có chu vi là 158cm,độ dài các cạnh lập thành
a) Tính số cạnh của đa giác
của đa giác đó
128 15.Tìm 4 số nguyên khác nhau,biết rằng chúng lập thành 1
a) của 3 số còn lại
130 16.Cho cấp số cộng (un) Chứng minh rằng :
131 a) + +…+ = un≠ 0 ∀ n
cộng
a (vn) : 1,6,11,16,21,
tốc trong giờ đầu là 30km/giờ và cứ mỗi giờ sau tăng vận tốc lên 4 km so với giờ trước.Hỏi sau mấy giờ thì hai người gặp nhau và khi đó cách A bao nhiêu km
thức sau: Sn =
141 21.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un + 1 = ∀n ≥ 1
142 a)Chứng minh rằng: dãy số (vn) mà vn = un ∀n ≥ 1 là một cấp số cộng , hãy xác định cấp số cộng đó
144 c)Tính tổng S = u1 + u2 + u3 + …+ u1002
145 22.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1= un + n ∀n ≥ 1
146 Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un ∀ n ≥ 1
uk + 1 – u1
149 23.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 và un +1= un + 2n – 1 ∀n ≥ 1
150 Xét dãy số (vn) mà vn = un + 1 – un ∀ n ≥ 1
số hạng tổng quát của (un)
153 24.Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = – 2 và un +1= ∀n ≥ 1
154 a)Chứng minh rằng: un < 0 ∀n ∈ N
155 b) Đặt vn = Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số cộng Từ đó suy ra biểu thức của un và vn
156 24.Cho hai cấp số cộng (un) và (vn) lần lượt có tổng của n số hạng đầu tiên là Sn = 7n + 1 và Sn’ = 4n + 27 Tính tỉ số
5n , ∀n ∈ N
Trang 5dcq
158 26.Cho cấp số cộng (un) biết Sp = q và Sq = p Hãy tính Sp + q
159 27.Cho cấp số cộng (un) biết up = q và uq = p Hãy tính un
160 28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = 2n + 3n2 Tìm uq
161 28.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n2 và Sm = m2 Chứng minh rằng:
163 29.Cho cấp số cộng (un) biết Sn = n(5n – 3) Tìm số hạng up
165 1.Cho cấp số nhân có u2 = – 8; u5 = 64.Tính u4 ; S5
= +
= +
180 a
a
60 a a
3 5
2 4
tìm a6 ; S4 b)
= + +
=
−
91 a a a
728 a
a
5 3 1
1 7
tìm a4 ; S5
= +
= +
20 a a
1460 a
a
3 1
1 7
tìm a2 ; S5 d)
= +
−
= +
65 a a a
325 a
a
5 3 1
1 7
169 3.Cho cấp số nhân (un) có 3.u2 + u5 = 0 và u3 + u6 = 63.Tính tổng
170 S = |u1| + |u2| + |u3| + ….+|u15|
171 4.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un + 1 = 3.un – 10 ∀n ≥ 1
173 3.Cho tứ giác ABCD có 4 góc tạo thành 1 cấp số nhân có
175 4.Một cấp số nhân có số hạng đầu là 9 số hạng cuối là 2187, công bội q = 3 Hỏi cấp số nhân ấy có
mấy số hạng
a) 31 và tổng của 5 số hạng sau bằng 62
a) hạng cuối bằng 27 và tích của hai số hạng còn lại bằng 72
179 5 Trong 1 hồ sen số lá sen ngày sau bằng 3 lần số lá sen
a) tới ngày thứ 10 thì hồ đầy lá sen
183 6.Cho 3 số a,b,c tạo thành 1 cấp số nhân Chứng minh rằng
a) (a + b + c)(a – b + c) = a2 + b2 + c2
a) (bc + ca + ab)3 = abc(a + b + c)3
b) (a2 + b2)(b2 + c2) = (ab + bc)2
c) 3 số ; ; tạo thành 1 cấp số cộng
d) 3 số (a + b + c); ; cũng lập thành một cấp số nhân vứi a ,b ,c > 0
184 7.Tìm x để 3 số x + 1 ; x + 4 ; 5x + 2 tạo thành 1 cấp số nhân
185 8.Cho 3 số tạo thành 1 cấp số nhân Nếu thêm 4 vào số hạng
a) a)
=
= + +
64 c b a
14 c b a
b)
=
= + +
3375 c
b a
65 c b a
189 10.Biết rằng 3 số a,b,c lập thành 1 cấp số nhân và 3 số a,2b,3c lập thành 1 cấp số cộng Tìm công
bội của cấp số nhân
Trang 6dcq
190 11 Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 26,đồng
193 12.Tìm cấp số nhân a,b,c biết rằng tổng a + b + c = 21,
196 13.Tính các góc của 1 tam giác vuông có độ dài 3 cạnh
198 14.Cho 2 số a,b > 0.Giữa các số và hãy thêm vào 5
200 15.Hãy xác định 1 cấp số nhân có 6 số hạng,biết rằng tổng
202 16.Khoảng cách giữa 1 người đi xe máy và 1 người đi bộlà 1km Vận tốc của xe máy = 10 lần vận tốc
người đi bộ.Hỏi xe máy
206 các cạnh của A1B1C1 lập thành tam giác A2B2C2 trung điểm
207 các cạnh của A2B2C2 lập thành tam giác A3B3C3 Tính tổng
208 chu vi của tất cả các tam giác ABC,A1B1C1,A2B2C2
209 18.Các cạnh của tam giác ABC lập thành 1 cấp số nhân
211 19.Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành 1 cấp số
a) a)
b) cos2A + cos2B + cos2C =
213 20.Hãy xác định a,b sao cho 1,a,b lập thành 1 cấp số cộng và
214 1, a 2,b2 lập thành 1 cấp số nhân
215 21.Ba số dương lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào số thứ nhất và số thứ hai,thêm
4 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 cấp số nhân Tìm các số đó
21 Ba số lập thành 1 cấp số cộng có tổng = 15.Nếu thêm 1 vào số thứ nhất, thêm 4 vào số thứ
hai,thêm 19 vào số thứ ba thì được 3 số mới lập thành 1 cấp số nhân Tìm các số đó
216 22.Bốn số lập thành 1 cấp số cộng Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta được 1 cấp số nhân Tìm 4
số đó
217 23.Ba số khác nhau tạo thành 1 cấp số nhân ,có tổng = 15 đồng thời chúng là số hạng thứ nhất,thứ
tư,thứ hai mươi lăm của 1 cấp số cộng khác.Tìm các số đó
a) a2b2c2 = a3 + b3 + c3
b) (ab + bc + cd)2 = (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2)
c) (d – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = (d – a)2
219 25.Một cấp số cộng và một cấp số nhân cùng có số hạnh thứ nhất bằng 5,số hạng thứ hai của cấp số
cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10,còn các số hạng thứ ba thì bằng nhau
3z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai d ≠ 0.Hãy tìm q
+ 2 , x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y
1 , 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm x và y
lập thành một cấp số nhân; và ba số x , y – 4 ,
1)2 ,xy – 1, (x + 2)2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân Hãy tìm x và y
a) S = 1 + + + + …+
Trang 7dcq
b) S = ( – ) + ( – ) + ( – ) + …+ ( – )
c) S = 1 + + + + …+
228 31.Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 ;un + 1 = và dãy số (vn) xác định bởi vn = un – 2 Chứng minh rằng: (vn) là một cấp số nhân Từ đó suy ra biểu thức của un và vn
DIEN THOAI 0937330126