BT BDT HOT

Chứng minh rằng:.

Cac bai toan BDT trong cac ky thi DH-CD

Bai 1: Cho a > 0, b > 0, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 6 Chứng minh rằng:

512

729 1

1

1 1

1









 +











 +











 +

c b

a

Bai 2: Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = xyz(x + y)(y + z)(z + x)

Bai 3: Cho cỏc số thực x, y thay đổi thỏa điều kiện: y ≤ 0, x2 + x = y + 12 Tỡm GTLN, GTNN của biểu thức A = xy + x + 2y + 17

Bai 4: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng x3 + y3 + z3 ≥ x + y + z

Bai 5: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz

Bai 6: Cho x, y là 2 số thực dương thỏa món điều kiện x + y = 5

4 Tỡm GTNN của biểu thức A = 4x+41y Bai 7: Tỡm GTLN và GTNN của hàm số: y = cosx+ sinx

Bai 8: Cho 3 số dương x, y, z thỏa x + y + z ≤ 1 Tỡm GTNN của biểu thức A = x + y + z + 1 1 1x+ +y z

Bai 9: Cho a, b, c là 3 số thực dương Cmr a b c b c a c a b 9

+ + + + + + + + ≥ Bai 10: Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = 1 Cmr 1 1 1 1 1 1 64

 +  +  + ≥

Bai 11: Cho x, y≥ 0 và x2+y2=1 CMR: 1

2

1 ≤x3 +y3 ≤ Bai 12: CMR: 62 4 62 4 62 4 ≤ 14 + 14 + 14 ∀ , , >0

+

+ +

+

z z

y

y y

x x

Bai 13: Cho x, y, z thay đổi: x2+y2+z2=1

Tìm GTLN của biểu thức: [ 2( )2 2( )2 2( )2]

2

1

y x z x z y z y x zx yz xy

Bai 14: Cho x, y >0 t/m: x+y=1 Tìm GTLN của biểu thức: (1 12)(1 12)

y x

Bai 15: Cho x, y >0 và x+y≤ 1 Tìm min xy

xy y x

A 2 1 2 + 2 +4

+

= Bai 16: Cho x, y >0, xy=1 Tìm max của biểu thức: 4 2 x2 y4

y y

x

x A

+

+ +

=

Bai 17: Cho hàm số f(x)=ex-sinx+

2

2

x

Tìm GTNN của hàm số f(x) và CMR phơng trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm

Bai 18: Cho hai số dơng x, y thay đổi thoả : x+y ≥4 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức:

2

4

A

Bai 19: Cho x, y, z là các biến số dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bai 20: Cho x, y, z laứ ba soỏ thoỷa x + y + z = 0 Chửựng minh raống:

3 4 + x + 3 4 + y + 3 4 + z ≥ 6

Bai 21: Gi¶ sö x, y lµ hai sè d¬ng tháa ®iÒu kiÖn 2 3 6

x+ =y T×m GTNN cña biÓu thøc P x y= + Bai 22: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè: y=(sin x 3cos x 2sin x 3cos x+ ) ( − )

Bai 23: Cho a, b > 0 CMR : b

b

a a

b b

a

a1 + + 3 ≥ 1+ +

3

3 3

Bai 24: Cho a, b > 0, ab + a + b = 3 Chøng minh r»ng: 3a 3b ab 2 2 3

Bai 25: Cho x, y, z lµ c¸c sè d¬ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

A

Bai 26: Cho x, y z là các số dương và 3

2

x y z+ + ≤ Chứng minh rằng:

x y x

Bai 27: Cho 3 sè d¬ng a, b, c tho¶: a + b + c 3

2

≤ T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt biÓu thøc:

Bai 28: CMR voi moi x, y > 0 ta co : (1 x)(1 y)(1 9 )2 256

Bai 29: Cho a, b, c là các số dương thỏa điều kiện : a + b + c = 3

4 CMR: 3 a+3b +3b+3c +3c+3a ≤3

Bai 30: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè: 









 + +

+

x

7 1 4 x 2

11 x

Bai 31: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

y x

z x z

y z y

x

+

+ +

+ +

Voi x, y z là các số dương thỏa điều kiện x+y+z≥6

Bai 32: Cho x, y z là các số dương thỏa điều kiện 3−x +3−y+3−z =1

CMR:

4

3 3 3 3

3

9 3

3

9 3

3

y x z

z x

z y

y z

y x

+

+ +

+

Câu 33: Chứng minh rằng ∀x ,,y z thỏa điều kiện x> y>z≥2 ta có:

x x y y y y z z x x z z

e e

e e

e

1 1

1

−

−

−

−

−

Câu 34: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa : 3+2+1=1

c b

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=a+b+c

Câu 35: Cho x∈[−1;1] Tìm GTLN của f(x)= 2x5 + 4−2x2 +x3 2−x

Câu 36: Cho 3 số dương x,y,z Tìm GTNN của biểu thức

2

1 2

1 2

1

+ +

+ + +

+ + + + + +

=

Câu 37: Cho 4 số a,b,c,d thuộc [1;2].CMR:

12

25 )

(

) )(

(

2

2 2 2 2

≤ +

+ +

bd ac

d c b a

Câu 38: Cho a,b,c là 3 số dương và a+b+c≤3.CMR:

= 1+ 12 + 12 + 1+ 12 + 12 + 1+ 12 + 12 ≥3 3

c a b

c b

a P

Câu 39: Cho a,b,c,d thuộc [0;1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1

1

+

=

bca

d bad

c acd

b bcd

a P

Câu 40: Chứng minh rằng với mọi x thuộc (−∞;0)∪(2;+∞) ta cĩ:

(x−1)2+4 x2−2x−2(2 x2−2x+1)ln x2−2x≥6

Câu 41: Cho 4 số dương a,b,c,d thoả mãn điều kiện: c+d<a+b Chứng minh rằng:

b a

a d c b a

c a d

c

c

+

≥

−

− +

− + +

2 2

Câu 42: Cho 4 số thực a,b,c,d thỏa hệ:







= +

=

− +

(2) 5

(1) 3 2 2 2

d c

a b a

Chứng minh ac+bd+cd-a<8+4 2

Câu 43: Cho tam giác ABC cĩ độ dài các cạnh là a,b,c và cĩ chu vi bằng 2

27

52≤a2+b2+c2+ abc<

Câu 44: Cho 3 số khơng âm a,b,c CMR: a3+b3+c3≥a2 bc+b2 ac+c2 ab

Câu 45: Cho 3 số khơng âm x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Chứng minh rằng:

27

7 2

0≤xy+yz+zx− xyz≤ Câu 46: Cho 3 số dương a,b,c thỏa abc=10 Chứng minh rằng ta luơn cĩ:

a a b b c c a b c

4

1 4

1 4

1 ) 4

lg 4

lg 4

lg (

Câu 47: Cho x,y,z>0 Chứng minh rằng: 32 2 23 2 23 2 12 12 12

z y x x z

x z

y

y y

x

+

+ +

+ + Câu 48: Cho x,y,z thay đổi trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện

2

3

= + +y z

x Tìm GTNN của biểu thức A=cos(x2+y2+z2)

Câu 49: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng :1 1 1 2 2 2

a b c+ + ≥a b b c c a+ +

Câu 50: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y c= os2x+3sinx.cosx + 1.

Câu 51: Cho 3 số dương a b c, , thỏa điều kiện 1 1 1 2

1 8

abc≤ Câu 52: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x2+y2+z2 3= CMR: xy yz zx 3

z + x + y ≥ Câu 53: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 os44 4sin22

y

+

=

Câu 54: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2( ) 2 ( )

Câu 55: Cho x, y, z là ba số dương và xyz = 1 CM rằng:1x2y+1y2z +1z2x ≥ 23

+ + + Câu 56: Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng: (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc

Câu 57: Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng tho¶ m·n ®iỊu kiƯn: a + b + c =

4

3

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: A =3a + 3b +3 b + 3c +3c + 3a

Câu 58: Cho x, y ,z là các số thực thoả mãn các điều kiện sau: x y z + + = 0; x + > 1 0; y + > 1 0;

1 0

Q

Câu 59: Cho x y , ∈ ( ) 0;1 , x y ≠ Chứng minh rằng : 1 ln ln 4

Câu 60: Cho x > y > 0 Chứng minh rằng 5ln x − 4ln y ≥ ln(5 x − 4 ) y

Câu 61: Tìm các điểm cực trị của hàm số sin 2

2

x

Câu 62: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c + + = 2 Chứng minh rằng :

1

Câu 63: Cho hai số thực x y , ≥ 0 thỏa mãn 4

x y

x y







+ ≤

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 9 3 x + 4 y

Câu 64: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c + + = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

Câu 65: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 1 = Chứng minh rằng :

3 3

Câu 66: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c + + = 1 Chứng minh rằng :

6

Câu 67: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2( x 3 + y 3 + z 3 ) ( − x y y z z x 2 + 2 + 2 ) biết 0 ≤ x y z , , ≤ 1

Câu 68: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2 y 2 z 2

P

x y y z z x

Câu 69: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1

CMR: a 1 1 b 1 1 c 1 1 1

 − +  − +  − + ≤

Câu 70: Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn điều kiện x y z + + = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của bểu thức: P x = 4 + y 4 + z 4 − xyz

Câu 71: Cho ba số thực a, b, c Chứng minh rằng:

2

a b c

Câu 72: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức log 2 1 log 2 1 log 2 1

trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện xyz = 8

Câu 73: Cho 3 số x, y, z tuỳ ý CMR: x 2 + + xy y 2 + x 2 + + xz z 2 ≥ y 2 + + yz z 2

Câu 74: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz x y z= + + +2

2

x+ y+ z ≤ xyz b) xy + yz + zx ≥ 2( x + y + z ) ( goi y : Ta đặt 1 , 1 , 1

Cõu 75: Cho x, y, z là ba số thay đổi, nhận giỏ trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng:

Cõu 76: Cho x, y, z là những số dơng Chứng minh rằng:

Cõu 77: Với a, b, c là ba số thực dơng thoả mãn đẳng thức: ab + bc + ca = abc

2 2

2 2

2 2

≥

+ +

+ +

+

ca

c a

bc

b c

ab

a

Cõu 78: Cho a,b,c >0 vaứ abc=1 Chửựng minh raống :

3

Cõu 79: Cho caực soỏ dửụng x,y,z thoỷa maừn xyz=1 Chửựng minh raống

3 3 1

1

≥ + + + + + + + +

zx

x z yz

z y xy

y x

Cõu 80: Chửựng minh raống vụựi moùi x∈R, ta coự: x x x

x x

x

5 4 3 3

20 4

15 5

12

+ +

≥











 +











 +













Cõu 81: Cho x,y,z laứ caực soỏ dửụng Chửựng minh raống: 3x+2y+4z≥ xy +3 yz +5 zx

Cõu 82: Cho a, b, c > 0 thỏa CMR:

Cõu 83: Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 3 Chứng minh rằng:

Cõu 84: Cho a, b, c khụng õm thỏa a + b + c = 3 Chứng minh rằng: