Cho a,b,c là các số dương... Sau đó cộng từng vế của BĐT 6.
Trang 11 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
c) a3+b3≥ ab(a+b)
d) a4+b4≥ a3b+ab3
Hướng dẫn:
a) a2+b2+1≥ ab+a+b
⇔(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1) ≥ 0
⇔( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2 ≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+1≥ ab+a+b với mọi a,b
b) a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
⇔ a2+b2+c2+d2+e2-a(b+c+d+e)≥ 0
4 4
4 4
2
2 2
2 2
2 2
2
≥
− + +
− + +
− + +
− +
e ae
a d
ad
a c
ac
a b
ab
a
2 2
2 2
2 2
2 2
≥
− +
− +
− +
−a b a c a d a e
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a2+b2+c2+d2+e2≥ a(b+c+d+e)
c) a3+b3≥ ab(a+b) ⇔ a3+b3 - ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)2(a2-2ab+b2) ≥ 0
⇔ (a+b)2(a-b)2≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a3+b3≥ ab(a+b)
d) a4+b4≥ a3b+ab3⇔ (a4- a3b )+(b4-ab3) ≥ 0 ⇔ a3(a- b )+b3(b-a) ≥ 0
⇔ (a- b )( a3- b3) ≥ 0 ⇔ (a- b )2( a2+ab+ b2) ≥ 0
⇔ (a- b )2
+
+
4
3 2
2 2
b b
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a4+b4≥ a3b+ab3
2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥ 6abc
Hướng dẫn:
⇔ (a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥ 0
b) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥ 6abc
⇔ a2+a2b2+b2+b2c2+c2+c2a2-6abc≥ 0
⇔ (a-bc)2+(b-ac)2+(c-ab)2≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥ 6abc
Trang 23 a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 Chứng minh rằng:
a4+b4≥ a3+b3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 Chứng minh rằng:
a4+b4+c4≥ a3+b3+ c3
Hướng dẫn :
a) a4+b4≥ a3+b3
⇔ 2(a4+b4) ≥ ( a3+b3)(a+b)
4
3 2
2
2
≥
+
+a b b
b) a4+b4+c4≥ a3+b3+ c3
⇔3 ( a4+b4+c4 )≥ ( a3+b3+ c3)(a+b+c)
4
3 2 4
3 2 4
3 2
2
2 2
2
2 2
2
2
+
+
− +
+
+
− +
+
+
−b a b b b c b c c c a c a a
a
4 Cho a,b,c là các số dương Chứng minh rằng:
+
+ +
+ +
<
c a
c c b
b b a a
Hướng dẫn:
Do a,b,c> 0 nên: a a b< + ⇒ac a a b+ ( + < +) (a b c a a b) + ( + )
a b a b c
+
⇒ + + < + + ⇒ <
+ + +
Tương tự ta cũng chứng minh được: b b c a a b b c a a c < a a+b+b+c
+ +
+
+
<
Ta có :
c b a
c a b a
a c b a
a
+ +
+
<
+
<
+
a b b c b b c < a a++b b+c
+
<
+
c b a
c b c a
c c b a
c
+ +
+
<
+
<
+
+
+ +
+ +
<
c a
c c b
b b a a
5 Cho 4 số dương a,b, c Chứng minh :
+ +
+ + +
+ + +
+ + +
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a a
Hướng dẫn:
Ta có :
c a
a c b a
a d
c
b
a
a
+
<
+ +
<
+
+
+
Trang 3d b
a d c b
b d
c
b
a
b
+
<
+ +
<
+
+
+
………
Sau đó cộng từng vế của BĐT
6 Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:
c
ab b
ac
a
bc+ + ≥ + +
b)
2
c b a a c
ca c b
bc b
a
+
+ +
+
+
a
c c
b
b
a3 + 3 + 3 ≥ + +
Hướng dẫn:
b
a a
b c b
ac
a
bc
2
≥
+
=
c
ab b
ac
2
≥
a
bc c
ab
2
≥ +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
b) Aùp dụng bất dẳng thức x xy+y ≥ x+4y với x,y >0 , ta có :
4
b
a
b
a
ab ≤ +
+ ,b bc c ≤ b+4c
+ ,c ca a ≤ c+4a
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
c) Ta có: a3+b3 ≥ ab(a+b) với a,b>0
⇒ b a(a b)
b
a3 + 2 ≥ +
c
a c(a c)
a
c3 + 2 ≥ +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
7 Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:
a
a
b b
a a
b
b
a
+
≥ + 22
2
2
a
c c
b
b
a2 + 2 + 2 ≥ + +
c
2
2 2
b a
c a c
b c
b
+
+ +
+
Hướng dẫn:
+ +
+
−
+
=
+
−
+
a
b b
a a
b b
a a
b b
a a
b b
a a
b b
a
2
2
2 2
2 2
2 2 2
Trang 4Do a,b>0 nên A≥ 2 2 2 1 1 0
2 2
2
≥
− +
−
= +
+
−
+
a
b b
a a
b b
a a
b b a
b
ab b
b a b b
a
2 2
2 2 2
=
≥
+
=
c
b
2
2
≥
a
c
2
2
≥ +
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh
c Xét :
(b c) a
c b a c
b
c b a c
b
c
b
+
+
≥ +
+ +
=
+
+
4 )
( 4
2 4
2 2
2
(do b,c>0)
a c
+ 4
2
b a
+ 4
2
8 Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2 và ab+bc+ca=1
Chứng minh rằng: 0≤a,b,c≤34
Hướng dẫn:
⇒(2-a)2≥ 4(a-1)2 ⇒ a(3a-4)≤ 0 ⇒0≤ a ≤34
Làm tương tự cho b và c
9 Cho a, b,c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả mãn a+b+c=0
Chứng minh : a2+b2+c2≤ 6
Hướng dẫn:
Ta có -1≤a,b,c≤2 ⇒ a+1≥ 0 và a-2≤0 ⇒(a+1)(a-2)≤ 0 ⇒ a2 -a-2≤0
⇒ a2 ≤a+2
Tương tự, ta có b2 ≤b+2; c2 ≤c+2
Vậy a2+b2+c2≤ 6
10 Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn a+b+c=1
Hướng dẫn:
Cách 1: b+c≥ 16abc ⇔ b+c≥ 16bc(1-b-c)
⇔b+c≥ 16bc-16b2c-16bc2
⇔16b2c+16bc2-16bc+b+c≥ 0
⇔ c(16b2-8b+1)+b(16c2-8c+1) ≥ 0
⇔ c(4b-1)2+b(4c-1)2≥ 0
Trang 5Cách 2: Ta có: b+c=(b+c)[a+(b+c)]2≥ (b+c)4a(b+c)=4a(b+c)2