BT đại số 10 CHƯƠNG IV bđt BPT

BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH... Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm... Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.. Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.. Tìm GTNN của biểu thức:... Dễ dàng suy

§1 BẤT ĐẲNG THỨC

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản

Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2b2c2 ab bc ca  b) a2b2  1 ab a b 

c) a2b2c2  3 2(a b c  ) d) a2b2c2  2(ab bc ca  )

e) a4b4c2  1 2 (a ab2  a c 1) f) a2 b2 c2 ab ac 2bc

g) a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2) 6  abc h) a2b2c2d2e2 a b c d e(    )

i)

1 1 1 1 1 1

     với a, b, c > 0

k) a b c   ab bc ca với a, b, c  0

HD: a)  (a b )2  (b c)2  (c a)2 0 b)  (a b )2  (a 1)2  (b 1)2 0

c)  (a 1)2  (b 1)2  ( 1)c 2  0 d)  (a b c  )2 0

e)  (a2b2 2)   (a c)2  (a 1)2  0 f)  a b c

2

2

g)  (a bc )2  (b ca)2  (c ab)2 0

0

i) 

k)   a b 2 b c 2 c a2 0

Cho a, b, c  R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a3 b3 a b 3

  ; với a, b  0 b) a4b4 a b ab3  3

c) a4  3 4a d) a3b3c3 3abc , với a, b, c > 0

e) a b a b

b a

4 4

   ; với a, b  0 f)

ab

a2 b2

1

1  1    ; với ab  1

CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

g) a

a

2

2

3 2 2





 h) (a5b a b5)(   ) (a4b a4)( 2b2); với ab > 0 HD: a)  3 (a b a b)( )2 0

8    b)  (a3b a b3)(   ) 0

c)  (a 1) (2 2a  2a  3) 0

d) Sử dụng hằng đẳng thức a3b3   (a b)3 3a b2  3ab2 BĐT  (a b c a  ) 2b2c2 (ab bc ca  ) 0

e)  (a2b2 2) (a4a b2 2b4) 0  f)  b a ab

2

(1 )(1 )(1 )

g)  (a2 1)2 0 h)  ab a b a(  )( 3b3) 0  Cho a, b, c, d  R Chứng minh rằng a2b2 2ab (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) a4b4c4d4  4abcd b) (a2 1)(b2 1)(c2  1) 8abc

c) (a2 4)(b2 4)(c2 4)(d2  4) 256abcd

HD: a) a4b4  2a b c2 2; 2d2  2c d2 2; a b2 2c d2 2  2abcd

b) a2  1 2 ;a b2  1 2 ;b c2  1 2c c) a2  4 4 ;a b2  4 4 ;b c2  4 4 ;c d2  4 4d

Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng nếu a

b1 thì

a a c

b b c





 (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a b b c c a     2

a b c b c d c d a d a b

a b c b c d c d a d a b

HD: BĐT (1)  (a – b)c < 0

a) Sử dụng (1), ta được: a a c

a b a b c





b c a b c





c a a b c





Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: a a a

a b c d a b c a c       

a b c d b c d b d       

a b c d c d a a c       

a b c d d a b d b       

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm

c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có: a b a b a b d

a b c d a b c a b c d

Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm

Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a2b2c2 ab bc ca  (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) (a b c  )2 3(a2b2c2) b) a2 b2 c2 a b c 2

   c) (a b c  )2 3(ab bc ca  ) d) a4b4c4 abc a b c(   )

e) a b c ab bc ca

    

với a,b,c>0 f) a4b4c4 abc nếu a b c 1  

HD:  (a b )2  (b c)2  (c a)2 0

a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)

d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)

f) Sử dụng d)

Cho a, b  0 Chứng minh bất đẳng thức: a3b3a b b a ab a b2  2  (  ) (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a)

abc

a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc

b)

a3 b3 b3 c3 c3 a3

      ; với a, b, c > 0 và abc = 1

c)

      ; với a, b, c > 0 và abc = 1

d) 34(a3b3) 34(b3c3) 34(c3a3) 2(  a b c  ); với a, b, c  0

e*) 3sinA 3sinB 3sinC 3cosA 3cosB 3cosC

HD: (1)  (a2b a b2)(   ) 0

a) Từ (1)  a3b3abc ab a b c (   ) 

ab a b c

a3 b3 abc



 

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm

b, c) Sử dụng a)

d) Từ (1)  3(a3b3) 3(  a b ab2  2)  4(a3b3) (  a b)3 (2)

Từ đó: VT  (a b     ) (b c) (c a) 2(  a b c  ) e) Ta có: sinA sinB 2 cos cosC A B 2 cosC



Sử dụng (2) ta được: a b 34(a3b3)

 3sinA 3sinB 3 4(sinA sin )B 34.2.cosC 2 cos3 C

Tương tự, 3sinB 3sinC 2 cos 3 A

2

  , 3sinC 3sinA 2 cos3 B

2

 

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm

Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

a2x2  b2y2  (a b )2  (x y)2 (1)

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) Cho a, b  0 thoả a b 1  Chứng minh: 1 a2  1 b2  5

b) Tìm GTNN của biểu thức P = a b

  

c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1   Chứng minh:

d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z   3 Tìm GTNN của biểu thức:

P = 223 x2  223 y2  223 z2

HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)  (a2b x2)( 2y2) ab xy (*)

 Nếu ab xy 0  thì (*) hiển nhiên đúng

 Nếu ab xy 0  thì bình phương 2 vế ta được: (*)  (bx ay )2 0 (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: 1 a2  1 b2  (1 1)  2  (a b)2  5

b) Sử dụng (1) P  a b a b

(  )     (  )    17



Chú ý:

a b a b

1 1  4

 (với a, b > 0)

c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

x y z

2

1 1 1 ( )  1 1 1 

           

 

 x y z

x y z

2

(   )    82

 

 

Chú ý:

x y z x y z

1 1 1   9

  (với x, y, z > 0)

d) Tương tự câu c) Ta có: P  3 2232   (x y z)2  2010 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh:

a) ab bc ca a b   2+ 2c2<2(ab bc ca  )

b) abc (a b c b c a a c b  )(   )(   )

c) 2a b2 2 2b c2 2 2c a2 2a4b4c4 0

d) a b c(  )2b c a(  )2c a b(  )2 a3b3c3

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c  a2b2 2bc c 2

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm

b) Ta có: a2a2  (b c)2a2    (a b c a b c)(   ) Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm

c)  (a b c a b c b c a c a b  )(   )(   )(   ) 0 

d)  (a b c b c a c a b  )(   )(   ) 0 

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si

Cho a, b, c  0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a b b c c a )(  )(  ) 8  abc b) (a b c a  )( 2b2c2) 9  abc

c) (1 a)(1 b)(1   c) 1 3abc3 d) bc ca ab a b c

a  b  c    ; với a, b, c > 0

e) a2(1 b2) b2(1 c2) c2(1 a2) 6  abc

f) ab bc ca a b c

a b b c c a 2

 

   ; với a, b, c > 0

b c c a a b

3 2

   ; với a, b, c > 0

HD: a) a b  2 ab b c;   2 bc c a;   2 ca  đpcm

b) a b c   33abc a; 2b2c2 33a b c2 2 2  đpcm

c)  (1 a)(1 b)(1      c) 1 a b c ab bc ca abc  

 a b c   33abc  ab bc ca   33 2 2 2a b c

 (1 a)(1 b)(1   c) 1 33abc 33 2 2 2a b c abc 1 3abc3

d) bc ca abc c

2

   , ca ab a bc a

2

2

e) VT  2(a b b c c a2  2  2 ) 63 3 3 3a b c  6abc f) Vì a b  2 ab nên ab ab ab

a b 2 ab  2 Tương tự: bc bc ca ca

b c  2 ; c a  2

 ab bc ca ab bc ca a b c

(vì ab bc ca a b c   )

     

     

        

     

=  a b b c c a 

b c c a a b

1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3 2

        

  

   9 3 3

2 2

 Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b

Khi đó, VT = x y z x z y

2

      

     

       

2    2

Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b c

3 3 3 1 1 1 2

(   )      ( )

 

b) 3(a3b3c3) (   a b c a)( 2b2c2) c) 9(a3b3c3) (   a b c)3

Chú ý: a b a b ab

b a

2 2

   Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm

b)  2(a3 b3 c3 ) a b b a2  2   b c bc2  2  c a ca2  2

Chú ý: a3b3ab a b(  ) Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm

c) Áp dụng b) ta có: 9(a3b3c3) 3(  a b c a  )( 2b2c2)

Dễ chứng minh được: 3(a2b2c2) (   a b c)2  đpcm

Cho a, b > 0 Chứng minh

a b a b

1 1  4

 (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a)

1 1 1 2 1 1 1 

      

  

 ; với a, b, c > 0

b)

          ; với a, b, c > 0

c) Cho a, b, c > 0 thoả

a b c

1 1 1 4    Chứng minh:

a b c a b c a b c

2     2     2  d) ab bc ca a b c

a b b c c a 2

 

   ; với a, b, c > 0

e) Cho x, y, z > 0 thoả x 2y 4z 12 Chứng minh: xy yz xz

2 2 4 4 

f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh

rằng:

p a p b p c a b c

1  1  1 2 1 1 1  

HD: (1)  a b

a b

1 1 (  )   4

  Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si

a) Áp dụng (1) ba lần ta được:

a b a b b c b c c a c a

1 1  4 ; 1 1  4 ; 1 1  4

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm

b) Tương tự câu a)

c) Áp dụng a) và b) ta được:

      

     

d) Theo (1):

1 1 1 1 4

 

   

    ab a b

a b 1 ( )

4

Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm

e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12    đpcm

f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c

Áp dụng (1) ta được:

p a p b p a p b c

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm

Cho a, b, c > 0 Chứng minh

a b c a b c

1 1 1   9

  (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b b c c a

2

       

  

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1  

Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z

x 1y 1z 1

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   Tìm GTNN của biểu thức:

P =

a2 bc b2 ac c2 ab

d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   Chứng minh:

ab bc ca

a2 b2 c2

1  1  1  1 30

e*) Cho tam giác ABC Chứng minh:

2 cos2  2 cos2  2 cos2   5

HD: Ta có: (1)  a b c

a b c

1 1 1 (   )    9

  Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si

a) Áp dụng (1) ta được:

a b b c c a a b c

 VT  a b c a b c a b c

Chú ý: (a b c  )2 3(a2b2c2)

b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:

       

3

1 1 1

   

  

Ta có:

1 1 1 3 4

4 4

  Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:

Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   và k là hằng số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức: P = x y z

kx 1ky 1kz 1

c) Ta có: P 

a2 bc b2 ca c2 ab a b c 2

d) VT 

ab bc ca

a2 b2 c2

=

ab bc ca ab bc ca ab bc ca

a2 b2 c2

       

 



ab bc ca

a b c 2

1 1

3

 

Chú ý: ab bc ca 1(a b c)2 1

e) Áp dụng (1):

2 cos2  2 cos2  2 cos2  6 cos2   cos2  cos2

 9 6

3 5 6

2





Chú ý: cos2A cos2B cos2C 3

2

Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) y x x

x

18; 0 2

x2 ; 1

x

x

x



e) y x x

x x5 ; 0 1 1

x

x

3

2  1; 0

g) y x x x

x

2  4  4 ; 0

x

2 3

2 ; 0

HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3

2 khi x = 3

c) Miny = 6 3

2

 khi x = 6 1

3  d) Miny =

30 1 3



khi x = 30 1

2



e) Miny = 2 5 5  khi x 5 5

4



 f) Miny = 33

4 khi x =

3 2

g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 55

27 khi x =

5 3

Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) y (x 3)(5 x); 3   x 5 b) y x (6 x); 0  x 6

c) y (x 3)(5 2 ); 3x x 5

2

2

e) y (6x 3)(5 2 );x 1 x 5

x2 2; 0

 g)

 

x y

x

2 3

2 2





HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3

c) Maxy = 121

8 khi x =

1 4

 d) Maxy = 625

8 khi x =

5 4

e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 1

2 2 khi x = 2 ( x x

2

2   2 2 )

g) Ta có: x2  2 x2   1 1 33 x2  (x2 2)3 27x2  x

x

2

1 27 (  2) 

 Maxy = 1

27 khi x = 1

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3a2 4b2  7, với 3a 4b 7 b) 3a2 5b2 735

47

  , với 2a 3b 7

c) 7a2 11b2 2464

137

  , với 3a 5b 8 d) a2 b2 4

5

  , với a 2b 2

e) 2a2 3b2 5, với 2a 3b 5 f) (x 2y 1)2 (2x 4y 5)2 9

5

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 3, 4, 3 , 4a b

b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2 , 3 , 3 , 5a b

3  5

c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 3 , 5 , 7 , 11a b

7  11

d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,2, ,a b

e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2, 3, 2 , 3a b

f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a–b=–3 và BĐT  a2 b2 9

5

 

Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2 b2 1

2

  , với a b 1  b) a3 b3 1

4

  , với a b 1 

c) a4 b4 1

8

  , với a b 1  d) a4b4 2, với a b 2 

HD: a) 1 (1 1 )  a b 2  (1 1 )(2 2 a2b2)  đpcm

b) a b      1 b 1 a b3  (1 a)3  1 3a 3a2a3

 b a a

2

c) (1 1 )(2 2 a4 b4) (a2 b2 2) 1

4

d) (1 1 )(2 2 a2b2) (  a b)2  4  a2b2  2 (1 1 )(2 2 a4b4) (  a2b2 2)  4  a4b4  2

Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P 1  x 1  y 1 z

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P  1 1 1 (1       x) (1 y) (1 )z  6

Dấu "=" xảy ra  1     x 1 y 1 z  x y z 1

3

   Vậy Max P = 6 khi x y z 1

3

   Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1   Chứng minh rằng:

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:

x x

2

2

x x

2 2

82

  (1)

Tương tự ta có: y y

y y

2 2

82

  (2), z z

z z

2 2

82

Từ (1), (2), (3) suy ra:

x y z

82

82

 x y z

82

 

Dấu "=" xảy ra  x y z 1

3

  

Cho a, b, c  1

4

 thoả a b c 1   Chứng minh:

7  4   1 4   1 4 1   21

HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a 1; 4b 1; 4c 1  (2)

Chú ý: x y z   x y z Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 0 Từ đó  (1)

Cho x, y > 0 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) A

x y

4 1 4

  , với x + y = 1 b) B x y  , với

x y

2 3 6  

HD: a) Chú ý: A =

2



   

Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y

; ; ;

2 ta được:

x y

2

Dấu "=" xảy ra  x 4;y 1

  Vậy minA = 25

4 khi x y

4; 1

b) Chú ý:

2 3  2  3

      

   

Áp dụng BĐT (B) với 4 số: x y

2 3

; ; ; ta được:

2

2

(  )            2  3  x y  2

2 3 6



 

Dấu "=" xảy ra  x 2 3 3 2; y 2 3 3 2

2 3 6



Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A x 1  y y 1 x , với mọi x, y thoả x2y2  1

HD: a) Chú ý: x y  2(x2y2)  2

A  (x2y2)(1   y 1 x)  x y  2 2  2

Dấu "=" xảy ra  x y 2

2

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

a) A 7  x 2 x , với –2  x  7 b) B 6 x  1 8 3 x , với 1  x  3 c) C y  2x 5, với 36x2 16y2  9 d) D 2x y  2, với x2 y2 1

4  9 

HD: a)  A  (1 1 )(72 2   x x 2) 3 2  Dấu "=" xảy ra  x 5

2

  A  (7   x) (x 2) 3  Dấu "=" xảy ra  x = –2 hoặc x = 7

 maxA = 3 2khi x 5

2

 ; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7

b) B  (62 8 )(2 x   1 3 x) 10 2  Dấu "=" xảy ra  x = 43

25

 B  6 (x   1) (3 x) 2 3  x  6 2 Dấu "=" xảy ra  x = 3

 maxB = 10 2khi x = 43

25; minB = 6 2khi x = 3

c) Chú ý: 36x2 16y2  (6 )x 2 (4 )y 2 Từ đó: y 2x 1.4y 1.6x

 y 2x 1.4y 1.6x 1 1 16y2 36x2 5

 

        

 

 5 y 2x 5

     15 C y 2x 5 25

4      4

 minC = 15

4 khi x y

   ; maxC = 25

4 khi x y

2, 9

d) Chú ý: x2 y2 1 (3 ) (2 ) x 2 y 2

4  9 36  Từ đó: 2x y 2.3x 1.2y

 2x y 2.3x 1.2y 4 1 9x2 4y2 5

 

        

 

   5 2x y  5    7 D 2x y   2 3  minD = –7 khi x 8,y 9

   ; maxD = 3 khi x 8, y 9

§2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax+b<0

Giải các bất phương trình sau:

x 3 3 2 7

2





c) 5(x 1) 1 2(x 1)

Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) m x m(  )  x 1 b) mx  6 2x 3m

c) (m 1)x m  3m 4 d) mx  1 m2x

e) m x( 2) x m x 1

f) 3 mx 2(x m ) (  m 1)2

Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) m x2  4m   3 x m2 b) m x2    1 m (3m 2)x

c) mx m 2 mx 4 d) 3 mx 2(x m ) (  m 1)2

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

x x

15 8

8 5

2 3 2(2 3) 5

4







b)

7

4





x x

4 3 2







d)

x x

4

2 9 19



 





x x

x x

2

8

2 3 1

2





x x

1

15 2 2

3

3 14

2





 g)

x x

5





   



3 1 3( 2) 1 5 3

4 1 1 4 5 3

18 12 9

      



   

   



i) x x

3 1 2 7

4 3 2 19

   

   



Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:

5

7

8 3 2 25

2







x x

1

15 2 2

3

3 14 2( 4)

2







Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a)



















0 2

3

0 1

x m

m x













 0 3

0 1

mx

x

c) x m mx

2

4 2 1

3 2 2 1

   

   

