BÀI TẬP VỀ ĐẲNG THỨC CÔ-SI Bài 1: Cho x > 0 ; y > 0 và x+y = 2a(a > 0)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1x +1y
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x− 5 + 23 −x
Bài 3: Cho x+y = 15, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = x− 4 + y− 3
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 −26x x+5 trong đó x > 0
Bài 5: Cho a, b, x là những số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
b x a x
P= + +
Bài 6: Cho x ≥ 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = 2( 1)
17 2
2
+
+ +
x
x x
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x+6x+x3+34
Bài 8: Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = x3+x2000
Bài 9: Cho x > 0 ; y > 0 và x+y≥ 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
y x y x
P= 5 + 3 +12+16
Bài 10: Cho x > y và xy = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q x x xy y y
−
+ +
= 2 1,2 2
Bài 11: Cho x > 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4 251
−
+
x x
Bài 12: Cho 0 <x< 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 13x +x4
−
Bài 13: Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=a
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = xy+yz+zx
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 +y2 +z2
Bài 14: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y+z≥ 12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x y + y z + z x
Bài 15: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện x+y+z =a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
+
+
+
z
a y
a x
1
Bài 16: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện a+b+c= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( )( )( )
c b a
−
−
−
+ + +
1 1 1
1 1 1
Bài 17: Cho x, y thỏa mãn điều kiện x+y= 1 và x > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = x2y3
Giải
a y
x+ = = ⇒ ≤
Trang 2A = 22 2
a a
a xy
y
x+ ≥ = (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = a)
Vậy min A = 2a (khi và chỉ khi x = y = a)
Bài 2: ĐKXĐ: 5 ≤x≤ 23
max A2 = 36 ⇔ max A = 6 (khi và chỉ khi x = 14)
Bài 3: ĐKXĐ: x≥ 4 ; y≥ 3
B ≥ 8 ⇒ min B = 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12; y = 3)
max B2 = 16 ⇒ max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)
2
5 2 3 2
5
−
=
−
⋅
≥
− +
x
x x
x
x
2
5
=
2
1
=
Vậy min A = 10 − 3 (khi và chỉ khi 10
2
1
=
x
ab x b a x
ab
x+ + + ≥ ⋅ + + = + (dấu “=” xảy ra ⇔ x= ab ) Vậy min P = ( )2
b
a+ (khi và chỉ khi x= ab)
Bài 6: Q = ( )
8 2
1 2 1
8 2
1 1
2
16
+
⋅ +
≥ + + +
= +
+ +
x
x x
x x
x
(dấu “=” xảy ra⇔
1
8 2
1
+
=
+
x x
⇔ x = 3)
Vậy min Q = 4 (khi và chỉ khi x = 3)
Bài 7: ĐKXĐ: x≥ 0
3
25 3 3
25
32
=
≥ + + +
= +
+ +
x
x x
x
3
25
+
=
x
Vậy min M = 10 (khi và chỉ khi x = 4)
Bài 8: N = 2 +2000= 2 +1000+1000≥ 3
x x
x x
x x
x ⋅ ⋅ = 3 100 = 300 (dấu “=” xảy ra ⇔
x
x2 =1000 ⇔ x = 10)
Vậy min N = 300 (khi và chỉ khi x = 10)
Bài 9: P = ( )
y
y x
x y
y x x y
2 + + ≥ + ⋅ + ⋅
+ + +
= 12 + 12 + 8 = 32 (dấu “=” xảy ra ⇔
x
x 12
3 = và y=16y )
⇔ x= 2 và y= 4 ) Vậy min P = 32 (khi và chỉ khi x= 2; y= 4)
Bài 10: Q = ( )2 3 , 2 ( ) 16 ≥2 16=8
− +
−
=
−
+
−
y x y x y
x
xy y
x
(dấu “=” xảy ra ⇔ 16 ⇔ − = 4
−
=
y x y
x , kết hợp điều kiện xy= 5 ta được
x = 5 ; y = 1 và x = -1 ; y = -5) Vậy min Q = 8 (khi và chỉ khi x = 5 ; y = 1 hoặc x = -1 ; y = -5)
1
25 1 4 2 4 1
25 1
−
−
≥ +
− +
−
x
x x
x
(dấu “=” xảy ra ⇔ ( )
2
7 1
25 1
−
=
x
Trang 3Vậy min A = 24 (khi và chỉ khi x =27 )
3 2 3 4 7 7 1
4 1
3 2 7 1
4 1
3
+
= +
= +
−
⋅
−
≥ +
− +
x x
x x
x x
x
1 3 1
4 1
3
−
=
⇔
−
=
x x
x
) Vậy min B = ( )2
3
2 + (khi và chỉ khi ( )2
1
=
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn được:
4 1
3 4 1
3
+
− +
−
= +
x x
x x
x
x b x
ax x
−
= +
−
1 4 1
3 4 1
3
Sau đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm được a = b = 1 ; c = 7
Bài 13: a) xy≤ x2 +2y2 ; yz≤ y22+z2 ; zx≤ z2+2x2
2 2
x zx yz
xy+ + ≤ + + ; (x y z) (xy yz zx)
zx yz
xy+ + ≤ + + 2 − 2 + + 3A ≤a2 ; A ≤
3
2
a
(dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z =
3
a
) Vậy max A =
3
2
a (khi và chỉ khi x = y = z = a3) b) B = x2 +y2 +z2 =(x+y+z)2− 2(xy+yz+zx)
B = a2 − 2(xy+yz+zx)
B min ⇔ (xy+yz+zx) max ⇔
3
2
a zx yz
xy+ + = (theo câu a) Lúc đó B =
3 3
2 2 2
a − = (khi và chỉ khi x = y = z = a3)
Bài 14: P2 = x y2 + y z2 +z x2 +2x z y +2y x z +2z y x
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương, ta được:
x yz
z y x x z z
y x z
y x y
x
4
4 4
2 2 2
=
≥ + +
+
y xz
x z y y x x
z y x
z y z
y
4
4 4
2 2 2
=
≥ + +
+
z yx
y x z z y y
x z y
x z x
4 2 2 2
=
≥ + +
+
Do đó P2 ≥ 4(x+y+z) (− x+y+z) (= 3 x+y+z)
P2 ≥ 3.12 = 36 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 4)
Vậy min P = 6 (khi và chỉ khi x = y = z = 4)
Bài 15:
x
yz x x
yz x
x
z y x x x
y
xz y y
xz y
y
z x y y y
z
yx z z
yx z
z
y x z z z
Do đó Q ≥ 644 ( ) 64
4
=
xyz xyz (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 3a ) Vậy min Q = 64 (khi và chỉ khi x = y = z = a )
Trang 4Bài 16: a+b+c= 1 ⇒ 1 −a=b+c> 0
Tương tự 1 −b> 0 ; 1 −c> 0
Mặt khác 1 +a= 1 +(1 −b−c) (= 1 −b) (+ 1 −c)≥ 2 (1 −b)(1 −c)
Tương tự 1 +b≥ 2 (1 −a)(1 −c) ; 1 +c≥ 2 (1 −a)(1 −b)
Suy ra (1 +a)(1 +b)(1 +c)≥ 8 (1 −a) (2 1 −b) (2 1 −c)2
= 8(1 −a)(1 −b)(1 −c)
A = ( )( )( )
1 1 1
≥
−
−
−
+ + +
c b a
c b a
(dấu “=” xảy ra ⇔
3
1 1
1
1 −a= −b= −c⇔a =b=c= ) Vậy min A = 8 (khi và chỉ khi a=b=c=13)
Nếu y > 0 thì:
5 3 2 5
108
5 3 3 3 2 2
5 3 3 3 2 2
1 =x+y= x+ x+y + y + y ≥ x⋅x⋅ y⋅ y⋅y = x y
2 3
2
≤
⇒
y
Vậy B ≤3125108 (dấu “=” xảy ra ⇔
5
3
; 5
2 3
2x = y ⇔x= y= ) Từ (1) và (2) suy ra: max B = 3125108 (khi và chỉ khi x =52 ; y =53)