Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực “ thực 31:32; :3n và Đ1,ba, Đn(
a? a2 „ (@itazT: +ay)*
bi>0,i = 12,40) thi ta co: Bi byt +e È bitbzt.tba (}
Ta sẽ chứng minh BDT (1) bang BDT Bunhiacôpxki: Thật vậy, áp dụng bất đăng thức
dị 32
Bunhiacépxki cho hai bộ số Vb1 V2” Jb va Vbị,Vbạ, 5V Đnta được BĐT (1)
1 22_ _ ân Đăng thức xảy rakhibi b2 ” bạ
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho sự tiện lợi của BĐT Svacxơ trong việc chứng minh
BDT(O đây chỉ là những hướng dân cơ bản đê các bạn có thê chứng minh BĐT, còn phân đăng thức xảy ra thì các ban có thê dê dàng tìm ra nên không trình bày )
Ví dụ 1:Chứng minh răng với các số dương a,b,c ta đều có :
('+‡+£)@+b+o >9
Lời giải: Ycbt (yêu cầu bài toán) '° 2 Tb'T€ a+b+c
„ H1 +UẺ — 9
Áp dụng BĐT (1) được: atpte> a+b+c —a+b-+csuy raDPCM
Ví dụ 2: chứng minh rằng với các số dương a,b,c thoa man 27 +b2+c2 lịa oó:
22+bc Tb2+Lca Tc2+ab
Loi giai: Ap dung BDT (1) duge 9 a2++b2-++c2Fab+bc+ca
Ta có BĐT quen thuộc 32-Fb“+c2> ab-+bc-+ca., suy ra —A(a2+b^+c2) — 4(vi
a2+b2-+c2<1(ÐPCM)
a2 4 b2 c3 3(ab+bc+ca)
Ví dụ 3: chứng minh rằng với các số đương a,b,c thì P†c '€†a a+b= 2a+b+o)
(atbt+c)?
Loi giai: Ap dung BDT (1) tasuyra ~ 2(a+b+c) Ma
ta có BĐT quen thuộc a2-Lb32-Lc2> ab+bc+ca > (a+b+c)? > 3(ab+be-+ca) thay vào bên trén ta suy ra DPCM Vi du 4: Cho cac s6 duong a,b,c thoả mãn abc = 1
CMR 1+b T1+c T1+a 2Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được: ` “3†a+b+9
tệ: 3 Theo BĐT côsi ta có Ì =abc<(—z— ) _>a+b+c>3
Trang 2(+b+c)° a+b+c
Từ đó suy ra —2fatbtc 3À +3
— 2(DPCM)
Ví dụ 5:Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = 1 Tim giá trị nhỏ nhất của biểu
thức" —a2+Bbcb24Bca | c2+Bab
T _ a2 b2 + c3 (a+b+c)ˆ
Lời giải: Tacó a3+Babcb3+Babc c3+Babc ~ a3+b3+c3+24abc
Ta lai co @+b+c)? = a3 +b3 43 43(a+b+<)(ab+bc+ca)—3abe >
a3-+b3 c+27zbc (abc)*—3abc —a3-+b3-Lc3-+24abc
T>— “atbte —” 1 b=c=5 _— 1
Từ đó suy ra , đạt được tại # —
Vi du 6:Cho a,b,c > 0 và thoả mãn a+b+c =L Tìm giá trị nhỏ nhất của
C— 22b21-c2 Ta bc Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có | = a-b+c > 3Ÿabc và
ab-Lbc-++Lca > 3\/ (abc)? > Yabo (abc)? = Sabc
Từ đó Q> 321Lb2+c2 Tab+bc+ca _— C2+brc2 Tab+bc+ca) †ab+bc+ca
Áp dung BDT Svacxo được Mặt khác ta lại có
¢
1=@+b+c)*> 3@ab+tbetca) > Ep popea È 13 = 2lvay Q> 9421 =30, guy
mm
ra minQ = 30, dat được tai = =¢=3