Chứng minh rằng phương trỡnh 1 luụn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt.. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức c.. b Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình.. 1 a/ Chứng minh phương trỡnh 1 luụn luụn
Trang 1Chuyên đề : PT bậc hai và hệ thức Vi-et
*) x1 + x2 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp x1 x1 x2 x2
*) x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
*)
2 1
2 1 2 1
1 1
x x
x x x x
p S
*)
2 1
2 2
2 1
1
2
2
1
x x
x x x
x x
p
p
S2 2
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
2 1
2 1 2
1
2 )
)(
(
2 1
1
a aS p
a S a
x a x
a x x a x a
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0)
B Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có /
= (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x1 = m + 1 - 2 9
m x2 = m + 1 + 2 9
m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2 1 Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =
3
2 3
m
m m
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1)
1 Giải phơng trình (1) khi m = 2
2 Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 5
2x1x2.
3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x1 x2
Cho phương trỡnh:
(1)
a Chứng minh rằng phương trỡnh (1) luụn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt
b Gọi là 2 nghiệm của phương trỡnh (1) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
c Tỡm hệ thức giữa và khụng phụ thuộc vào m
phơng trình x2 - (5m - 1)x + 6m2 - 2m = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phơng trình Tìm m để x1 + x22 =1
Cho phương trỡnh bậc hai ẩn số x:
x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) a/ Chứng minh phương trỡnh (1) luụn luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi giỏ trị của m
b/ Gọi x1, x2 là hai nghiệm phõn biệt của phương trỡnh (1)
Tỡm m để 3( x1 + x2 ) = 5x1x2
Cho phương trỡnh bậc hai: x2 - 2(m-1)x + 2m – 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trỡnh (1) cú nghiệm với mọi giỏ trị của m
b) Tỡm m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm trỏi dấu
Trang 2Cho phơng trình (ẩn x): 2 2
x 2(m 1)x m 1 0 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x , x1 2 thỏa mãn 2 2
x x x x 8 Cho phương trỡnh: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)
a) Giải phương trỡnh với m = 3
a) Tớnh giỏ trị của m, biết phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 và thỏa món điều kiện: x1 – 2x2 + x1x2 = - 12
Cho phơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phơng trình (1) với m = 3
b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
2
x x
Cho phương trỡnh bậc hai :
X2 - 2(m + 1) x + m - 4 = 0 (1)
a, Giải phương trỡnh ( 1 ) khi m = 1
b, Chứng minh rằng pt (1 ) luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m ?
c , Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1)đó cho CMR Biểu thức :
K = x1(1- x2 )+ x2(1-x1) khụng phụ thuộc vào giỏ trị của m
Cho phương trỡnh : 2x 2 - 6x + m = 0 (1)
a, Giải Pt (1) khi m = 4
b, Tỡm mđể pt (1) cú 2 nghệm dương ?
c, Tỡm m để pt (1) cú 2 nghiện x 1 , x 2 sao cho : + = 3
Cho phương trỡnh: x2- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)
1 Giải phương trỡnh với m = 3
2 Tớnh giỏ trị của m, biết phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 và thỏa món điều kiện: x1 – 2x2 + x1x2 = - 12
Bài 3: (2,0 điểm) Cho phương trỡnh x2 +2 (m+3) x +m2 +3 = 0
1/ Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm kộp ? Hóy tớnh nghiệm kộp đú
2/ Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 – x2 = 2 Cho phương trỡnh x2 – 4x – m2 + 6m – 5 = 0 với m là tham số
a) Giải phương trỡnh với m = 2
b) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm
c) Giả sử phương trỡnh cú hai nghiệm x1 ; x2 , hóy tỡm giỏ trị bộ nhất của 3 3
P x x
Cho phơng trình x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0 (với x là ẩn số, m
1- Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2- Đặt A = x1.x2 – 2(x1 + x2) với x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình trên Chứng minh : A = m2 + 8m + 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
Cho phơng trình: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), với n là tham số
a) Tìm n để phơng trình (1) có một nghiệm x = 3
b) Chứng minh rằng, với mọi n- 1 thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
*** Cho phương trỡnh: x2- 2(m+1)x m+ 2+ = (ẩn x)2 0
1) Giải phương trỡnh đó cho với m =1
Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 thoả món hệ thức:
x +x =
Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x 2 – 3x – 7 = 0
a) Tính: x1 x1 x2 x2 A = x1 + x2 B = x 1 x2
C=
1
1 1
1
2
1 x
x D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
Trang 3a) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
1
1
2
x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có
+ A = x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x 1 x2 = 2 4 37
p
S + C =
1
1 1
1
2
1 x
1 1
2 )
1 )(
1 (
2 ) (
2 1
2 1
S p
S x
x
x x
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2
= 10x1x2 + 3 (x1 + x2)
= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
S =
9
1 1
1 1
1
2 1
x
p =
9
1 1
1 )
1 )(
1
(
1 2 1
1
1
1
2
x là nghiệm của hơng trình :
X2 – SX + p = 0 X2 +
9
1
X - 9
1 = 0 9X2 + X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phơng trình :
x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3 Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) Tìm k để : x1 + x2 > 0
2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0
- k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2
2
1
k + 4
1 + 4
7 ) < 0
-(k -
2
1
)2 -
4
7 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k
3 Ta có x1 + x2 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k Theo hệ thức viét ta có
x1 + x2 = k – 1 và x1x2 = - k2 + k – 2
x1 + x2 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
= (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
= (k – 1)[(2k -
4
5 )2 + 16
87 ]
Do đó x1 + x2 > 0 (k – 1)[(2k -
4
5 )2 + 16
87 ] > 0
k – 1 > 0 ( vì (2k -
4
5 )2 + 16
87 > 0 với mọi k) k > 1
Bài 7:
Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
1 Giải phơng trình (1) với m = -5
2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)
1 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4
Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +
2
1 )2 + 4
19 ]
=> x 1 x2 = 2
4
19 ) 2
1
4
19 2
= 19 khi m +
2
1 = 0 m = -
2 1
Trang 4Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -
2 1
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -
2 9
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia
Giải:
1) Thay m = -
2
9 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x – 5 = 0 x = 1
+ Nếu : m + 2 0 => m - 2 Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt
số :
= (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x1 =
) 2 (
2
5 1
2
m
m
4 2
4 2
m
m
x2 =
2
3 )
2 ( 2
) 3 ( 2 ) 2 ( 2
5 1 2
m
m m
m m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp
3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 3 =
2
3
m
m
giải ra ta đợc m = -
2
9 (đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x1 = 3x2 1= 3
2
3
m
m
m + 2 = 3m – 9 m =
2
11 (thoả mãn điều kiện m - 2)
Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số
1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu
3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai
Giải
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2 1
0 m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
m
m
m 2 4 ; x2 =
m
m
m 2 4
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4 3
2 (1) có nghiệm trái dấu
a
c
< 0
m
< 0
0 0 3 0 3
m m
0 0
m m
Trờng hợp
0 3
m m
không thoả mãn
Trờng hợp
0 3
m
m
0 < m < 3
3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/
0 0 m 4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 4m = -9 m =
-4 9
Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =
-4 9 thoả mãn
Trang 5*) Cách 2: Không cần lập điều kiện /
0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m =
-4
9 Sau
đó thay m =
-4
9 vào phơng trình (1) :
-4
9
x2 –
2(-4
9
- 2)x -
4
9
- 3 = 0 -9x2 +34x – 21 = 0
có /
= 289 – 189 = 100 > 0 =>
9 7 3
2
1
x x
Vậy với m =
-4
9 thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2 Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :
x1 + x2 = 10
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép /
= 0 k2 – (2 – 5k) = 0
Vậy có 2 giá trị k1 =
2
33
5
hoặc k2 =
2
33
5
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép 2.Có 2 cách giải
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/
0 k2 + 5k – 2 0 (*)
Ta có x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
Theo bài ra ta có (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = -
a
b
- 2k và x1x2 = 2 – 5k Vậy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 2k2 + 5k – 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -
2 7
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào /
= k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => /
= 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = -
2
7 => /=
8
29 4
8 70 49 2 2
35 4
49
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Baứi 2 : Cho phơng trình: 2x2 – 5x + 1 = 0
Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)
Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)
Baứi 4 : Cho phơng trình:
x2 – 2mx + 2m – 5 = 0
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:
x1 (1 – x2) + x2(1 – x1 ) = -8
Baứi 5 : Cho phơng trình:
x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0
1) Giải phơng trình với m = 0
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4
Baứi 6 : Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1)
2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính B = x1 + x2
Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 0
Baứi 8 : Cho phơng trình:
(m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)
Trang 61) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
Câu9 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,
= m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
1 2
1
m
m m
=
1 2
1
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
1 2
1
m <0
0 1 2
0 1 1 2
1
m
0 1 2
0 1 2
2
m m
m
=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0