PT bậc 2 và quy về bậc hai với một số hàm số lượng giác

1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x

Trang 1

TỔNG ƠN TỐN 11 CHỦ ĐỀ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

Nếu đặt: t=sin2x hoặc t= sinx thì điều kiện: 0≤ ≤t 1

B– BÀI TẬP

Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác

A 2 sin2 x+sin 2x− = 1 0 B 2 sin 22 x−sin 2x= 0

C cos2x c+ os2x− = 7 0 D tan2x+cotx− = 5 0

Câu 2: Nghiệm của phương trình 2

sin x– sinx=0 thỏa điều kiện: 0 < <x π

Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2

2 sin x−3sinx+ = thỏa điều kiện 01 0

sin x+sinx=0 thỏa điều kiện:

a x b+ x c+ = t = cosx − ≤ ≤ 1 t 12

Trang 2

Câu 6: Trong [0; 2π), phương trình 2

sinx= −1 cos x có tập nghiệm là

,22

2 sin x– 3sinx+ =1 0 thỏa điều kiện: 0

Trang 3

Câu 15: Nghiêm của pt 2

2 cos x+3sinx− = thõa điều kiện 3 0 0

,26

,5

26

,23

,2

23

Trang 4

Câu 23: Họ nghiệm của phương trình 2

Câu 25: Một họ nghiệm của phương trình 2 cos 2x+3sinx− =1 0 là

Câu 26: Nghiệm của phương trình 2

sin 2x+2 sin 2x+ =1 0 trong khoảng (−π π; ) là :

Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4 2

4 sin x+12 cos 7x− =0 có nghiệm là:

22

Trang 5

Câu 33: Phương trình cos 2x+2 cosx−11=0 có tập nghiệm là:

A x=arccos( )− +3 k2 ,π k∈, x=arccos( )− +2 k2 ,π k∈

B ∅

C x=arccos( )− +2 k2 ,π k∈

D x=arccos( )− +3 k2 ,π k∈

Câu 34: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A sinx+ =3 0 B 2 cos2x−cosx− = 1 0

cos x– cosx = thỏa điều kiện 0 x0 < < : π

cos x+cosx=0thỏa điều kiện: 3

Câu 42: Phương trình lượng giác: 2

sin x−3cosx− = có nghiệm là 4 0

Trang 6

cos x+2 cosx− = có nghiệm là 3 0

Trang 8

Câu 61: Giải phương trình : 2

x Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m

phải thỏa mãn điều kiện:

A 5

02

Trang 9

cos5 cosx x=cos 4 cos 2x x+3cos x+1 Các nghiệm thuộc khoảng (−π π; )của phương trình là:

11

212

Trang 10

Câu 77: Cho phương trình: sin sin 3 cos 3 3 cos 2

Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 2 ( ) ( ) 2

sin x−2 m−1 sin cosx x− m−1 cos x=m có nghiệm?

4 sin x+cos x −8 sin x+cos x −4 sin 4x=m trong đó m là tham

số Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

12

− , trong đó m là tham số Để phương trình có

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

Trang 11

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN

• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

3sin 2x−2 sin 2 cos 2x x−4 cos 2x= 2

Trang 12

2 sin x−5sin cosx x−cos x= −2 là

Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2 3 cos2 x+6 sin cosx x= +3 3 là

Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình 2

2 sin x+sin cosx x−3cos x= là 0

3sin x−4 sin cosx x+5 cos x= là 2

Trang 13

  phương trình sin 42 x+3.sin 4 cos 4x x−4.cos 42 x=0có:

Câu 13: Phương trình 2 cos2x−3 3 sin 2x−4 sin2 x= − có họ nghiệm là 4

cos x+sin x=2 cos x+sin x

sin x+3 tanx=cosx 4 sinx−cosx

sin x tanx+ =1 3sinx cosx−sinx +3

A

24

23

4 sin x+3cos x−3sinx−sin xcosx=0

Trang 14

Câu 19: Giải phương trình 3

2 cos x=sin 3x

A

arctan( 2) 2

24

21

32

cos x− 3 sin 2x= +1 sin x

A

2

23

2 cos x+6 sin cosx x+6 sin x=1

Trang 15

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN

D ạng 1: Là phương trình có dạng:

a x+ x b+ x x c+ = (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sinx−cos )x b+ sin cosx x c+ =0

D ạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

4

 π 2

Trang 17

Câu 7: Giải phương trình cosx−sinx +2 sin 2x=1

Câu 8: Giải phương trình 3 3

cos x+sin x=cos 2x

cos x+sin x=2 sin 2x+sinx+cosx

Câu 11: Cho phương trình sin cosx x−sinx−cosx m+ =0, trong đó m là tham số thực Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

Trang 18

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác

A 2 sin2x+sin 2x− = 1 0 B 2 sin 22 x−sin 2x= 0

C cos2x c+ os2x− = 7 0 D tan2 x+cotx− = 5 0

Hướng dẫn giải:

Chọn B

sin x– sinx=0 thỏa điều kiện: 0 < <x π

Câu 3: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2

2 sin x−3sinx+ = thỏa điều kiện 1 0 0

Trang 19

sin x+sinx=0 thỏa điều kiện:

− < < nên nghiệm của phương trình là x= 0

Câu 6: Trong [0; 2π), phương trình 2

sinx= −1 cos x có tập nghiệm là

,22

Trang 20

Phương trình sinx= >3 1 vô nghiêm

23sin

Trang 21

Với sin 1

2

x=

26526

6sin

2

526

2 sin x– 3sinx+ =1 0 thỏa điều kiện: 0

Trang 22

22

21

6sin

2

526

22

6

k x

14

Trang 23

26

Câu 20: Nghiệm của phương trình lượng giác: 2

2 cos x+3sinx− = thõa điều kiện 3 0 0

Trang 24

,5

26

,23

,2

23

Trang 25

sin 2x+2 sin 2x+ =1 0 trong khoảng (−π π; ) là :

k

x

ππ

Trang 26

Câu 27: Giải phương trình: 2

+ sinx= − 3 phương trình vô nghiệm

Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4 2

4 sin x+12 cos 7x− =0 có nghiệm là:

21sin

2

x x

22

Trang 27

2

x x

Trang 28



Câu 34: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A sinx+ =3 0 B 2 cos2 x−cosx− = 1 0

23

cos x– cosx = thỏa điều kiện 0 x0 < < : π

Trang 29

Ta có cos2x– cosx=0⇔cosx(cosx− =1) 0

2

k k k

cos x+cosx=0thỏa điều kiện: 3

π < < π nên nghiệm của phương trình là x= π

Trang 30

sin x−3cosx− = có nghiệm là 4 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiêm

Câu 43: Phương trình lượng giác: 2

cos x+2 cosx− = có nghiệm là 3 0

21cos2 =

Trang 32

( ) ( )

x k

Trang 33

x π kπ k

Với t= −6 ta có tanx= −6⇔ =x arctan( )− +6 kπ (k∈)

Câu 52: Giải phương trình 2 ( )

Trang 35

+) tan 2 2 2 arctan 2 arctan 2

ππ

Dùng chức năng CALC của máy tính để kiểm tra

Câu 60: Số nghiệm của phương trình 2 tanx−2 cotx− = trong kho3 0 ảng ;

Điều kiện: sin 2x≠ 0

Phương trình: 2 tanx−2 cotx− = 3 0

Trang 36

x

ππ

Trang 37

( )

2

⇔ − + − = (vì cosx=0 không là nghiệm của phương trình)

Phương trình vô nghiệm

Câu 65: Giải phương trình 5 sin sin 3 cos 3 cos 2 3

x Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m

phải thỏa mãn điều kiện:

A 5

02

Trang 38

22

Trang 39

A

2

23

cos 2x+ sin x+ 2 cosx+ = 1 0 2 2

2 cos x 1 1 cos x 2 cosx 1 0

Trang 40

cos 5 cos 2 cos 5 cos 0

32

x ⇔cos 4x=sin 2x ⇔ −1 2 sin 22 x=sin 2x ⇔2 sin 22 x+sin 2x− =1 0

( ) ( )

34

24

cos5 cosx x=cos 4 cos 2x x+3cos x+1 Các nghiệm thuộc khoảng (−π π; )

Trang 41

Dùng chức năng CACL của máy tính cầm tay (như CASIO 570 VN Plus, …)

Câu 76: Phương trình: cos 2 cos 2 4 sin 2 2 1 sin( )

11

212

Trang 42

x của đáp án D đều không thỏa phương

trình (chú ý ch ỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ nghi ệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị

x của đáp án C, x=π của đáp án D đều không thỏa phương

trình (chú ý ch ỉ lấy một giá trị của họ nghiệm để thử cho đơn giản, các giá trị lấy ra không thuộc họ nghi ệm của đáp án khác); kiểm tra giá trị

4

π

=

x của đáp án B thỏa phương trình

Câu 77: Cho phương trình: sin sin 3 cos 3 3 cos 2

Trang 43

(sin cos )(1 2 sin 2 ) 3 cos 2

1cos

x x của đáp án D đều thỏa phương trình

Câu 78: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 2 ( ) ( ) 2

sin x−2 m−1 sin cosx x− m−1 cos x=m có nghiệm?

Trang 44

33

2 2

03

2 2

Trang 45

4 sin x+cos x −8 sin x+cos x −4 sin 4x=m trong đó m là tham

số Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

12

Để tìm m sao cho ( )1 vô nghiệm, ta sẽ tìm m sao cho ( )1 có nghiệm rồi sau đó phủ định lại

( )1 có nghiệm thì ( )2 phải có nghiệm thoả t o∈ −[ 1;1]

( ) ( )

Trang 46

Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của ( )P và ( )d

Phương trình (*) không có nghiệm t∈ −[ 1;1] khi chỉ khi ( )P và ( )d không

giao nhau trong [− 1;1]

2

2 2

Trang 47

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN

TH1: cosx= ⇔0 sin2 x= không thỏa phương trình 1

TH2: cosx≠ chia cả hai vế của phương trình cho 0, cos x ta được: 2

3sin 2x−2 sin 2 cos 2x x−4 cos 2x= 2

Trang 48

TH1: cos 2x= ⇔0 sin 22 x= không thỏa phương trình 1

TH2: cos 2x≠ chia cả hai vế của phương trình cho 0, cos 2x ta được: 2

TH1: cosx= ⇔0 sin2x= không thỏa phương trình 1

TH2: cosx≠ chia cả hai vế của phương trình cho 0, cos x ta được: 2

arctan2

2 sin x−5sin cosx x−cos x= −2 là

Trang 49

Chia 2 vế phương trình cho 2

1tan

arctan4

Câu 6: Một họ nghiệm của phương trình 2

2 3 cos x+6 sin cosx x= +3 3 là

Câu 7: Một họ nghiệm của phương trình 2

= + không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho 2

2 sin x+sin cosx x−3cos x= là 0

Trang 50

x= +π kπ

không là nghiệm của phương trình

Chia 2 vế phương trình cho cos x ta được 2

arctan2

3sin x−4 sin cosx x+5 cos x= là 2

Trang 51

TH2: cos 4x≠ chia cả hai vế cho 0, 2

sin 4x+3.sin 4 cos 4x x−4.cos 4x=0có:

Trang 52

tan2

cos x+sin x=2 cos x+sin x

sin x+3 tanx=cosx 4 sinx−cosx

sin x tanx+ =1 3sinx cosx−sinx +3

A

24

Trang 53

4 sin x+3cos x−3sinx−sin xcosx=0

21

32

cos x− 3 sin 2x= +1 sin x

A

2

23

Trang 54

2 cos x+6 sin cosx x+6 sin x=1

Trang 55

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN

D ạng 1: Là phương trình có dạng:

a x+ x b+ x x c+ = (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

Thay và (3) ta được phương trình bậc hai theo t

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sinx−cos )x b+ sin cosx x c+ =0

D ạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

4

 π 2

Trang 58

Điều kiên: cosx≠0

Phương trình ⇔sinx+cosx= 2 sin 2x

cos x+sin x=cos 2x

Phương trình ⇔(sinx+cos )(1 sin cos )x − x x =(sinx+cos )(cosx x−sin )x

(sin cos )(1 sin cos cos sin ) 0

Câu 9: Giải phương trình 3 3

cos x+sin x=2 sin 2x+sinx+cosx

Trang 60

x − 2 1 2

y

1

122

22

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	1,05 MB