Chyên đề Hệ phương trình

MỤC LỤCMỤC LỤC...1ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁHOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH...2DẠY PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH P.T.T.H NHƯ THẾ NÀO..9MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁHOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH 2DẠY PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH P.T.T.H NHƯ THẾ NÀO 9MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 17GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 24

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG

THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 33PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 39MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 44KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TẬP NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN TRONG SGK 56MỘT SỐ NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

VÀ ỨNG DỤNG 63ĐẠI SỐ TỔ HỢP 79

( Lưu ý: Giữ phím ctrl và click chuột trái để nhảy đến mục cần xem trong mục

lục )

ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TOÁN THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HOÁ

HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

1.Tư tưởng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

Xã hội phát triển và sự đổi mới đất nước đòi hỏi phải nâng cao chất lượnggiáo dục nhằm đào tạo những con người lao động đảm bảo mục tiêu hiện đại hoáđất nước

Nghị quyết Hội nghị lần thứ hai Ban Chấp hành trung ương Đảng Cộng sản ViệtNam khoá VIII nêu rõ: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xâydựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lý tưởng độc lập dân tộc vàchủ nghĩa xã hội, có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ

tổ quốc: Công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước; giữ gìn và phát huy các giá trịvăn hoá dân tộc, có năng lực tiếp thu tinh hoa văn hoá nhân loại; phát huy tiềmnăng của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tínhtích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duysáng tạo, có kỹ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tổ chức và kỷluật; có sức khoẻ, là những người thừa kế xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa “hồng”vừa “chuyên” như lời căn dặn của Bác Hồ”

Theo tinh thần của Nghị quyết này, trong thời gian qua cùng với thay đổi về nộidung, toàn ngành Giáo dục và Đào tạo đang có nhiều cố gắng đổi mới phươngpháp dạy học

+ Theo Kharlamop.I.F “Học tập là một quá trình nhận thức tích cực”

Theo từ điển Tiếng Việt: Tích cực là một trạng thái tinh thần có tác dụng khẳngđịnh và thúc đẩy sự phát triển Trong hoạt động học tập nó diễn ra ở nhiều phươngdiện khác nhau: Tri giác tài liệu, thông hiểu tài liệu, ghi nhớ, luyện tập, vận dụng,khái quát và được thể hiện ở nhiều hình thức đa dạng, phong phú

Động cơ học tập là nguồn tạo ra tính tích cực trong hoạt động học và khi đã hìnhthành lại có giá trị như một động cơ thúc giục hoạt động, là thuộc tính của nhâncách, còn tính tích cực lại là một trạng thái tinh thần làm nền cho hoạt động diễn ra

có hiệu quả và có thuộc tính thiên về cảm xúc

G.I Sukina đã chia tính tích cực ra làm ba cấp độ

1 Tính tích cực bắt chước, tái hiện: xuất hiện do tác động kích thích bên ngoài.Trong trường hợp này người học thao tác trên đối tượng, bắt chước theo mẫu hoặc

mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ ngoài vào trong theo cơ chế “hoạtđộng bên ngoài bên trong có cùng cấu trúc” Nhờ đó, kinh nghiệm hoạt động đượctích luỹ thông qua kinh nghiệm người khác

2 Tính tích cực tìm tòi: đi liền với quá trình hình thành khái niệm Giải quyết cáctình huống nhận thức, tìm ra các phương thức hành động trên cơ sở có tính tự giác,

có sự tham gia của động cơ, nhu cầu, hứng thú và ý chí của HS Loại này xuấthiện không chỉ do yêu cầu của GV mà còn hoàn toàn tự phát trong quá trình nhậnthức Nó tồn tại không chỉ ở dạng trạng thái, cảm xúc mà còn ở dạng thuộc tínhbền vững của hoạt động Ở mức độ này tính độc lập cao hơn mức trên, cho phép

HS tiếp nhận nhiệm vụ và tự mình tìm ra phương tiện thực hiện

3 Tính tích cực sáng tạo: thể hiện khi chủ thể nhận thức tự tìm tòi kiến thứcmới, tự tìm kiếm ra phương thức hành động riêng và trở thành phẩm chất bền vững

của cá nhân Đây là mức độ biểu hiện tính tích cực nhận thức cao nhất

Như vậy nói về tính tích cực nhận thức, người ta thường đánh giá về mức độ nhậnthức của người học trong quá trình thực hiện mục đích dạy học

Kharlamop I.F viết: “Tính tích cực trong hoạt động nhận thức là trạng thái hoạt động của HS, được đặc trưng bởi khát vọng học tập, sự cố gắng trí tuệ với nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức cho chính mình”.

+ Tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh: Tối đa hoá sự tham gia hoạtđộng của người học với định hướng chỉ đạo là tự nhận thức, tự phát triển, tự thựchiện, tự kiểm tra và đánh giá, qua đó hình thành và phát triển tư duy độc lập vàsáng tạo của HS

GS.TSKH Nguyễn Bá Kim chỉ rõ 4 yêu cầu để tích cực hoá hoạt động học tập củaHS:

- Xác lập vị trí chủ thể của người học, đảm bảo tính tự giác, tích cực sáng tạo củahoạt động học tập

- Dạy học phải dựa trên nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thứcsẵn có của người học, nhằm khai thác mặt thuận lợi, hạn chế mặt khó khăn, nghiêncứu những chướng ngại hoặc sai lầm có thể có của những kiến thức đó trong quátrình học tập của HS

- Dạy học không chỉ nhằm mục đích là tri thức và kỹ năng bộ môn, mà quan trọnghơn cả là việc học, dạy cách học cho HS

- Quá trình dạy học phải bao hàm cả việc dạy cách tự học thông qua việc để HS tựhoạt động nhằm đáp ứng nhu cầu của bản thân và của xã hội

Tóm lại: Để phát huy được tính tích cực trong hoạt động học tập của HS cần một quá trình làm cho người học trở thành chủ thể tích cực trong hoạt động học tập của chính họ.

2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học

- Hoạt động của thầy gây nên hoạt động của trò:

Hoạt động của thầy là tác động điều khiển Tuy nhiên tác động không chỉ gồmhoạt động mà còn có sự ứng xử của thầy giáo

Thuật ngữ “dạy học” vốn được dùng để phản ánh hoạt động của người dạy, thếnhưng đối tượng của hoạt động dạy học là HS, HS vừa là đối tượng của hoạt độngdạy lại vừa là chủ thể của hoạt động học Vì vậy phương pháp dạy học vừa baohàm cách dạy của thầy và cách học của trò

Theo GS.TS Trần Bá Hoành, phương pháp dạy học có quan hệ chặt chẽ giữa mặtbên ngoài và mặt bên trong:

Mặt bên ngoài là trình tự hợp lý các thao tác hành động của GV và HS Mặt bêntrong là cách thức tổ chức hoạt động nhận thức của HS, là con đường giáo viên dẫndắt HS lĩnh hội nội dung dạy học

Mặt bên trong phụ thuộc một cách khách quan vào nội dung dạy học và trình độ tưduy của HS Mặt bên ngoài phụ thuộc vào trình độ và kinh nghiệm sư phạm của

GV và chịu ảnh hưởng của phương tiện và thiết bị dạy học

+ Đổi mới phương pháp dạy học

Nghị quyết Trung ương II khoá VIII của Đảng Cộng sản Việt Nam chỉ rõ “Đổi mớimạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rènluyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học ”

Đào tạo con người năng động sáng tạo có năng lực phát hiện vấn đề và tự giảiquyết vấn đề là một trong những nhiệm vụ trọng tâm của ngành giáo dục

Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con người mới xây dựng xã hội công nghiệp hoá

và thực trạng lạc hậu của phương pháp dạy học đã làm nảy sinh thúc đẩy côngcuộc đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học trong ngành giáo dục Phương pháp dạy học không phải là bản thân hoạt động và ứng xử của GV ở bìnhdiện xem xét riêng lẻ, cụ thể mà theo Nguyễn Bá Kim:

“Phương pháp dạy học là hình ảnh khái quát hoá những hoạt động ứng xử nào đócủa GV Hình ảnh này thường được hình thành do phản ánh những hoạt động ứng

xử thành công của GV trong quá trình dạy học và phản ánh những thành tựu củakhoa học giáo dục hoặc những khoa học khác thông qua khoa học giáo dục Phương pháp dạy học là phương tiện để đạt mục đích dạy học”

Trong những năm gần đây tư tưởng dạy học chủ đạo được phát biểu dưới nhiềuhình thức khác nhau như “lấy HS làm trung tâm”,“phát huy tính tích cực”,

“phương pháp dạy học tích cực”, “tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt độnghoá người học”

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo.

+ Làm thế nào để tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh ?

Nhà tâm lí học I.X.Iakimanxkai cho rằng: Nhà trường cần trang bị cho HS hai hệthống tri thức: 1 Về hiện thực đối tượng; 2 Về nội dung cách thức thực hiện cáchành động trí tuệ, đảm bảo việc nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đốitượng đó

Các tri thức loại một được phản ánh trong SGK, còn các tri thức loại hai được hìnhthành chủ yếu ở HS bằng con đường tự phát Ở đó tri thức loại hai là các thủ phápcủa học tập như: tri thức logic (phân tích, so sánh, khái quát hoá, phân loại…); trithức tổ chức hợp lí các quá trình nhận thức khác nhau…

Lerner I.Ia còn thêm vào đó hai hệ thống nữa: Kinh nghiệm hoạt động sáng tạo vàkinh nghiệm thái độ tình cảm

Các nhà lí luận dạy học P.I Pitcaxixtưi,B.I Côrôtiaiev khẳng định: tương ứng vớihai loại hoạt động nhận thức tái tạo và tìm tòi, sáng tạo của HS thì có hai loạithông tin tái hiện và dự đoán Thông tin tái hiện là những tri thức HS lĩnh hội ởdạng có sẵn, thông qua việc ghi nhận và tái hiện lại Thông tin dự đoán là các trithức học tập được HS khôi phục lại bằng cách thiết kế, tìm kiếm và kiểm tra tínhđúng đắn của điều dự đoán Trong khi hoạt động tái hiện chỉ có một phương án vàviệc thực hiện nó chính xác luôn dẫn đến kết quả, thì hoạt động tìm tòi sáng tạo lạidựa vào những thông tin ẩn tàng, chưa tường minh HS kiểm tra dự đoán trên cơ sở

tìm kiếm và lựa chọn phương án có khả năng nhất trong hệ thống kiến thức đã cócủa mình.

Dựa vào kết quả nghiên cứu của P.I Pitcaxixtưi, B.I Côrôtiaiev có hai cách chiếmlĩnh kiến thức:

1 Tái hiện kiến thức: định hướng đến hoạt động tái tạo, được xây dựng trên

cơ sở HS lĩnh hội các tiêu chuẩn, hình mẫu có sẵn

2 Tìm kiếm kiến thức: định hướng đến hoạt động cải tạo tích cực, dẫn đếnviệc “phát minh” kiến thức và kinh nghiệm hoạt động

Như vậy, PPDH nào đảm bảo phối hợp giữa cách dạy tái hiện kiến thức và tìm kiếm kiến thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách dạy tìm kiếm kiến thức chiếm ưu thế, đồng thời kết hợp hài hoà với tính sẵn sàng học tập của HS, thì

về cơ bản PPDH đó có khả năng tích cực hoá hoạt động học tập của HS

3 Dạy luyện tập toán cho học sinh

Quá trình dạy học là một quá trình tâm lý Trong quá trình học tập HS phải cảm

giác, tri giác, vận dụng trí nhớ, tình cảm, ý chí

Trong những năm gần đây, tâm lý học đã chú ý vào “dạy học phát triển”: Dạy học

đi trước sự phát triển, điều đó có nghĩa là dạy học phải tiến hành trong điều kiện dựkiến được mức độ phát triển của HS cao hơn hiện tại Quan điểm dạy học đi trước

sự phát triển và kéo theo sự phát triển được coi là quan điểm khoa học và cáchmạng

Theo L.X Vygotski, dạy học phải theo đúng chức năng của nó, phải đi trước sựphát triển, nó sẽ thúc đẩy, kéo theo sự phát triển đi lên Mấu chốt của dạy học pháttriển là xác định đúng các trình độ phát triển của học sinh: Trình độ phát triển hiệnthời và khả năng phát triển gần nhất Mức độ hiện tại được biểu hiện qua quá trình

HS độc lập giải quyết nhiệm vụ, không cần sự trợ giúp từ bên ngoài Còn khả năngphát triển gần nhất được thể hiện trong tình huống HS hoàn thành nhiệm vụ khi có

sự hợp tác, giúp đỡ của người khác Từ đó ông đưa ra nguyên lý dạy học phải tácđộng vào vùng phát triển gần nhất, có nghĩa là phương pháp dạy học tuân theonguyên tắc tôn trọng kinh nghiệm đã có của HS và tăng dần mức độ khó khăn Như vậy dạy học không bị động chờ sự phát triển, mà ngược lại phát triển cácchức năng tâm lí Vấn đề động cơ học tập, hứng thú nhận thức có ý nghĩa rất quantrọng đến hiệu quả của quá trình dạy học

Để đảm bảo thành công của quá trình dạy học, thầy giáo phải đặc biệt chú ý tớimặt tâm lý trong quá trình dạy học

- Dạy học là một quá trình xã hội, trong đó có sự tương tác giữa người và người,

giữa người và xã hội Hiểu được tính xã hội của dạy học và ảnh hưởng của xã hộiđối với nhà trường sẽ giúp người dạy điều khiển được quá trình dạy học

Sự giống nhau và khác nhau về yêu cầu xã hội, về sự phát triển nhân cách của từngngười đòi hỏi một quá trình dạy học thống nhất cùng với biện pháp phân hoá, dovậy trong hoạt động của mình người thầy cần quan tâm đến kinh nghiệm sống vàđiều kiện học tập thực tế của HS để xây dựng kế hoạch và nội dung dạy học thíchhợp

Tóm lại, căn cứ vào nhận thức về quá trình dạy học trong giai đoạn hiện nay (quátrình nhận thức, quá trình tâm lý và quá trình xã hội), hệ thống BT cần phải phản

ánh tích cực và có chọn lọc các tri thức, phương pháp, kỹ năng liên quan chặtchẽ đến hoạt động toán học, thúc đẩy các chức năng tâm lý, hứng thú nhận thức vàchú ý đến kinh nghiệm sống và điều kiện thực tế của học sinh.

Tiến trình giải bài tập toán

Giải BTT là thực hiện một loạt các hoạt động liên tục và khá phức tạp vì BTT là

sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm , quan hệ toán học Vì vậy để giải được BTTđòi hỏi học sinh nắm chắc các khái niệm, định lý, quy tắc các kiến thức trongmối quan hệ toán học của chơng trình đã học

Theo V.M Brađixơ “BTT có thể xem là đã đợc giải chỉ sau khi đã tìm được lờigiải đảm bảo các điều kiện: Không sai sót, có lập luận khoa học, mang tính toàndiện và tối ưu”

Theo Polya G : “Giải một BTT chúng ta phải lập được một lược đồ xác địnhmạnh lạc những thao tác (lôgíc, toán học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả thiết và kếtthúc bằng kết luận, dẫn dắt từ các đối tượnng mà ta có trong tay đến đối tượng tamuốn đạt tới”

+ Polya G quan niệm giải một BTT là một quá trình tìm kiếm những hoạt độngthích hợp để đạt kết quả Theo ông tiến trình giải một BTT gồm 4 bước:

- Hiểu rõ BTT (understanding the problem)

- Xây dựng chương trình giải (devising a plan)

- Thực hiện chương trình giải (carrying out the plan)

- Kiểm tra lời giải tìm được (looking back)

Bước 1: Hiểu rõ bài tập toán

- Xác định đối tượng và các điều kiện và hệ thống hành động, làm rõ các mốiquan hệ ở giả thiết, mối quan hệ giữa giả thiết và kết luận Xác định đựợc dạngBTT, xem xét cấu trúc của BTT từ đó suy nghĩ hựớng giải BTT đó

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

- Từ sự phân tích mối quan hệ giữa các yếu tố của BTT, từ suy nghĩ hựớng giải ởbước 1, HS tìm con đựờng cụ thể, khả năng đạt đợc mục đích, định hựớng cáchành động tiến tới quá trình giải BTT

- Quá trình này kết hợp giữa logic hình thức (việc vạch ra “cấu trúc” của kế hoạch)

và lôgic biện chứng (chỉ ra tính cụ thể, tính khả thi và phựơng thức thực hiện kếhoạch)

Bước 3: Thực hiện chựơng trình giải

- Kế hoạch giải vẫn còn ở ý tựởng, HS phải thực hiện một hệ thống hành độngphù hợp với những chi tiết cụ thể của BTT

- Sử dụng các thao tác tư duy những lập luận logic để thực hiện kế hoạch

- Có thể giải BTT theo nhiều cách giải khác nhau, tìm ra cách giải tối ưu

- Ở b ư ớc này thao tác tư duy logíc, hoạt động ngôn ngữ đóng vai trò quantrọng

Bước 4: Khảo sát lời giải tìm được

- Công việc được tiến hành trong suốt quá trình giải BTT, việc kiểm tra nhằmchính xác hoá lời giải (các bước suy luận, các khâu tính toán )

- Qua khảo sát lời giải còn rút ra đợc kinh nghiệm cho HS, giải bài BTT là phơngtiện học tập Từ khảo sát lời giải HS có thể hợp thức hoá BTT thành tri thức vàkinh nghiệm của bản thân

* Giải bài tập toán theo định hớng angôrit và ơristic

“Các angôrit tồn tại dưới nhiều hình thức biểu diễn khác nhau, ngôn ngữ tự nhiên,ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phương trình, lập trình , angôrit (thuậttoán, thuật giải) là một bản quy định những thao tác cần thực hiện để giải mộtBTT”

“Thuật toán được hiểu nh một quy tắc mà từ những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác đểngười (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đợc mục đích đặt ra hay giảimột lớp BTT nhất định”

R Đề Các đã nghĩ đến một phương pháp toàn năng để giải mọi bài tập, Leibnis thì

đa ra ý niệm rõ ràng về một phơng pháp toàn mỹ để giải toán Polya G đã rất đềcao việc hình thành và phát triển năng lực sáng tạo qua giải bài tập toán nhng ông

đã khẳng định “Tìm kiếm một phương pháp toàn năng và toàn mỹ chẳng mang lạikết quả gì hơn đi tìm một viên đá thần kỳ, để có thể biến mọi kim loại thànhvàng” Như vậy không thể có phương pháp để giải tất cả các BTT, ngoài nhữngdạng toán có thể dùng phương pháp theo định hướng angôrit còn phải sử dụng ph-ương pháp ơristic

Thuật ngữ ơristic có nguồn gốc Hy Lạp là “ơrêca” được hiểu là sự tìm tòi, tìmđoán, sáng tạo…

“ Ơristic đợc hiểu là tổng thể nói chung các quy tắc phương pháp khái quát từ kinhnghiệm quá khứ được dùng trong quá trình nghiên cứu phát hiện, sáng tạo ra cáimới”

Giải toán theo định hướng Ơristíc mang tính chất “tìm đoán” thường dùng để giải những BTT mang tính chất là một vấn đề, tìm hiểu và phát hiện ra vấn đề, tìm cáchgiải quyết vấn đề đó là hoạt động toán học cần thiết

Có ý kiến cho rằng “dạy luyện tập toán giống như luyện tập quân sự”; đối với đốitượng học sinh khá, giỏi thầy chỉ hướng dẫn các thao tác và HS tự mình làm được;đối với học sinh trung bình thầy làm mẫu các động tác và học sinh làm theo được;đối với HS yếu thầy giáo phải cho HS làm từng động tác theo mình cho đến lúc HS

tự làm được mà không có thầy làm mẫu ở phía trước

Qua thực tế dạy học và công tác quản lý dạy và học, chúng tôi đưa ra một số địnhhướng cho tiết dạy luyện tập hình học như sau:

+ Phân loại các bài tập ở SGK, SBT (BTT cũng cố kiến thức của bài học,BTT ôn kiến thức của bài học trước, BT bổ sung lý thuyết, BT khắc sâu kiến thức) + Căn cứ vào đối tượng HS của lớp giáo viên giảng dạy để lựa chọn một trong các

ý tưởng :

Với đối tượng học sinh của lớp là học sinh học trung bình và yếu môn toán:

Thường dùng các BTT ôn tập kiến thức để kiểm tra nhanh đầu tiết luyện tập(những bài chưa được sử dụng sau phần học lý thuyết)

Hướng dẫn học sinh giải các BTT bổ sung lý thuyết và BTT khắc sâu kiến thức(các BT ở SGK và SBT được lựa chọn), qua việc sử dụng các BTT đó, giúp họcsinh tìm được quy trình hoặc định hướng giải các BTT cùng dạng

- Với đối tượng là học sinh trung bình và trung bình khá:

Cơ bản học sinh đã giải được các BTT thầy giáo ra về nhà chuẩn bị nên nếu đếnlớp trong tiết dạy luyện tập thầy giáo hướng dẫn giải các BTT đó sẽ không tạo rađược sự mới mẽ, dẫn đến HS không hứng thú trong học tập

Trong trường hợp này giáo viên chọn một BTT tương tự và thêm các câu hỏinhằm xâu chuỗi các BTT, HS đã được chuẩn bị Thực tế cho thấy HS hứng thútrong học tập và tiết dạy thành công hơn nhiều

Đối tượng là học sinh khá, giỏi:

.Thầy giáo chỉ kiểm tra nhanh các BTT có tính chất cũng cố kiến thức

Dùng BT điển hình luyện tập với các định hướng khác nhau nhằm tạo ra nhiềucách giải (nếu có thể), từ BTT đã có tạo ra BTT mới bằng các hoạt động tương tự,tương tự hoá, khái quát hoá, lật ngược vấn đề… tạo thành một số BTT nhằm pháttriển tư duy sáng tạo cho HS

Lấy một số ví dụ về dạy luyện tập hình học cho học sinh giỏi

Rèn luyện hoạt động toán học cho học sinh khá, giỏi

Theo Nguyễn Bá Kim “dạy học phân hoá xuất phát từ sự biện chứng của thốngnhất và phân hoá, từ yêu cầu thực hiện tốt các mục tiêu dạy học đối với tất cả mọihọc sinh, đồng thời phát triển tối đa và tối ưu những khả năng cá nhân Việc kếthợp giữa giáo dục đại trà và giáo dục mũi nhọn giữa phổ cập với nâng cao trongdạy học toán phổ thông cần tiến hành theo các tư tưởng chủ đạo sau:

Lấy trình độ phát triển chung của HS trong lớp làm nền tảng…

Sử dụng biện pháp phân hoá đa diện học sinh yếu kém lên trình độ chung…

Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hoá giúp học sinh khá giỏi đạt đợcnhững yêu cầu nâng cao trên cơ sở đạt được những yêu cầu cơ bản”

Chúng ta quan tâm đến ý tưởng thứ ba: “Có những nội dung bổ sung và biện pháp phân hoá giúp học sinh khá, giỏi đạt đợc những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đạt đ-

ợc những yêu cầu cơ bản”

Với cách dạy học phân hoá như đã nêu là phân hoá nội tại (phân hoá trong)trong một lớp học Thực tế dạy học ở các trờng THPT đang còn phổ biến phân hoángoài, nghĩa là có những lớp trình độ HS khá hơn, trong những năm gần đây các tr-ờng chuyên, lớp chọn ở THPT không tồn tại nữa, nhưng với tính chất giáo dục có

tính đại chúng và phổ cập nh hiện nay thì việc phân hoá ngoài vẫn là phổ biến (vì thuận lợi hơn trong quá trình dạy học, ở bậc THPT phân ban cũng là hình thức phân hoá ngoài).

Căn cứ vào các hoạt động toán học liên quan mật thiết đến nội dung môn toán ở ường phổ thông là: Nhận dạng và thể hiện; những hoạt động toán học phức hợp;những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học; những hoạt động trí tuệ chung vànhững hoạt động ngôn ngữ, từ đó trong quá trình dạy học giáo viên trong mọi tìnhhuống dù tường minh hay ẩn tàng cũng đều có ý tưởng góp phần rèn luyện hoạtđộng toán học cho học sinh

tr-Lấy một số ví dụ về dạy luyện tập hình học cho học sinh giỏi

DẠY PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH P.T.T.H NHƯ THẾ NÀO

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Cơ sở lý luận: Đứng trước yêu cầu đổi mới của phương pháp dạy học,chương trình Toán học THPT đã có những giảm tải đáng kể về kiến thức, kỹ năng.Chương trình đã có những quy định về Chuẩn kiến thức của chương trình, dạy nhưthế nào để học sinh đạt được chuẩn kiến thức đó

Theo lý thuyết của việc hình thành kỹ năng: Nhiều lần lặp lại học sinh mớihình thành cho mình một kỹ năng giải toán Do đó nếu sắp đặt hệ thống các bàitoán cùng một kiểu phát triển tương tự (chứ không phải lặp lại khuôn mẫu) thì việcdạy hệ thống các bài toán này sẽ giúp cho học sinh hình thành được kỹ năng,nhanh nhạy trong việc áp dụng bài toán cơ bản

Cơ sở thực tế: Thứ nhất, do yêu cầu thời lượng, bài tập sách giáo khoa bố trívừa phải cho học sinh giải Chưa có điều kiện tăng thêm bài tập cho học sinh rènluyện Thứ hai, sách tham khảo lại chủ yếu viết theo chương trình cũ, có nhiều bàitoán mới lạ nhưng lại giải theo kiến thức cũ Thứ ba, sự tự giác học tập của họcsinh chưa cao Nếu ra bài tập theo như khuôn mẫu làm cho các em chán nản, khảnăng tư duy ít được rèn luyện

Hơn nữa, một thực tế trong Chương trình Toán PT phần hệ phương trình học sinhBan cơ bản chỉ học hệ phương trình bậc nhất , Ban Nâng cao có giải vài ví dụ hệphương trình bậc hai đơn giản, Trong khi đó mấy năm gần đây trong các đề thituyển sinh vào ĐH có câu giải hệ phương trình bậc hai không phải là đơn giản.Một số tài liệu tham khảo bài toán giải hệ phương trình thì có nhưng có hệ xa lạđối với học sinh

Bởi vậy việc lựa chọn bài toán mới, hoặc xuất phát từ các bài toán trongSGK để đưa ra cho học sinh nghiên cứu cho phù hợp là điều cần thiết Điều nàynhằm mục đích giáo viên có bài tập giảng dạy phù hợp với chương trình Học sinh

có hứng thú trong học tập, có điều kiện rèn luyện kỹ năng giải toán, hiểu sâu sắckiến thức và có điều kiện sáng tạo tư duy, thúc đẩy sự phát triển trí tuệ Tuy nhiên,vấn đề là phát triển bài toán SGK như thế nào, mức độ bài tập ra sao? Làm thế nào

để học sinh tiếp cận với bài toán giải hệ phương trình mà không quá mệt mỏi với

PP khác so với chương trình ( thậm chí phải dùng đến cả kiến thức không có trongchương trình), Bản thân xin đưa ra một hướng đi sau đây Hy vọng phần nào sẽ cóích cho đồng nghiệp trong dạy học học sinh đại trà, và bồi dưỡng học sinh thi ĐH

và Học sinh giỏi

B HƯỚNG GIẢI QUYẾT

A Trước hết là phân bố thời gian dạy cho học sinh:

− Đối với học sinh lớp 10: Đưa bài dạy vào chương trình tự chọn sau phần họcsinh đã học Phương trình quy về bậc hai

− Đối với học sinh lớp 12 : Tăng dần mức độ theo kiến thức đã học tương ứng ( KSHS)

− Bổ sung thêm ,và nâng cao khi Bồi dưỡng HS giỏi , ôn thi đại học

B Về kiến thức:

I Đối với học sinh đại trà ở lớp 10 : + Khai thác cách giải hệ bằng PP thế bằng

Ở đây giáo viên nên khai thác câu d) cách khác :

Phân tích phương trình (2) thế x − y =3 để học sinh hình dung thế 1 cụm Chẳnghạn:

x

−+ =

Thay vào (1) ta được : x2.x2x 1x x2x 1÷÷ 3x2 4x 1

⇔ (x2−1).(2x2− = −1) (x 1).(3x−1) Giải tiếp ta có kết quả

+ Khai thác cách giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ thông qua 1 số hệ đối xứng

cơ bản hoặc chia cho 1 biểu thức khác không được hay không ?

Từ đó tiếp tục cho học sinh giải các hệ sau:

(1) (2)

; 4

; 2

13 3

; 0

; 2

13 3

; 0

; 2

+ + − = Dễ thấy y = 0 không thoả

mãn Với y ≠ 0, chia cả 2 vế cho y và đặt: x2y+ =1 a x y, + − =2 b

⇒ đây là hệ đối xứng loại II

x y xy

= −+ =Tiếp tục giải bằng PP thế ta có: nghiệm của hệ:

Từ đây GV có thể khái quát hệ Đối xứng loại II và cách giải:

Hệ phương trình hai ẩn x, y là đối xứng loại 2 khi ta thay x bởi y và y bởi x thì

phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại

Cách giải:

Trừ từng vế hai phương trình cho nhau

Đưa phương trình kết quả về dạng tích, trong đó có một thừa số là x y− , tức là cónghiệm x= y Từ đó tìm được các nghiệm còn lại của hệ (nếu có)

+ Cũng từ bài tập SGK lớp 10 Nâng cao ,

− + = GV cho học sinh giải và cho nhận

xét loại hệ nào giải được bằng cách này ?

Tiếp tục GV cho học sinh giải các hệ phương trình :

Thiết nghĩ rằng : Nếu chúng ta đưa ra 1 hệ thống các hệ phương trình thì học sinh tiếp thu rất mệt mỏi mà chúng ta chỉ cần nêu 1 số hệ mà học sinh vận dụng được các PP giải đã được học từ lớp dưới chúng ta nên chỉ bày cho học sinh thực hiện các phép biến đổi tương đương để đưa về các hệ đơn giản, có vậy mới thực hiện yêu cầu giảm tải của chương trình

II Đối với học sinh lớp 12 và Học sinh khá giỏi lớp 10 ta có thể nâng dần mức độ bằng các bài tập vận dụng phối hợp các PP hoặc phải sử dụng các phép tương đương nhiều hơn

⇔ x x( 3+12 48x2 x+64) 0= ⇔ x= −4 ( Vì x = 0 loại ) ⇒ y=174

Đặc biệt đối với học sinh 12 sau khi học KSHS ta có thể đưa thêm một số ví dụ về giải hệ phương trình bằng PP Khảo sát hàm số Mấu chốt của PP này là từ hệ ta đưa được về phương trình dạng : f(x)=f(y) hoặc f(x) = 0 ( không giải được theo cách thông thường )

 

 

  Vậy pt (*) có nghiệm duy nhất 1

Trên đây bản thân xin nêu một số cách, đưa một số loại hệ phương trình cho học sinh tiếp cận Bản thân không dám đưa hết các loại hệ phương trình mà đã có trong một số tài liệu tham khảo đã được các nhà chuyên môn viết thành sách Rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp

D BÀI TẬP THAM KHẢO:

+ +

=

−

− +

− +

+

0 1 1 2 3 2

3

2

0 1 2 3 2 3

1 2 2 2

3

1

2 2

2 2

2 2

y x

x

y x

x

y x

= +

− +

−

0 22 2

0 9 6 4

2 2

2 2 4

y x

y x

y y

x x

2 Cho hệ phương trình

2 2

( 1)( 1)

1226

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Phương trình (pt), bất phương trình (bpt) là một trong những kiến thức trọng tâmcủa chương trình môn Toán THPT Tuy nhiên các phương pháp (PP) giải pt, bpttrong SGK đưa ra là rất ít trong khi các bài toán (bt) về pt, bpt trong các đề thi đạihọc, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi, … lại rất phong phú và đa dạng Do đó nếu chỉ

sử dụng các PP giải có trong SGK thì học sinh (hs) rất khó có thể giải được các btdạng này

Mặt khác, các tài liệu viết về pt, bpt chưa đưa ra các phương pháp cụ thể đểgiải các bt dạng này, đồng thời kiến thức đưa ra chưa có tính chất phân hóa đốitượng hs nên chỉ phù hợp với đối tượng khá, giỏi mà chưa thực sự quan tâm đếnđối tượng hs trung bình, yếu, kém

Vì vậy chúng tôi quyết định chọn bài viết: “Một số phương pháp giải phươngtrình, bất phương trình” nhằm trao đổi với quý thầy cô và các đồng nghiệp một sốkinh nghiệm của chúng tôi

Tuy nhiên, với khả năng có hạn của bản thân, bài viết có thể chưa đầy đủ và cònnhiều thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các quý thầy cô giáo và cácđồng nghiệp!

I MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Các phương pháp thường dùng để giải pt, bpt gồm

+) Phương pháp biến đổi tương đương

+) Phương pháp đặt ẩn phụ

+) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu

+) Phương pháp sử dụng bảng biến thiên và đồ thị

+) Phương pháp đánh giá

+) Phương pháp sử dụng phép biến đổi hệ quả

Sau đây chúng tôi xin giới thiệu chi tiết về các PP giải pt f( )x = 0 (1) (Đối vớibpt ta cũng có các PP tương tự) và để tiện cho việc minh họa các PP chúng tôichọn chủ đề pt chứa ẩn trong dấu căn làm ví dụ Đồng thời trong từng phươngpháp chúng tôi đưa ra các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh

1 Phương pháp biến đổi tương đương

1.1 Nội dung của PP: “Dùng các phép biến đổi tương đương biến đổi pt (1) tương

đương với pt đã biết cách giải chẳng hạn pt bậc nhất, bậc hai, …”

1.2 Một số phép biến đổi tương đương thường dùng

+) Định lí 1 trang 68 SGK Đại số 10 – Nâng cao

+) Nếu f( )x ≥ 0 và g( )x ≥ 0 thì ( ) ( ) [ ] ( ) n [ ( ) ] n

x g x

f x g x

+) ( ) ( ) [ ] ( ) n 1 [ ( ) ] n 1

x g x

f x

0 x g x

1 x 1

x 2 22 x 24 x

0 1 x 2

≥ +

−

⇔

− +

1 x 1

x x 1 x 2

0 1 x 3 x 1

x 3 x 1 x

2 2

1 x 0

2 x 3 2 x

0 1 x

3

− +

x 8 24 x

2 6 2 x 3 6

− +

⇔

3 x 0

2 2 x 3 6 x

0 3 x 0

2 2 x 3 6 x

5 x 4

1 x

5 x

− +

− +

+ +

−

⇔

x 6 1

1 4

1 x 3

3 5

+ + +

−

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

2.1 Nội dung của PP: “Đặt ẩn phụ một cách hợp lí để chuyển pt (1) về pt hoặc hệ

pt mới đã biết cách giải”

Xuất phát từ bt 66d trang 151 SGK Đại số 10 – Nâng cao, ta có thể đưa ra các

bt sau với mức độ khó tăng dần

Vd 2.1 Giải các pt sau

a) x = x − 6

b) x + 2 = x − 4 (Từ câu a thay x bởi x+2)

c) x2 +3x+2 =x2 +3x−4 (Từ câu b thay x bởi x2 + 3x)

d) (bt 66d trang 151 SGK Đại số 10 – Nâng cao)

(x + 1)(x + 2) = x 2 + 3 x − 4 (2.1d)

e)

2 x

x 3 4 1 x 2

2 t 6 t t 6 t

e) Đk x≥ − 1(*)

Với đk (*) (2.1e)⇔(2.1d)

2

37 3

f) Đk

2

26 4

x≥ − + (*).

Với đk (*) (2.1f) ⇔ x + 1 + x + 2 = 2 x 2 + 8 x − 5 ⇔ (2.1d)

2

37 3

=

−

1 x 2

1 t 1

x 2 t

2 1

2 u

2 v

1 u

2 x 2

1 x

1 1 x

x 1

x 2

= +

⇔

2 1 t cos

t

sin

2 t cos

3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu

Ở đây chúng ta chỉ nói đến cách giải pt (1) khi pt (1) có tập xác định là một khoảnghoặc một đoạn hoặc nửa khoảng

3.1 Nội dung của PP: “Biến đổi pt (1) về dạng g(x) = g(x0) hoặc g[h(x)] = g[k(x)] trong đó g là hàm số đơn điệu trên tập xác định D = (a;b) của phương trình”.

1 f x

1

x 1

x 2 x 1 x 2 f x

4 Phương pháp sử dụng bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số

4.1 Nội dung của PP: “Dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số ta suy ra

được số nghiệm của pt và ta chỉ ra được các nghiệm đó”

4.2 Các vd

Vd 4.1 Giải pt x + 1 = 2 x (4.1)

Nghiệm của pt (4.1) chính là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y= x+ 1và đồthị hàm số y= 2x Ta dễ dàng vẽ được đồ thị của hai hàm số này.

Dựa vào đồ thị ta thấy hai đồ thị này cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độlần lượt là , 0

f có nghiệm duy nhất trên [− 1 ; +∞) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f(x)

trên [− 1 ; +∞) ta suy ra pt (4.2) có hai nghiệm , 0

B A C

0 2 3 x 0

1 x 2 3 2

⇔

=

−

− +

− +

3

x

2 − + − ≤ (Dấu bằng xảy ra khi x = 2)

2 6

2 x 2 5 3 x 2

−

=

− +

3 = − + ⇔ = − thì hai vế của pt (5.4) bằng nhau

x thì hai vế của pt (5.4) không bằng nhau.

Vậy (5.3) không có nghiệm trong  ∪[ +∞)

1 < < −

1 x 2 x

3 0 1 x 2 x

1 < < −

− thì hai vế của pt (5.4) không bằng nhau

Vậy (5.3) không có nghiệm trong 

6 Phương pháp biến đổi hệ quả

6.1 Nội dung của PP: “Sử dụng các phép biến đổi hệ quả biến đổi pt về pt hệ quả,

giải pt hệ quả sau đó thử lại và kết luận”

0

x 1

1 x 3 1 x 1 x

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

a Yêu cầu đối với yếu kém, trung bình: (Thi tốt nghiệp).

Tìm được các giới hạn dạng sau:

Mục đích: Để giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Yêu cầu đối với học sinh khá: (Thi đại học)

+ Học sinh cần nắm các dạng cơ bản: 0;

0

∞

∞; 0 ∞; ∞±∞.+ Các dạng giới hạn thường gặp:

Dạng 1: Phân thức hữu tỷDạng 2: Vô tỷ

Dạng 3: Lượng giácDạng 4: Mũ, lôgarít (Giới hạn liên quan đến số e)Dạng 5: Các hàm số không có giới hạn, hàm số liên tục, đạo hàm

Nhận xét: Mặc dầu trong chuẩn kiến thức của đề thi Đại học có nêu chủ đề

này, nhưng trong đề thi rất khó để có thể ra một bài giới hạn hàm số Tuy nhiên cóthể ra các bài toán mà cần sử dụng kiến thức trên như sau:

Ví dụ 1: Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị

Mục đích: Giải các bài toán tìm giới hạn hàm số và một số ứng dụng của nó.

c Yêu cầu đối với học sinh giỏi (chủ yếu là các bài toán về dãy số)

+ Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số thường gặp

P1: Sử dụng định nghĩa

P2: Sử dụng tính đơn điệu, bị chặn

P3: Sử dụng nguyên lý kẹpMục đích: giải các bài toán tìm giới hạn của dãy số

Yêu cầu đối với giáo viên về phương pháp : “Thiết kế, tổ chức, hướng dẫn

học sinh thực hiện các hoạt động học tập với hình thức đa dạng, phong phú, có sứchấp dẫn phù hợp với đặc trưng bài học, với đặc điểm và trình độ học sinh, với điềukiện cụ thể của lớp, trường và địa phương” Tài liệu bồi dưỡng giáo viên -NXBGD Để làm rõ vấn đề trên ta xét một số ví dụ sau:

Đối với mức độ thi tốt nghiệp.

Khi tìm giới hạn của hàm số ta chỉ lấy các ví dụ đơn giản như:

Tìm xlim→+∞(3x3 + x + 1); xlim→−∞(3x3 + x + 1)

Từ đó phân tích để tìm được xlim→±∞ f(x) (với f(x) là đa thức)…

Đối với mức độ thi đại học

Khi tìm

x 0

x 1 1lim

Đối với mức độ học sinh giỏi

Ví dụ : Cho dãy số x1 = 2; x n+1= 2+x n ∀ ∈x N* tìm lim xn

Cách 1: Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn:

Ta có x1 < 2 → hiển nhiên

Giả sử xk < 2 → ta chứng minh xk+1 < 2 ⇔ x k + < ↔ <2 2 x k 2 (đúng)Vậy x n < ∀ ∈2 n N*

L L

=



⇔  = −

Do {xn} dương nên giới hạn L = 2

Cách 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy sau đó sử dụng giới hạn cơ bản

+ Ta chứng minh xn < 2 (theo chứng minh trên)

Ta có: 2 x− n < ξ, ∀n > N → Điều phải chứng minh

Nhận xét 1: Các tài liệu hiện có mà tôi tham khảo được chỉ trình bày lời giải (1)

đối với bài toán trên Việc hướng dẫn học sinh tìm ra nhiều lời giải, giúp cho các

em tiếp cận với cách giải bài toán một cách linh hoạt và toàn diện hơn từ cácphương pháp đã học, không gò bó vào một cách giải có sẵn

Nhận xét 2: Từ các cách giải trên có thể phân tích để tìm chìa khóa của bài toán đó

là: giới hạn của dãy số trên nếu có được tìm từ phương trình:

Nhận xét 3: Từ cách giải (1) ta có thể mở rộng bài toán như sau:

Bài toán 1.1: Cho x1 = a > 0; xn = a x+ n 1− ∀ ≥n 2;n N∈ tìm lim xn (giải tương

Tìm lim xn (giải tương tự cách 1)

Bài toán 1.3: Chứng minh dãy {xn}

x = a + a + + a với ai > 1 i 1;n∀ = có giới hạn nếu:

ln(ln )

lim a n ln 2

n <

Nhận xét 4: Từ cách giải (2) ta có thể giải bài toán sau:

Bài toán 1.4: Cho

n 1

sin2

2

+ +

π

Nhận xét 5: Vấn đề đặt ra là làm thế nào để xây dựng các dãy có giới hạn bằng α

và có bao nhiêu dãy có cùng giới hạn bằng α Sau đây là một số cách xây dựng cácdãy có giới hạn cho trước

Hướng 1: Từ phương trình tìm giới hạn ta có nghiệm L = 2 ta xây dựng các dãy có

giới hạn bằng 2 như sau:

Một cách tương tự khi cần cho dãy có giới hạn bằng 2 ta xây dựng dãy số

n N2

Hướng 3: ta có thể dùng phương pháp xấp xỉ nghiệm Newton để xây dựng các dãy

  (trùng với kết quả ở hướng 2)

Hướng 4: Xây dựng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc 2 giả sử ta

có phương trình: x2 + bx – 1 = 0 gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình, với

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẲNG

TRONG KHÔNG GIAN

Khi giải các bài tập về đường thẳng trong không gian, ta thường gặp dạngbài tập liên quan đến “ điểm thuộc đường thẳng thoả mãn tính chất K ” Nhiều họcsinh không nắm được phương pháp giải các dạng bài tập này nên đã gặp khó khăntrong quá trình tìm lời giải cũng như giải bài toán Sau đây, chúng ta sẽ xét một số

ví dụ minh hoạ cho dạng bài tập đó và phương pháp giải, nhưng trước tiên, chúng

ta hãy xét một số bài tập cơ bản sau:

1 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:

VD: Tìm giao điểm A của đường thẳng

1

6 2

2 Tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng:

VD: Tìm toạ độ hình chiếu M′ của điểm M(4; 5; 2) trên mặt phẳng ( ) :P x y z+ − − =1 0

Giải: Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) thì d nhận véctơ pháp

tuyến (1;1; 1)nr − của mặt phẳng (P) làm véctơ chỉ phương nên phương trình tham số

3 Tìm hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng:

VD: Tìm toạ độ hình chiếu M′ của điểm M(1; 2; 2) trên đường thẳng

Giải: Do M′∈dnên toạ độ M′ có dạng: M (4 ;5′ + t +t;2−t) với t∈¡

Mặt khác, véctơ MMuuuuur′vuông góc với véctơ chỉ phương (1;1; 1)ur − của đường

thẳng d nên ta có: MM uuuuuur r′ = 0 hay:

Sau đây, ta sẽ xét một số bài tập minh hoạ:

Bài 1 Cho mặt phẳng ( ) :P x y z+ − − =1 0và đường thẳng

1

6 2

a) Tìm giao điểm A của đường thẳng d và mp(P).

b) Viết phương trình đường thẳng d′nằm trong (P), đi qua A và vuông góc với d.

Bài 2 Cho hai đường thẳng : 1 1

c) Xác định toạ độ điểm A′đối xứng với A qua d.

d) Viết phương trình đường thẳng ∆qua A, cắt d và vuông góc với d′

e) Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d′và tính khoảng cách

Tìm toạ độ điểm H thuộc ∆ sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất

HD: H là hình chiếu của M trên ∆

Bài 4 (Trích đề thi ĐH khối B năm 2004)

Viết phương trình đường thẳng ∆qua A, cắt và vuông góc với d.

HD: Gọi B là giao điểm của ∆và d

b) Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng ∆và mp (P) Viết phương trình

tham số của đường thẳng ∆′nằm trong mp (P), biết ∆′đi qua A và vuông góc với

t t

Bài 6 (Trích đề thi ĐH khối B năm 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:

0; 1 M(0;1; 1); N(0;1;1)

Bài 7 (Trích đề thi ĐH khối D năm 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) và hai đường thẳng:

1 Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1

2 Viết phương trình đường thẳng ∆đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d 2

HD: Gọi B là giao điểm của ∆và d2, uur1

là VTCP của d1 2

Bài 8 (Trích đề thi ĐH khối D năm 2007)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(−1;2;4) vàđường thẳng : 1 2

x− y+ z

− Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.

HD: M(1− − +t; 2 t t;2 ) MA2 +MB2 =12(t−2)2 +28 28≥ , dấu “ = ” xảy ra khi và

chỉ khi t = 2 ⇒M(−1; 0;4 )

Bài 9 Cho hai điểm A(1;2;5), B(1;4;3) và đường thẳng

x 2 t: y 1 t

Tìm điểm C thuộc ∆sao cho tam giác ABC vuông tại A

Bài 10 Cho hai điểm A(2;1;0), B(1;2;−2) và đường thẳng

x 2 2t: y 3

Tìm điểm C thuộc ∆sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất

Bài 11 Cho hai điểm A(0;0;1), B(1;2;0) và đường thẳng

x 1: y 0

Tìm điểm M thuộc ∆sao cho MA + MB nhỏ nhất.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Đặt vấn đề :

Trong quá trình giảng dạy để đáp ứng yêu cầu với chương trình thay sách giáo khoa tôi thấy nhiều bài toán viết phương trình mặt phẳng đã được thay đổi , đặc biệt là chương trình đã cắt bỏ phần Phương trình tổng quát của đường thẳng và phương trình chùm mặt phẳng vì vậy nhiều khi giáo viên và học sinh còn lúng túngkhi gặp những bài toán đó, nên trong chuyên đề này tôi muốn giói thiệu một PP tổng quát để giải quyết bài toán đó và cách nhìn nhận xu thế phát triển bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng

rồi từ giả thiết cố gắng lập hệ phương trình tìm mối liên hệ giữa các hệ số rồi chọn

PP3: Dùng bài toán quĩ tích để xác định phương trình mặt phẳng.

Từ những PP đó ta có thể nêu lên một số bài toán cơ bản về viết phương trình mặt phẳng sau, mà yêu cầu học sinh cần nắm , từ các bài toán đó học sinh sẽ tự giải quyết các bài toán khác với cách suy nghĩ tương tự

Bài toán 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết một véc tơ

pháp tuyến

Bài toán 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một

mặt phẳng cho trước ( hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước)

Bài toán 3: Viết phương mặt phẳng đi qua 3 điểm cho trước.

Bài toán 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 2 điểm và song song với đường

thẳng cho trước (hoặc vuông góc vói mặt phẳng cho trước)

Bài toán 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa một điểm và một đường thẳng cho

trước

Bài toán 6: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau.

Bài toán 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Bài toán 8: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm ( hoặc chứa một đường

thẳng) và cách một điểm cho trước một khoảng cho trước

Bài toán 9: Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm ( hoặc chứa một đường

thẳng cho trước ) và tạo với mặt phẳng cho trước một góc cho trước

Bài toán 10: Viết phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng cho

trước và cách mặt phẳng đó một khoảng cho trước

Rõ ràng việc giải quyết các bài toán từ 1 đến 7 là thực hiện theo PP1, các bài toán8,9,10 giải quyết theo PP2 Việc giải quyết bài toán theo PP2 trước đây có phương trình chùm mặt phẳng nên giải quyết dễ dàng, bây giờ để giải quyết ta thực hiện như sau:

Ví dụ 1: Lập phương trình của mặt phẳng (P) chứa đường thẳng

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R=9

Đường thẳng d có VTCP vr( 1;1; 4) − và đi qua M(13;-1;0)

Do mặt phẳng (P) chứa điểm M nên phương trình (P) có dạng :

Đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;1) và có VTCP vr(0;1; 1) −

Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M nên phương trình của (P) có dạng

A x( − + 1) B y( − + 1) C z( − = 1) 0