LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH GV... Chuyên Đề: Hệ Phương Trình I.
Trang 1LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
GV ĐỖ VĂN THỌ
(Biên Soạn Lần 1)
Năm 2012
Trang 2Chuyên Đề: Hệ Phương Trình
I Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương:
* Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi
đó ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
1 2
Giải:
Ta thấy x không là nghiệm của (2) nên từ (2) ta có 0
2 1
1 x
y
x
thay vào (1) ta được
1
0
2
x
x
x
với x loại 0
Suy ra nghiệm của hệ là 1; 1 và 2; 5
2
* Dạng 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các
phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2 1
Trang 3Giải:
Điều kiện: x 1;y 0
1 x xy 2y x y 0 x y x 2y x y 0
Từ điều kiện ta có x y 0
thay vào (2) ta được:
y x y y y y (do y ) 0
* Dạng 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai
của một ẩn, ẩn còn lại là tham số
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
5 4 4 1
5 4 16 8 16 0 2
Giải:
Biến đổi phương trình (2) về dạng 2 2
y x y x x Xem phương trình (2) là phương trình ẩn y tham số là x ta có ' 9x2 từ
đó ta được nghiệm
5 4 3
4 4
Thay (3) vào (1) ta được 2
4
0
Thay (4) vào (1) ta được 4 2 5 4 4 4 0
Vậy nghiệm của hệ là 0; 4 ; 4;0 ; 4;0
5
Trang 4II Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ:
Điểm quan trọng trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
; ; ;
u f x y v g x y có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia một biểu thức khác 0
Ví dụ:
2
2
Giải
Ta có y không thỏa mãn (1) nên ta có 0
2
2
1
4
1
x
y x y
x
y x y
Đặt
1
a b x
ab y
Từ đó ta có hệ
2
1
3
Giải tiếp
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
3
1
x
Giải
Điều kiện x y 0
Trang 5
2
3
1
3
HPT
Đặt a x y 1 ; a 2
và b x Khi đó ta được hệ phương y
3 2
Giải hệ ta được a 2;b (do 1 a ) từ đó 2
ta có
1
1
III Hệ sử dụng phương pháp hàm số:
Hệ loại này ta gặp nhiều ở dạng
; 0
f x y
; f là hàm đơn điệu trên
tập D và x, y thuộc D Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x, y thuộc tập
mà hàm f đơn điệu
* Dạng 1: Một phương trình trong hệ có dạng f x f y , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn
điệu
Ví dụ:
5 5 1
1 2
Giải
Rõ ràng ta thấy hệ trên thuộc dạng
; 0
f x y
Trang 6Ta sẽ giới hạn x y từ phương trình (2) ; x8 1;y4 1 x 1; y 1 Xét hàm số 3
5
f t t t với t 1;1 có
f t t t , do đó f t nghịch biến trên khoảng
1;1 hay PT 1 x thay vào PT (2) ta được y x8 x4 1 0 Đặt a x4 và giải phương trình ta được 0
4
* Dạng 2 Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả
hai trường hợp (1) và (2)
Ví dụ: Giải hệ phương trình
y x
Đặt a x 1;b y ta được hệ 1
2
2
1 3 1
1 3 2
b a
Trừ vế theo vế hai phương trình ta được:
1 3a 1 3 3b
2 2
2
1
1
t
t t t t t f t t do đó hàm số
f t đồng biến trên R nên phương trình (3) a thay vào phương b
trình (1) ta được 2
1 3 4a
a a Theo nhận xét trên thì 2
1 0
a a nên phương trình (4) 2
ln a a 1 aln 3 0
ln hai vế)
Trang 7Xét hàm số 2
g a a a a và
2
1
1
a
hay hàm g a nghịch biến
trên R và do PT (4) có nghiệm a nên PT (4) có nghiệm duy nhất 0
0
a Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là x y 1
IV Sử dụng phương pháp đánh giá:
Với phương pháp này cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và
nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
3 2
2 2
3
2
2
xy
xy
Giải
Cộng vế với vế hai phương trình ta được
1
Ta có
2
2
2
xy
Tương tự
3 2
2
2 9
xy
xy
mà theo bất đẳng thức côsi
2
x y xy nên VT 1 VP 1 Dấu bằng xảy ra khi 1
0
x y
x y
thử lại ta được nghiệm của hệ là 0;0 ; 1;1
Trang 8Ví dụ: Giải hệ phương trình
3
3
Giải
2 3
2 3
Nếu x từ (1) suy ra 2 y điều này mâu thuẫn với PT (2) có 2 0
x 2 và y 2 cùng dấu Tương tự với x ta cũng suy ra điều vô 2
lí Vậy nghiệm của hệ là x y 2
V Phương pháp thế bằng một biểu thức của ẩn
Ví dụ: Giải hệ phương trình
2
1 2
Giải
Dễ thấy x không là nghiệm của hệ phương trình Do đó 0
2 1
x
thay vào (1)
0
5 2
2
x
Với x loại 0
Trang 9Vậy nghiệm của hệ là 1; 1 ; 2; 5
2
Ví dụ: Giải hệ phương trình
3 1
Giải
3
HPT
Điều kiện x y 3;xy 0 x 0;y 0
3 3
3
35 3
3
3
xy loại Tự giải tiếp
Bài tập Bài 1:
2
3
x xy
ĐS: 3; 3 ; 3; 3
Bài 2:
2
(Khối B - 2008) ĐS: 4;17
4
Trang 10Bài 3:
ĐS: 1;1 ; 17 13;
2 20 20
Bài 4:
2 3 2
x y
y x
ĐS: 2y y0; 0;y0 0
Bài 5:
4
ĐS: 2; 2 ; 2; 2 ; 1; 2 ; 2; 1
ĐS: 1;4
5
Bài 7:
2
1 3 2
ĐS: 1;1 ; 1; 1
Bài 8:
2
2
2
y
x y
x
ĐS: 2; 1
ĐS: 2;1 ; 10;5
VI Thế bằng hằng số
1 1
2 2 2
Trang 11Giải
2
HPT
Thay (3) vào (4) ta được
Như vậy
1 0 1
I
x y I
II
Hệ (I) vụ nghiệm
Hệ
2 3 0 là phương trình bậc hai theo x
1
II
1
Tự giải tiếp
ĐS
Vớ dụ: Giải hệ phương trỡnh
Giải
HPT
Trang 12Thay (2) vào (1) ta có:
2
3 thay vµo (2) 3;1 ; 3; 1
4 thay vµo (2) 4 ; ; 4 ;
Vậy nghiệm của hệ là 3;1 ; 3; 1 ; 4 6 ; 6 ; 4 6 ; 6
Bài tập:
Bài 1:
1 3
x y x y ĐS: 1;0 ; 1;0
Bài 2:
1
x y x y ĐS: 0;1 ; 1;0 ; 1;1 ; 3 3 ; 3 1
25 25
Bài 3:
2 2 3 3
4
280
Bài 4:
12 12
ĐS: 3;5 ; 3;5 ; 4;5 ; 4;5
Trang 13Bài 5:
1
x y x y ĐS 0;1 ; 1;0
Bài 6:
x y y x ĐS 1;1 1; 1
Bài 7:
ĐS 2;1 ; 2; 1
Bài 8: (Khối B - 2002)
3
2
x y x y
x y x y
ĐS: 1;1 ; 3 1 ;
2 2
Bài 9: (Dự bị - 2005)
4
x y x y
x x y y y
ĐS:
2;1 ; 1; 2
Bài 10: (Dự bị - 2005) 2 1 1
x y x y
x y
ĐS: 2; 1
Bài 11: (Dự bị 2006)
2
2
,
Bài 12: (A - 2003)
3
y x
ĐS:
Bài 13: (Dự bị 2006)
x x y y
Trang 14ĐS:
Bài 14: (B - 2003)
2
2
2
2
2 3
2 3
y y
x x x
y
ĐS:
Bài 15: (Dự bị 2006)
2
3 7
ĐS:
Bài 16: (Dự bị 2006)
13 25
x y x y
x y x y
ĐS:
Bài 17: (D - 2009):
5
x
ĐS:
Bài 18: (Dự bị 2007)
1 1
x x y x y
x y x xy
ĐS:
Bài 19: (A - 2010) 2
ĐS:
Trang 15Bài 20: (Dự bị 2007)
2
3 2
2 2
3
2
2
xy
xy
Bài 21: (A - 2008)
5 4 5
1 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
ĐS:
Bài 22: (B - 2008)
2
x x y x y x
x xy x
Bài 23: (D - 2008)
2
ĐS:
Bài 24: (B - 2009) 2 2 2
1 13
ĐS:
Bài 25:
10
y x y x
x x y y
ĐS:
Trang 16Bài 26:
1
2
ĐS:
Bài 27:
2
5 2
3 2
x xy
x y x
x y
ĐS:
Bài 28:
2
xy
ĐS:
Bài 29: 2 2
20 136
Bài 30:
x y x y
x y
Bài 31: 2 2
6 20
Bài 32:
4
ĐS: 4; 4
Bài 33: 2 2
Trang 17Bài 34:
x y x y
x y x y
Bài 35:
2
12 6
ĐS:
Bài 36:
6
y xy x
x y x
Bài 37:
3
3
3
0
x
y
ĐS:
Bài 38:
x xy y
x y
Bài 39:
2
2
1
2 2
3 2
x
Bài 40:
1
3 2
4 2
x
x
ĐS:
Trang 18Bài 41:
25 2 10
y x y
2
19 7
Bài 43:
12 12
ĐS:
Bài 44:
20
16 5
y
x x
y
ĐS:
Bài 45:
x x y
x x y
Bài 46:
3 15
x y x y
x y x y
ĐS:
Bài 47: 2 2
Bài 48:
x y
ĐS:
Bài 49:
ĐS:
Trang 19Bài 50:
x xy y y
x xy y x y
ĐS:
Bài 51
3 2
64
ĐS:
3
7
xy
x y
x y xy
x y
Bài 53:
x y x y
x y
Bài 54:
2
x xy y
x x y xy
Bài 55:
2
5
x x y x
x xy y
Bài 56:
ĐS:
Bài 57:
5
x y
Trang 20Bài 58:
x y x y
ĐS:
Bài 59:
1
2 1
2
x
y
Bài 60:
2 2
1
1
xy
x y
ĐS:
Bài 61:
ĐS:
Bài 62:
7 21
x y xy
x y x y
Bài 63:
4
x y x y
x x y y y