Với những giá trị nào của a thì hệ đã cho có nghiệm.
Trang 1D HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN
Ví dụ 1:
Cho hệ phương trình: x y a
x y xy a
⎪
⎨
⎪⎩ (a là tham số thực)
1 Giải hệ đó khi: a = 4
2 Với những giá trị nào của a thì hệ đã cho có nghiệm
(CAO ĐẲNG SƯ PHẠM năm 1998)
Giải
Ta có:
x y xy a ( x) ( y) xy a ( x y) 3 xy a
Đặt s x y
p xy
⎧ = +
⎪
⎨
=
⎪⎩ thì hệ đã cho trở thành: (I) 2
s a
s 3p a
=
⎧⎪
⎨
− =
⎪⎩
1 Khi a = 4:
2
p 4
4 3p 4
=
⎪
=
− =
x, y
⇒ là nghiệm của phương trình: t2−4t 4 0+ =
2
s a
p
3
=
⎧
⎪
=
⎪⎩ Hệ có nghiệm 2
s 0
p 0
s 4p 0
⎧ ≥
⎪
⇔⎨ ≥
⎪ − ≥
⎩
2
2
2
a 0
a 0
3
3a 4a 4a
a a
3
⎧
⎪ ≥
⎪
⎩
⎪ − ⎜⎜ ⎟⎟≥
⎩
156
a 0
a 0 a 1 a 0 1 a 4
0 a 4
≥
⎧
⎪
⇔⎨ ≤ ∨ ≥ ⇔ = ∨ ≤ ≤
⎪ ≤ ≤
⎩
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình: x 5 y 2 7
x 2 y 5 7
⎪
⎨
− + + =
⎪⎩
(ĐH Nông Nghiệp I Khối A năm 2001) Giải
2
(u,v 0)
⎩
2
u 7 v 7
v 7 u 7
⎪
⎩
u 7 v 2v u 7 v 7 u 2u v 7
v u 7 u v 7 7(v u ) 0 u v 0
Thay vào u2 7 v 7 u2 7 7 u 7 u 02 2
u 7 (7 u)
− ≥
⎧⎪
+ + = ⇔ + = − ⇔ ⎨
+ = −
⎪⎩
0 u 7
x 2 3 x y 11
u 3
≤ ≤
⎧
⇔⎨ =⎩ ⇒ − = ⇔ = =
Ví dụ 3:
Định m để hệ sau có nghiệm:
(m 0) (*)
⎧ + + − =
⎨ + + − =
⎪⎩
Giải Điều kiện
x 1 0
y 2 0
+ ≥
⎧
⎩
⎪
⎪ − ≥
⎩
Trang 2x 1 y 2 2 x 1 y 2 m (1)
(*)
y 1 x 2 2 y 1 x 2 m (2)
⎧ + + − + + − =
⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
(1) (2) : (x 1)(y 2)− + − = (y 1)(x 2)+ − ⇔ = x y
x y
(*)
=
⎧⎪
⇔ ⎨ + + − =
⎪⎩
Xét hàm số f(x)= x 1+ + (x 2)− (x 2)≥
2 x 1 2 x 2
+ − khi x > 2
BBT:
Dựa vào BBT để hệ phương trình có nghiệm ⇔ m≥ 3⇔m 3≥